Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Chapter_3.doc
Скачиваний:
27
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
884.74 Кб
Скачать

0

Одесский Национальный Университет им. И.И.Мечникова

Небесная механика

ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 3-х ТЕЛ

Кафедра астрономии

Базей Александр Анатольевич

Одесса 2001

ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 3-х ТЕЛ.

Точное аналитическое решение задачи 3-х тел не существует. Однако значительные успехи достигнуты при решении некоторых частных случаев задачи 3-х тел.

Из частных случаев, имеющих непосредственные астрономические приложения, наиболее важен тот, когда одна из масс настолько мала, что не производит заметного влияния на движение двух других. Этот случай называется эллиптической ограниченной задачей 3-х тел или планетоидной задачей 3-х тел. Таким образом, в планетоидной задаче рассматривается движение тела, имеющего «бесконечно малую» массу, в поле тяготения 2-х тел с конечными массами, совершающих относительное движение по кеплеровым орбитам. Частный случай этой задачи, когда относительное движение происходит по круговым орбитам, называется ограниченной задачей 3-х тел.

Постановка задачи

Требуется найти движение тела P с бесконечно малой массой, притягиваемого двумя телами S и J, имеющими конечные массы и описывающими круговые орбиты вокруг общего центра инерции. {1}

С математической точки зрения, бесконечно малое тело – это такое тело, которое притягивается конечными массами, но само их не притягивает. {2} С физической точки зрения, это тело настолько малой массы, что вызванные им возмущения в движении конечных тел, остаются меньше любой сколь угодно малой величины в течение сколь угодно большого промежутка времени. {3}

Сила взаимного притяжения определяется из закона всемирного тяготения . В нашем рассмотрении одна из масс m 0. Поэтому ускорение тела бесконечно малой массы , ;

ускорение тела конечной массы , . {4}

Обозначим через m1 и m2 массы тел S и J. Не ограничивая общности, всегда можем считать, что .

Начнем рассмотрение в инерциальной системе координат. За начало координат примем общий центр масс О.

Расстояние между телами конечных масс обозначим r12.

Тела конечной массы S и J вращаются вокруг центра масс по окружностям с постоянной угловой скоростью . Из третьего закона Кеплера [36.1] (часть 2) , ,

[1]

Координаты в абсолютной инерциальной системе отсчета:

Здесь расстояние тел S и J от тела бесконечно малой массы Р,

расстояние тела Р от начала системы отсчета.

ВОПРОСЫ.

  1. В чем заключается ограниченная задача 3-х тел?

  2. Что называется бесконечно малым телом с математической точки зрения?

  3. Что называется бесконечно малым телом с физической точки зрения?

  4. Если масса одного из тел пренебрежимо мала, то сила притяжения его к другому телу из закона всемирного тяготения тоже пренебрежимо мала. Такое тело ни к чему не притягивается. В чем здесь ошибка?

Уравнения движения

Из системы уравнений [1] (часть 1)

следует

[2]

Система дифференциальных уравнений [2] определяет движение тела Р (бесконечно малой массы). Движения тел S и J заданы по окружностям вокруг центра масс.

Поскольку движения тел S и J описываются решением задачи 2-х тел, то они лежат в одной плоскости. Совместим их плоскость орбиты и плоскость О. Тогда в системе [2] 1 = 2 = 0:

[3]

Так как S и J движутся по окружностям, их движения равномерны, то можно перейти к вращающейся с угловой скоростью  системе координат XOY.

[4]

Проведем преобразование системы [3] к вращающейся системе координат.

[5]

Подставляя [5] в [3]:

Умножим 1-е уравнение на , 2-е -на и сложим;

1-е уравнение на , 2-е -на и сложим:

[6]

В этой системе координат оси OX и OY вращаются с постоянной угловой скоростью прямой, соединяющей тела S и J. Совместим с этой прямой ось OX, тогда y1 = y2 = 0:

[7]

где

Это дифференциальные уравнения движения бесконечно малого тела Р, отнесенные к вращающимся осям так, что тела конечной массы всегда лежат на оси OX. Координаты тел S и J x1 и x2 явно от времени не зависят! {1}

Правые части уравнений [7] можно представить в виде частных производных от силовой функции U: {2}

[8]

тогда

[9]

Это уравнения движения тела Р бесконечно малой массы во вращающейся с постоянной скоростью  системе координат. Общая задача определения движения тела Р – 6-го порядка, {3} то есть надо знать 6 интегралов движения в неинерциальной вращающейся системе координат.

ВОПРОСЫ.

  1. Зависят ли во вращающейся системе отсчета координаты тел конечной массы от времени и почему?

  2. Как определяется силовая функция в ограниченной задаче 3-х тел?

  3. Сколько интегралов движения надо знать для определения движения тела бесконечно малой массы в ограниченной задаче 3-х тел?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]