дгту / каспарян / математика / Математика к.р.1

Контрольная работа №1

Вариант 9.

Задание 1. Дана матрица . Найти матрицу R = C² – 2C^T -3C^-1.

а = -2, b = -2, c = 3, d = 1.

,

,

,

Найдем обратную матрицу С^-1.

Главный определитель:

∆=(-2•3-(-3•(-4)))=-18

Алгебраические дополнения транспорированной матрицы:

С₁₁=(-1)¹⁺¹·3=3; С₁₂=(-1)¹⁺²·-4=4; С₂₁=(-1)²⁺¹·-3=3; С₂₂=(-1)²⁺²·-2=-2;

Тогда обратная матрица имеет вид:

Проверим правильность нахождения обратной матрицы, умножив исходную матрицу на обратную. Должны получить единичную матрицу E.

Найдем матрицу R:

Задание 2. Дана система уравнений АХ = В, где матрицы

а = -2, b = -2, c = 3, d = 1.

Решить систему уравнений тремя методами:

а) по формулам Крамера,

б) матричным методом,

в) Методом Жордана-Гаусса.

а) Решение СЛАУ методом Крамера:

Найдем главный определитель матрицы:

Δ = -4^.(12^.6-8^.15) – 6(-6^.6 – (-10) ^.15) + 3(-6^.8 – (-10) ^.12) = 192 -684 + 216 = -276.

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В:

Δ_х1 = – 6(24^.6 – 36 ^.15) + 3(24^.8 – 36 ^.12) = 2376 - 720 = 1656.

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В

Δ_х2 = -4^.(24^.6-36^.15) + 3(-6^.36 – (-10) ^.24) = 1584 + 72 = 1656.

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В

Δ_х3 = -4^.(12^.36-8^.24) - 6(-6^.36 – (-10) ^.24) = -960 - 144 = -1104.

Неизвестные переменные x_i:

Проверка: -4^.-6+6^.-6+3^.4 = 0.

-6^.-6+12^.-6+15^.4 = 24.

-10•-6+8•-6+6•4 = 36.

б) Решение матричным методом:

Найдем главный определитель матрицы:

Δ = -276 – система будет иметь решение, так как определитель не равен нулю.

Найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения транспорированной матрицы:

Алгебраические дополнения.

A₁₁ = (-1)¹⁺¹(12^.6 – 15^.8) = 72 – 40 = 32,

A₁₂ = (-1)¹⁺²(6^.6 – 3^.8) = -(36 – 24) = -12,

A₁₃ = (-1)¹⁺³(15^.6 – 3^.12) = 90 – 36 = 54,

A₂₁ = (-1)²⁺¹(15^.(-10) – 6^.(-6)) = -(-150 + 36) = 114,

A₂₂ = (-1)²⁺²(-4^.6 – 3^.(-10)) = -24 + 30 = 6,

A₂₃ = (-1)²⁺³(-4^.15 – 3^.(-6)) = -(-60 + 18) = 42,

A₃₁ = (-1)³⁺¹(-6^.8 – 12^.(-10)) = -48 + 120 = 72,

A₃₂ = (-1)³⁺²(-4^.8 – 6^.(-10)) = -(-32 + 60) = -28,

A₃₃ = (-1)³⁺³(12^.(-4) – 6^.(-6)) = -48 + 36 = -12,

Обратная матрица:

Вектор результатов:

Проверка: -4^.-6+6^.-6+3^.4 = 0.

-6^.-6+12^.-6+15^.4 = 24.

-10•-6+8•-6+6•4 = 36.

в) Решение методом Гаусса:

Составим расширенную матрицу:

Проведём следующие действия:

К строке 2 добавим: −1,5 × Строку 1.

К строке 3 добавим: −2,5 × Строку 1.

Разделим строку 1 на разрешающий элемент, равный (-4).

К строке 1 добавим: 0,5 × Строку 2.

К строке 3 добавим: 7/3 × Строку 1.

Разделим строку 2 на разрешающий элемент, равный 3.

Разделим строку 3 на разрешающий элемент, равный 23.

К строке 1 добавим: -4,5 × Строку 3.

К строке 3 добавим: -3,5 × Строку 3.

Проверка: -4^.-6+6^.-6+3^.4 = 0.

-6^.-6+12^.-6+15^.4 = 24.

-10•-6+8•-6+6•4 = 36.

Задание 3. Векторы заданы своими координатами в каноническом базисе . Требуется:

а) показать, что система векторов образует базис в пространстве R₃.

б) записать матрицу перехода от канонического базиса к базису и разложить вектор по этому базису.

= (4,2,3)

= (1, -3, 1)

= (-2, 0, -2)

= (3, 2, -1)

а) Система векторов линейного пространства образует базис в R₃, если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор линейно выражается через векторы системы. Составим матрицу из векторов :

Вычислим определитель основной матрицы:

Δ = -2^.(2^.1-3^.(-3)) - 2(-3^.4 – 1 ^.2) = -22 + 28 = 6.

Так как определитель матрицы не равен нулю (60), то векторы линейно независимы и образуют базис в трехмерном пространстве R₃.

б) Запишем матрицу перехода от канонического базиса к _.

Провели следующие преобразования:

1) 3 строку умножили на 3 и прибавили к 1;

2) 2 строку умножили на 2 и прибавили к 1;

3) 3 столбец прибавили к первому столбцу;

4) 2 строку умножили на (-3);

5) 3 строку прибавили ко 2 строке;

6) 3 строку умножили на (-2).

Матрица перехода имеет вид:

Разложим вектор по полученному базису. Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение: с₁a₁ + с₂a₂ + с₃a₃ = х. Перепишем векторное уравнение в матричном виде и решим его методом Гаусса.

Задание 4.

Элементы матрицы С_4х5 заданы по вариантам заданы по вариантам:

1. Считая матрицу С_4х5 матрицей однородной СХ = 0, найти для этой системы

а) фундаментальную систему решений;

б) общее решение;

в) какое-нибудь частное решение.

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Разделим строку 1 на a1,1 =

2

Получим матрицу :

1	7 2	3 2	1 2	3		0
5	12	5	3	10		0
6	-1	-2	5	-2		0
3	5	2	2	4		0

Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1=

5

Вычитаемая строка :

5	35 2	15 2	5 2	15		0

Модифицированная матрица :

1	7 2	3 2	1 2	3		0
0	-11 2	-5 2	1 2	-5		0
6	-1	-2	5	-2		0
3	5	2	2	4		0

Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1=

6

Вычитаемая строка :

6	21	9	3	18		0

Модифицированная матрица :

1	7 2	3 2	1 2	3		0
0	-11 2	-5 2	1 2	-5		0
0	-22	-11	2	-20		0
3	5	2	2	4		0

Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на a4,1=

3

Вычитаемая строка :

3	21 2	9 2	3 2	9		0

Модифицированная матрица :

1	7 2	3 2	1 2	3		0
0	-11 2	-5 2	1 2	-5		0
0	-22	-11	2	-20		0
0	-11 2	-5 2	1 2	-5		0

Разделим строку 2 на a2,2 =

-11 2

Получим матрицу :

1	7 2	3 2	1 2	3		0
0	1	5 11	-1 11	10 11		0
0	-22	-11	2	-20		0
0	-11 2	-5 2	1 2	-5		0