Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

“Тверская государственная сельскохозяйственная академия”

Линейная алгебра Математический анализ Теория вероятностей и математическая статистика

Методические указания и контрольные задания для

студентов заочной формы обучения.

Направление 0801000.62 - Экономика

Тверь: ТГСХА, 2013

Рецензент

Директор центра информационно – консультационного обслуживания,

заведующий кафедрой менеджмента и маркетинга в АПК ТГСХА,

д.э.н., профессор Фаринюк Ю.Т.

Рекомендованы на заседании кафедры “Математики и ВТ” _________, протокол № ____. Утверждены методической комиссией экономического факультета _________, протокол № ____.

Ганичева А.В. Линейная алгебра. Математический анализ. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения. Направление 0801000.62 - Экономика

В методической разработке рассмотрено решение типовых задач по каждой теме указанных курсов. Аналогичные задания предложены студентам для контрольных работ. Указан библиографический список, в конце методической разработки приведены расчетные таблицы. применение математического аппарата к задачам социально – производственной сферы.

Ю.Т. Фаринюк.

Тверь: ТГСХА, 2013

Библиографический список

1. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. М.; Наука,. 1975.

2. Кудрявцев В. А., Демидович В. П. Краткий курс высшей математики. 6-е изд. М.: Наука, 1985.

3. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1977.

4. Пискунов И. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: т. 1, 2. М.: Наука, 1978.

5. Сборник задач по математике для вузов. Линейная алгебра и основы математического анализа/Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидо- вича. М.: Наука, 1986.

6. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977.

7. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статике. М.: Высшая школа. 1975.

В настоящих методических указаниях приведенные пособия для краткости обозначаются заключенными в квадратные скобки номерами из библиографического списка. Например, запись [2] гл. 3; [3] № 66, 68, 81, 113 означает следующее: изучите материал, изложенный в главе 3 учебника Кудрявцева В. А., Демидовича В. П. «Краткий курс высшей математики» и решите задачи № 66, 68, 81, 113.из задачника Минорского В. П.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1

Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости

[1] гл. I, П; [3] № 4, 10, 23, 28;

[1] гл. III § 11, 12, гл. IV; [3] № 59, 67, 71, 82 (2), 87, 103;

[1] гл. V § 24—26, 30—36; [3] № 140, 155, 166, 169, 190, 211, 224.

Разберите решения задач 1, 2, 3 из данных методических указаний.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС:А(—4; 8), В (5; —4), С( 10; 6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АСи их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СDи ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота СDесть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Решение: 1. Расстояние dмежду точками М₁ (х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂)определяется по формуле

d= (1)

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

АВ=.

2. Уравнение прямой, проходящей через точки М₁ (х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) имеет вид:

(2)

Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой А В :

, ,,

Зу—24 = —4х— 16, 4х+3у—8 = 0 (АВ).

Для нахождения углового коэффициента R_АВпрямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у:

Отсюда R_АВ=-. Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.

,,,

х+7у-52=0 (АС)

Отсюда R_АС=-.

3. Угол α между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равныR₁иR₂определяется по формуле:

tgα=.(3)

Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее R₁₌ R_{АВ= -,} R₂₌ R_АС= -.

tgА=,

А=arctg1=450,79 рад.

4. Так как высота СDперпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

R=-=-=

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М ₁ (х₁; у₁) в заданном угловым коэффициентом к направле­нии, имеет вид:

у-у=R(х-х).(4)

Подставив в (4) координаты точки С и R=, получим уравнение высоты СD:

у-6=(х-10), 4у-24=3х-30, 3х-4у-6=0 (СD).(5)

Для нахождения длины СDопределим координаты точкаD, решив систему уравнений (АВ) и (СD):

,

откуда х=2, у=0, то естьD(2; 0).

Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, нахо­дим:

CD=.

5. Уравнение окружности радиуса Rс центром в точке Е (a;b) имеет вид:

(х-a)+(у-b)=R.(6)

Так как СDявляется диаметром искомой окружности, то ее центр Eесть середина отрезка СD.Воспользовавшись фор­мулами деления отрезка пополам, получим:

х=, у=

Следовательно, Е (6; 3) иR=. Используя формулу (6),

получаем уравнение искомой окружности:

(х-6)+(у-3)=25.

6. Множество точек треугольника АBСесть пересечение трёх полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АBи содержит точку С, вторая ограничена прямой ВСи со­держит точку А,а третья ограничена прямой АС ясодержит точку В.

Для получения неравенства, определяющего полуплос­кость, ограниченную прямой АВи содержащую точку С, под­ставим в уравнение прямой АВкоординаты точки С:

4*10+3*6-8=50>0

Поэтому искомое неравенство имеет вид: 4х+3у-8

Для составления неравенства, определяющего полуплос­кость, ограниченную прямой ВСи. содержащую точку А,най­дем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) коорди­наты точек Ви С:

,,,

2х-у-14-0 (BC).

Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем: 2*(-4)-8-14=-30<0. Искомое неравенство будет 2х—у—14≤0. Подобным образом составим неравенство, оп­ределяющее полуплоскость, ограниченную прямой АСи со­держащую точку В: 5+7*(—4)—52=-75<0. Третье искомое неравенство х+7у—52≤0. Итак, множество точек треуголь­ника АBСопределяется системой неравенств

На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат хОу изображен треугольник АBС, высота СD, окружность с центром в точке Е.

Рис.1

Задача 2. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(3; 0) и до прямой х=12 равно числу е = 0,5. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Р е ш е н н е. Пусть М(х; у) —текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр МB на .прямую х=12 (рис. 2). Тогда B( 12; у).

По условию задачи . По формуле (1) из предыдущей задачи

МА = , МВ=.

Тогда

,,

4х, 3х

.

Полученное уравнение представляет собой эллипс вида

где а=6,b=3.

Определим фокусы эллипса F(-с;0) и F(с;0). Для эл­липса справедливо равенство b, откуда

и с=3.

То есть, F(-3;0) и F(3;0) - фокусы эллипса (точки F и А совпадают).

Эксцентриситет эллипса =.

Задача 3. Составить уравнение линии для каждой точки которой ее расстояние до точки А(3; —4) равно расстоянию до прямой у=2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. М(х;у) —текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр МВ на прямую у=2 (рис. 3). Тогда В{х;2). Так как МА=МВ, то

или

,

-12у-12=(х-3),

у+1=-.

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке 0 ' (3; —1). Для приведения уравнения параболы к простейшему (каноническому) виду положим х—3=Х'_, у+1= У'. Тогда в системе координат Х'О'У 'уравнение пара­болы принимает следующий вид: У=-Х').

В системе координат Х'О'У ' строим параболу.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение прямоугольной декартовой системы координат.

2. Напишите формулу для нахождения расстояния меж­ду двумя точками.

3. Напишите формулы для определения координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении.

4. Напишите формулы преобразования координат: а) при параллельном переносе системы координат; б) при повороте системы координат.

5. Напишите уравнения прямой: а) с угловым коэффици­ентом; б) проходящей через данную точку в данном направ­лении; в) проходящей через две данные точки; г) в «отрез­ках».

6. Как найти координаты точки пересечения двух пря­мых?

7. Напишите формулу для определения угла между дву­мя прямыми.

8. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых?

9. Сформулируйте определение окружности.

10. Напишите уравнение окружности с центром в любой точке плоскости хОу ; с центром в начале координат.

11. Дайте определение эллипса. Напишите каноническое уравнение эллипса.

12. Что называется эксцентриситетом эллипса? Как из­меняется форма эллипса с изменением эксцентриситета от 0 до 1?

13. Дайте определение гиперболы. Напишите каноническое уравнение гиперболы.

14. Напишите формулу для определения эксцентриситета гиперболы.

15. Напишите уравнения для нахождения асимптот гипер­болы.

16. Сформулируйте определение параболы. Напишите каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу.