Линейная_алгебра_УП_очная_ЭлРес

	самостоятельной		работы МБИ
			ВПО		.
		ЧОУ		2013	г
Для	студентов	Москва

УДК 330.4 (075.8)	работы
ББК 22.1 я.7
Ч 49			МБИ
Рецензент
к. ф.-м. н., доцент Н.Т. Анисимова
самостоятельной	ВПО
Чуйко А.С.
Ч 49 Линейная алгебра : учебное пособие [электронный ресурс] / Чуйко А.С. –
М.: ЧОУ ВПО МБИ, 2014. – 134 с.				.
		2013		г
Содержит основные сведения из линейной алгебры, которые используются
студентами экономических факу ьтетов на этапах дальнейшего обучения.
ЧОУ			учебной программе
Содержание и объем материа а пособия соответствует

дисциплины «Линейная алг бра» на финансовом факультете. Понятия, утверждения и следствия из них иллюстрируются примерами. Ответы на вопросы и решение задач, приведенные в конце разделов, помогут усвоить

материал дисциплины.		Москва
Пособие предназначено для студентов заочной и других форм обучения по
направлению 080100.62 «Эк номика» (бакалавр).
	студентов		© ЧОУ ВПО МБИ, 2014
			УДК 330.4 (075.8)
			ББК 22.1 я.7
	Рек менд вано Редакци нно-издатель ким советом МБИ
Для			© Чуйко А.С., 2014

		Содержание			работы
Раздел 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.............................................										4
1.1.	Матрицы и действия над ними		....................................................................							4
1.2.	Определитель матрицы, минор .............и алге раическое дополнение									10
1.3.	Системы линейных уравнений..................................................................						МБИ			14
1.4.	Системы векторов.......................................................................................									25
Приложение А		......................................................................................................								32
	самостоятельной									35
Приложение В.......................................................................................................					ВПО
Раздел 2. Элементы линейной оптимизации .....................................................										40
2.1.	.........................................................Введение в линейную оптимизацию								.	40
2.2.	Общая задача линейного пр граммирования ..........................................									47
2.3.	........................................Примеры задач линейного пр граммирования							г		50
2.4.	Опорное решение канонической задачи линейного
	программирования......................................................................................					2013				54
2.5.	.............................................................................Базис опорного решения									59
2.6.	Оптимальное решение канонической задачи линейного
	программирования......................................................................................									67
2.7.	Симплекс таблицы и их свойства..............................................................									71
2.8.	Решение симплекс методом канонической задачи линейного
	программирования.......................................................................................									78
2.9.	Метод искусственного базиса для нахождения начального опорного
	решения		Москва							85
2.10. Взаимно дв йственные задачи ..............линейного прогр ммирования										91
2.11. Экономическое содержание симплекс ...				лгоритма и двойственности						103
Для		студентов								112
2.12. Транспор ная задача линейного ............................ЧОУпрограммиро ания
Приложение С.....................................................................................................										122
Учебно-методическое и инф рмационное ...........обеспечение дисциплины										133

3

Раздел 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Определение. Раздел математики – алгебра изучает действия над объектами произвольной природы.

1.1. Матрицы и действия над ними Определение. Произвольная система чисел, расположенных в виде

равными, если у них равны числа строк и равны числа столбцов, а также равны соответствующие элементы матриц, т.е. А = В m 1= m2 = m, n1 = n2 = n, aij = bij, i, j = 1,2,…,n.

				Ос ов ые операции над матрицами
умножение числа на матрицу или матрицы на число;
	сложение двух матриц;
	Для			вух матриц.
	перемножение
		Определение. Чтобы умножить число α на матрицу								А или матрицу А
на число α, нужно умножить на число α все элементы матрицы А.
		Пример
		α А = α	a11	a12 12 =	a11	a12 12 =	a11	a12 12	= a11	a12 α = А α
			a	a	a	a	a	a	a	a

прямоугольной таблицы , которая содержит m строк и

n столбцов, называется

(m,n) – мерной матрицей (или,

просто,

м трицей)

чисел

и обозначается

A[mxn] или

работы

МБИ

а11

а12

… а1j

… а1n

а21

а22

… а2j

… а2n

…………………….

= А,

аi1

аi2

…. аij … аin

.

…………………….

аm1

аm2 … аvj

… аmn

где аij – элемент матрицы, стоящий

а i строке в j столбце.

Определение. Если число

строк матрицы

совпадает

с числом ее

г

столбцов, т.е. m = n, то матрица называется квадратной, а число ее строк

(столбцов) называют порядком квадратной матрицы.

ВПО

a11

a12

Пример: А = (а11) – матрица первого порядка, А =

– матрица 2-го

a21

a22

порядка.

Определение. Матрица, состоящая из одной строки (или одного столбца),

2013

n-мерный вектор

называется матрицей стр к й (столбцом). Таким обр зом,

есть матрица строка (с олбец) из n элементов.

Определение. Две матрицы:

ЧОУ

x n1]

и

B[m2

x n2] называются

A[m1

Москва

самостоятельной

21студентов22 21

22

21

22

21

22

Определение. Нулевой матрицей – Ө называют матрицу, все элементы

4

которой равны нулю.

работы

Из определения операции умножения числа на матрицу следует что:

1.

1 A = A 1 = A;

2. 0 A = A 0 = Ө;

МБИ

3.

(α β) A = α (β A) = α (A β) = (α A) β = (A α) β = A (α β);

4.

(α+β) A = α A +β A = A · α + A· β = A (α+β) – дистрибутивность.

Определение. Суммой двух матриц А[m1 x n1] и В[m2 x n2], имеющих

равные числа строк и равные числа столбцов,

н зыв ют матрицу, имеющую те

же числа строк и те же

числа столбцов,

что и матрицы А и В, и элементы,

самостоятельной

и В, т.е. m1 = m2 = m,

равные суммам соответствующих элементов матриц А

n1

= n2 = n , cij = aij + bij , для i = 1,2,…, m, j = 1,2,…,n.

2

1

3

3

4

2

5

5

1

ВПО

.

Пример. 0

2

1

+ 1

5

3

=

1

3

4

г

2013

Из определения операции сложения матриц следует что:

5.

А + (В + С) = (А + В) + С – ассоциативность;

6.

А + В = В + А – коммутативность;

ЧОУ

7.

α (А + В) = α А + α В = А α + В α = (А + В ) α – дистрибутивность;

8.

А + Ө = Ө + А = А.

Если обозначить (–1) А = – А,

то

А + (–А) = Ө,

(–α ) А = –α А,

Москва

– (А + В) = – А – В, – (–А) = А, В + (–А) = В – А.

Определение.

Пусть даны две матрицы

А[m x n]

и В [n x ], при чем

студентов

строк матрицы В. Тогда матрица

число столбцов ма рицы А равно числу

С[m x ] с элементами: cij = ai1b1j + ai2b2 j+

…+ ainbnj, i = 1,2,…,m; j = 1,2,…, ,

(т.е. i-я строка матрицы А, умноженная с алярно на j-й столбец матрицы В,

дает cij элемент матрицы С, ст ящий i-й													троке и j-м столбце)		называется
произведением				атрицы А на ма рицу В (справа) и обозначается С = А В.
		1	2	3		1	2		1*1 2*0 3* 2					1* 2 2*1 3*1	= 7	7
Пример.		3	2	1		0	1	=
Для						2	1		3*1 ( 2) *0 1* 2					3* 2 ( 2) *1 1*1	5	5
		1	2	3	2	7	4		3	2	1	2	5	8
Пример.
		1	1	2	1	= 5	3	;	2	2	1	1	= 3	5
С едовательно, в общем случае									А В ≠ В А.
	Из определения операции произведения матриц следует, что:
9. α (А В) = (α А) В = (А α) В = А (α В) = А (В α ) = (А В) α;
10. (А+В) С =А С + В							С и С (А+В) = С А + C В (А+В) (С+D) =

А С + В С + А D + В D

5

11	0	0		11			0	0			11	11	работы0		0
11. А (В С) = (А В)					С.
Определение. Матрицы А и В называются перестановочными, если
АВ = ВА.
Пример.		1	2	0		2	=	0	2	1	2	= 6		8 .	0МБИ;
0	ii	0	+	0		3	ii	0	3	=	4	0		ii ii
		3	4	3				3		3		12		18

Определение.			Квадратная				матрица			вида			а11		0	0			называется
														0	aij	0
														0	0	аnn
диагональной, если aij = 0					для	i	≠ j = 1, 2, …,n.
Из определения сложения и умножения мат иц следует
	самостоятельной										1	2					1		3
	0 nn				0 nn						ВПО				nn nn		.
0			0					0			0
11	0	0	11		0	0	11 11				0			0		г
0 ii		0	0		ii	0	=	0		ii ii				0
															2013
0	0 nn		0		0 nn			0			0			nn nn
Определение.			Диагона ьная матрица								n-порядка,					у		которой все
							ЧОУ
диагональные элементы равны единице, называется единичной и обозначается
En или Е.
			1	0	0
Например,		Е =	0	1	0		Москва
			0	0	1
Непосредственным вычислением можно пок з ть, что АЕ = ЕА = А.
соотношения для матрицстудентов: А =							и В =				и чисел α = 3, β = – 2.									0
											1	2		3				1	0
Покажите это самостоятельно для матриц									А =		0	3		1	и Е =			0	1	0 .
											3	2		1				0	0	1
Определение. Матрица АТ =							a11 .		am1	, полученная из матрицы
							. . .
							a1n .		anm

		a11	.	a1n
А =		.	.	. зам ной строк столбцами, называется транспонированной
Для	am1 . amn
по отношению к матрице А. Например, если А = 3 4 , то АТ = 2 4
	Д я произвольных: матриц А, В и чисел α, β справедливы соотношения:
(α А +		β		В)Т = α АТ + β	ВТ и	(А В)Т= ВТ АТ. Проверьте данные
				1	3	2	1
				4	2	2	3
	Определение. Квадратная				матрица А		называется обратимой, если

6

		работы
существует квадратная матрица Х такая, что А Х = Х А =Е.
Определение. Любая матрица Х такая, что А Х =				Х А =Е, называется
обратной к матрице А или обращением матрицы А и обозначается А–1.
Определение.	Матрица называется	невырожденной, если она имеет
				МБИ
обратную матрицу, в протвном случае матрица называется вырожденной.
Из определения обратной матрицы следует, что А А–1 = А–1 А					= Е, а
также (А–1)–1 =	А. Операции транспонирования		и	обращения	связаны
соотношением (А–1)Т= (АТ)–1.
Пусть дана квадратная матрица А.		Тогда для	нахождения матрицы

обратной к матрице А формируется столько систем линейных уравнений, каков

порядок матрицы А. Причем правая часть каждой системы уравнений

таблица будет состоять из матрицы А и единичнойВПО матрицыг.Е, записанной справа от матрицы А. Далее все системы линейных уравнений решают одновременно методом Гаусса, с которым мы познакомимся в разделе 3. Как только в процессе решения матрица А превратиться в единичную матрицу, так

представляет собой единичный вектор с единицей, соответствующей

порядковому номеру сформированн й системы уравнения. Для решения такого

набора систем линейных уравне ий их записывают в одну таблицу. Такая

на том месте, где была вначале процедуры выписана единичная матрица, появится матрица А–1, обра ная к матрице А. Если же матрица вырожденная, то на одном из шагов процесса нахождения обратной матрицы методом Гаусса

будет обнаружено противоречивое уравнение.						2013
					ЧОУ
Ответьте на вопросы
1.	Какую форму запи и нескольких чисел назы ают матрицей этих чисел?
2.	Можно ли		n-мерный вект р назвать матрицей?
3.	При каких усл виях матрица А с элементами аij					, где i = 1, 2, …, m1, j = 1, 2,
	…, n1, и		атрица В с элемен ами bij , где i = 1, 2, …, m2 , j = 1, 2, …, n2,
	будут равными?
4.	Если м трица А			с эл м нтами аij	, где i = 1, 2, …, m , j = 1, 2, …, n, есть
	результат умнож ния матрицы В				с элементами bij , где i = 1, 2, …, m , j =
	1, 2, …, n,				Москва
			на число, равное нулю, то чему равны величины элементов аij,
		самостоятельной
	a11, amn?
5.	Чему равна величина элемента cij матрицы С, которая является результатом
	с ожения ма рицы А с элементами аij , где i = 1, 2, …, m1 , j = 1, 2, …, n1,
	и матрицы В			элементами bij , где i = 1, 2, …, m2 , j = 1, 2, …, n2; укажите
	также в какихстудентовпределах при этом изменяются индексы элемента cij?
6.	Для			операции сложения матриц		совпадают со свойствами
	Какие свойства

7

	операции сложения чисел?		работы
7.	Чему равна величина элемента cij матрицы С, которая является результатом
	умножения матрицы	А с элементами аij , где i = 1, 2, …, m , j = 1, 2, …, n,
	справа на матрицу	В с элементами bij , где i = 1, 2, …, n , j = 1, 2, …, k, а
				МБИ
	также укажите в каких пределах при этом изменяются индексы элемента
	cij?
8. Какие свойства операции умножения матриц совпадают со свойствами
	операции умножения чисел?
9.	При каких условиях матрица А с элементами аij = 0 , для всех i j где i = 1,
	2, …, m , j = 1, 2, …, n, может быть диагональной?
	самостоятельной
10.Всегда ли матрица		с диагональными элементами, равными единице,
	является единичной матрицей?		ВПО

11.Какие действия необходимо проделать с элементами данной матрицы, чтобы
																	.
	получить транспонированную матрицу к данной матрице?
12.Все ли матрицы являются обратимыми?															2013		г
13.Какая матрица может быть обратной к данной матрице																А?
Решите самостоятельно
	Даны матрицы: А = 1			2 ,		1	0 , В =	3		2					2	3	4	1
1.					Е =							, С =			6	2	2 , D =	0
		2		3		0	1	1		4					4	1	3	1
			репетитор
							Москва4 8 6 5
	Вычислить: А2 + 5А – 4Е, В2					– 2А +3Е; А3; В4; АВ; ВА; АЕ; ВЕ; СD .
	Вычислить и сравнить: А2 – В2 и (А–В) (А+В);													(А–В)2 и А2 – 2АВ +В2 .
		студентов
2.	Укажите пару ма риц второго порядкаЧОУА и В таких, что А Е, В Е и
	А–В = 3Е.
3.	Студент имеет в зможн сть					получить дополнительный доход за час
	работы репетит ром – $6, посыльным – $3 и оператором, отвечая на
	телефонные звонки, – $4. Количество часов, которое студент может
	использовать для подработки каждую неделю месяца, задано таблицей
			Работа			№недели				1		2		3	4
			посыльный							3		3		4	0
			оператор							5		8		6	4
	Ес и данную
			аблицу распределения часов работы студента обозначить
	через матрицу А, а через В = (6, 3, 4) обозначить матрицу тарифов, то
	какой содержательный				смысл		несет	в			себе				матрица, являющейся
Дляпроизведением данных матриц – ВА?

8

4. Инвестор купил пакет акций 4-х компаний – 100 акций компании К1, 80 – К2, 120 – К3 и 50 – К4 по ценам 100, 200, 60 и 150 д.е., соответственно. Выпишите матрицу числа, купленных акций, и матрицу цен акций, а затем найдите общие затраты инвестора через произведение этих матриц. После увеличения на 110% цен на акции всех к мпаний инвестор продал половину акций каждой компании. Выпишите матрицу доходов от

	продажи акций каждой компании.
5.	Доказать, что В=С, если А , А Е и АВ=АС.
6.	Доказать, что В=Е, если А , А Е и АВ=А.
7.	Доказать, что если матрицы В и С являются обратными для матрицы А, то
	В = С.			работы		МБИ
				ВПО
							.
			ЧОУ		2013		г
			Москва
	Для	самостоятельной
		студентов

9

работы

1.2. Определитель матрицы, минор и алгебраическое дополнение

Определение. Определителем (детерминантом-det) квадратной

матрицы второго порядка А =

a11

a12

называют число –

, полученное по

a21

a22

МБИ

следующему правилу:

= det А =

a11

a12 = а11а22 – а12а21.

a21

a22

Определение. Определителем (детерминантом)

квадратной матрицы

a11

a12

a13

соответствующиесамостоятельнойэтим элементам алгебраические дополнения.

третьего порядка А =

a21

a22

a23

называют число

–

,

полученное

по

a31

a32

a33

ВПО

следующему правилу:

= det A = det

a11

a12

a13

a21

a22

a23 = а11а22а33

+ а12а23а31 +

a31

a32

a33

2013

.

а13а21а32 – а31а22а13 – а32а23а11 – а33а21а12.

Определение. Минором – Mij элемента aij

квадратнойгматрицы n-го

порядка называется опреде ите ь матрицы

(n–1)-го порядка,

полученной из

ЧОУ

j-го столбца. Например,

для

исходной матрицы вычеркивани м i-ой строки и

a11

a12

a13

a21

a23 .

элемента a12 матрицы А = a21

a22

a23 минором будет М12 =det

a31

a32

a33

Москва

a31

a33

Определение.

Алгебраическим

дополнением

–

Aij

элемента

aij

матрицы n-го порядка называют минор этого элемента, умноженный на (–1)i+j.
студентов	a11	a12	a13
Например, для элемента a12 матрицы А = a21		a22	a23	алгебраическим
	a31	a32	a33

дополнением будет А12 = М12 (– 1)1+2.

		Ос ов ые свойства определителей
1. Определитель	матрицы			может быть представлен в виде суммы
произведений	элементов			одной строки (столбца) матрицы на
Для	a11	a12	a13	= а11А11 + а12А12 + а13А13 = … =а13А13 + а23А23 +
Например, = det a21		a22	a23
	a31	a32	a33

а33А33.

2. Значение определителя матрицы А не изменится, если строки матрицы сделать столбцами и, наоборот, столбцы матрицы сделать строками, т.е.

10