14

Лабораторная работа №4. Законы распределения непрерывных случайных величин.

Лабораторная работа выполняется в Excel 2007.

Цель работы – дать навыки:

• вычисления значений плотности вероятностей и функции распределения непрерывных случайных величин и построения их графиков;

• вычисления вероятности попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону или по показательному закону, в заданный промежуток.

1. Нормальный закон распределения

Случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность вероятности задается формулой:

,

где – математическое ожидание,

– дисперсия,

– среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

Функция распределения нормальной случайной величины вычисляется по формуле:

,

Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) вычисляется по формулам

или

Функция не имеет элементарной первообразной, поэтому

интеграл может быть вычислен приближенно.

Для определения вероятности того, что случайная величина примет значение из промежутка (a, b) составляются таблицы плотности стандартного нормального распределением с математическим ожиданием m = 0 и средним квадратическим отклонением = 1.

Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) вычисляется с помощью функции Лапласа

Функции Лапласа обладает следующими свойствами:

1. Функция Лапласа определена при x > 0 и является нечетной функцией

;

2. ;

3. .

Таблица значений функции Лапласа находятся в Приложении 2, контент тема 12 ЭУМК “Теория вероятностей и математическая статистика”.

Однако возможности Excel позволяют отказаться от использования таблицы значений функции Лапласа, в чем можно будет убедиться, выполнив задания 1.

Задание 1. Непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами m = 5, σ = 2. Требуется построить функцию распределения и плотность распределения вероятностей, вычислить вероятность попадания случайная величина в интервал (3, 8).

Решение.

1. Построение таблиц плотности распределения и функции распределения.

Сначала определите такой промежуток значений случайной величины X, для которого выполняется условие . Следовательно, или . В соответствии с правилом 3σ практически все возможные значения случайной величины X укладываются в этот интервал с вероятностью .

Исходя из этих вычислений, для построения таблиц и графиков плотности распределения и функции распределения выберите интервал (-2, 12) – чуть больше определенного с помощью правила 3σ, а шаг построения выберите равный единице. Интервал построения графиков и шаг вычисления функций F(x) и f(x) можно изменить в последующем, если это потребуется, чтобы графики были более наглядными.

Постройте таблицу как показано на рис.1

Рис. 1. Столбец A2:A16 помеченный меткой x содержит значения переменной X в диапазоне (-2, 12) с шагом 1

Для вычисления значений функции распределения или плотности f(x) нормального распределения с заданными значениями среднего m и стандартного отклонения σ электронные таблицы располагают функцией, которая имеет синтаксис НОРМРАСП(x; среднее; стандартное_откл; интегральная):

x – заданное значение случайной величины, для которой вычисляется функция распределения или функция плотности f(x);

среднее – математическое ожидание M(X);

стандартное_откл – среднее квадратическое отклонение σ;

интегральная – логическая переменная (0 – функция НОРМРАСП вычислят плотность нормального распределения, 1 – вычисляется функция распределения F(x))

В категории Статистические выберите НОРМРАСП и заполните поля ввода диалогового окна Аргументы функции НОРМРАСП как показано на рис. 2.

A2 – ячейка, содержащая первое значение переменной x = – 2

среднее – заданное значение математического ожидания m = 5;

стандартное_откл – заданное значение среднего квадратического отклонения σ = 2;

интегральная – для вычисления плотности распределения задайте значение логической переменной равное 0.

Рис. 2. Диалоговое окно функции НОРМРАСП с заполненными полями ввода для вычисления значений плотности нормального распределения, логическая переменная Интегральная = 0

Рис. 3. Таблица значений плотности нормального распределения (столбец f(x), m = 5, σ = 2)

Далее воспользуйтесь функцией НОРМРАСП для вычисления функция распределения как показано на рис. 4 и рис. 5.

Рис. 4. Диалоговое окно функции НОРМРАСП с заполненными полями ввода для вычисления значений функции нормального распределения F(x) , логическая переменная Интегральная = 1

Рис. 5. Таблица значений плотности нормального распределения (столбец F(x), m = 5, σ = 2)

2. Постройте отдельно два графика – график плотности распределения и график функции распределения вероятностей как показано на рис. 6 и рис. 7.

Рис. 6. График плотность нормального закона распределения вероятностей случайной величины X с параметрами m = 5, σ = 2.

Рис. 7. График функции нормального распределения случайной величины X с параметрами m = 5, σ = 2.

3. Вычислите вероятность попадания случайная величина в интервал (3, 8).

Составьте таблицу как показано на рис. 8.

Рис. 8. Таблица для вычисления вероятности

• математическое ожидание m = 5

• стандартное отклонение σ = 2

• a = 3, b = 8

В ячейку E28 поместите формулу

НОРМРАСП(D28; A28; B28; 1) – НОРМРАСП(C28; A28; B28; 1)

Рис. 9. Значение вероятности

Искомую вероятность можно найти непосредственно по таблице на рис. 5. В ячейку D2 поместите формулу

Рис. 10. Таблица значений функции распределения позволяет найти искомую вероятность

Наиболее недоверчивые, могут проверить результат, найденный в Excel, с помощью таблиц значений функции Лапласа