Т. Саати Принятие решений
.pdfЭта формула справедлива и для случая (для кратных собственных значений), когда кратное собственное значение равно нулю. Подставляя сначала
f (A) = A , а затем f (A) = Ak , в обоих случаях при λ = n , λ |
j |
= 0 , j ≠1 , получаем |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
An−1 = nn−2 A, Ak = nk −n−1 An−1 |
|
|
|
|
||
соответственно. Подстановка An−1 |
из первого результата во второй дает Ak = nk −1 A . |
|||||||
Теорема 7.22. Любой столбец матрицы |
A = (ωi ωj ) |
является решением задачи |
||||||
о собственном значении Aω = nω , |
ω = (ω1, …, ωn ). |
|
|
|
|
|||
Доказательство. |
Так |
как |
любой |
столбец |
матрицы |
имеет вид |
||
ω1 ωj , ω2 ωj , …,ωn |
ωj T , |
то он |
является |
просто кратным |
ω и, |
следовательно, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решением задачи.
Из последней теоремы получается предыдущая теорема, так как если обозначить
столбцы A через (a1, a2 , …, an ), то A A = (a1, a2 , …, an )= (na1, na2 , …, nan )= nA .
Теорема 7.23. Любая строка матрицы A = (ωi ωj ) есть решение задачи
υA = nυ .
Доказательство очевидно.
Следствие. Компоненты правого и левого собственных векторов, ω и υ , являются обратными величинами с точностью до постоянного множителя. (Будем называть их двойственными векторами.)
Определим норму матрицы A как A = eT Ae (т. е. она является суммой всех элементов A ).
Как известно, для примитивной матрицы A |
||||
lim |
|
Ak e |
= cωmax , |
|
|
Ak |
|
||
|
|
|||
k →∞ |
|
|
|
|
где c – постоянная, ωmax – нормализованный главный собственный вектор A . |
Следующая теорема является упрощенной версией этой теоремы для согласованных матриц.
Теорема 7.24. Если |
A положительная согласованная (n×n)-матрица, то |
Ae = Cω , где C > 0 постоянная и ω удовлетворяет равенству Aω = nω . |
|
Доказательство. Вектор |
Ae является суммой строк A и, очевидно, постоянным |
множителем любого столбца. Поэтому он является решением задачи о собственном значении.
Другой вариант доказательства. Легко показать, что A имеет единичный ранг тогда и только тогда, когда существуют векторы x и y , такие, что A = xyT . Отсюда
Aω = (y, ω)x = nω , (y, ω)= y1ω1 +…+ ynωn ,
и, следовательно, |
|
n |
|
|
Aω = (y, e)x = (y, e) |
|
≡ Cω . |
||
(y, ω) |
||||
|
|
|||
Следствие 1. Если A = (ωi ωj ), то Cωi =ωi |
n |
|
||
∑ωi . |
||||
|
|
i=1 |
|
|
Следствие 2. |
|
|
|
|
171 |
|
|
|
7.6. ОБРАТНОСИММЕТРИЧНЫЕ МАТРИЦЫ
Теперь исследуем некоторые свойства положительных, обратносимметричных матриц.
Теорема 7.29. Собственные значения положительной обратно-симметричной матрицы удовлетворяют следующему уравнению:
|
|
|
|
∑λjλk |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j≠k |
|
|
|
|
|
|
= tr (A2 )= n2 , |
|
|
Доказательство. Мы знаем, |
что λ1 +…+λn = tr (A) = n |
иλ12 +…+λn2 |
|||||||
так как λi2 – собственное значение A2 . Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 = (λ1 +…+λn )2 = ∑λi2 +∑λjλk , |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
i=1 |
j,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j≠k |
|
|
|
|
|
|
из чего следует, что второе слагаемое справа равно нулю. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Теорема 7.30. Пусть A = (aij ) |
есть (n×n)-матрица положительных элементов с |
||||||||
a |
ji |
= a−1 . A согласованна тогда и только тогда, когда λ |
max |
= n . |
|
|
|
||||
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Доказательство. Из уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ = ∑aijωjωi−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nλ −n = ∑aijωjωi−1 = ∑ (aijωjωi−1 +ωiω−j 1 aij ). |
|
|
|||||||
|
|
i, j=1 |
|
1≤i< j≤n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i≠ j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что из равенства aij |
=ωi ωj , получим λ = n , а также λmax = n , так как |
||||||||
сумма собственных значений равна n , следу матрицы A . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Чтобы доказать обратное утверждение, заметим, что предыдущее выражение со- |
|||||||||
держит только два члена, включающих a , а именно, a ω ω−1 |
и ωω |
−1 |
a . Их сумма |
||||||||
|
|
|
|
ij |
|
|
ij |
j i |
i |
j |
ij |
имеет вид y +(1 y). Чтобы убедиться в том, что n |
– |
минимальное значение λmax , |
|||||||||
достигаемое единственным образом при aij |
=ωi ωj , отметим, что для всех этих чле- |
||||||||||
нов y +(1 y)≥ 2 . Равенство |
достигается |
только |
в |
предположении |
y =1, т. е. |
||||||
aij |
=ωi ωj . Поэтому, когда λmax |
= n , имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 −n ≥ ∑2 = n2 −n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
i, j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i≠ j |
|
|
|
|
|
|
|
откуда следует, что aij =ωi ωj . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Если A несогласованна, то можно ожидать, что в некоторых случаях из неравен- |
|||||||||
ства aij ≥ akl не следует ωi ωj ≥ωk |
ωl . Однако, поскольку ωi , |
i =1, …, n , определя- |
|||||||||
ются значениями строки матрицы |
A , следует ожидать, что справедлива следующая |
||||||||||
теорема. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
175