- •Аналитическая геометрия
- •Глава 1 линии, поверхности и их уравнения
- •§1. Линия на координатной плоскости
- •§2. Поверхность в геометрическом пространстве
- •§3. Линия в геометрическом пространстве
- •§4. Алгебраические линии и поверхности
- •4.1. Алгебраические линии на плоскости
- •4.2. Алгебраические поверхности
- •§5. Полярная система координат на плоскости и в пространстве
- •5.1. Полярная система координат на плоскости
- •5.2. Полярная система координат в пространстве. Цилиндрические и сферические координаты
- •Глава 2 прямая линия на плоскости
- •§1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- •§2. Общее уравнение прямой
- •§3. Параметрические уравнения прямой
- •§4. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •§5. Уравнение прямой в отрезках
- •§6. Угловой коэффициент прямой
- •§7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •§8. Взаимное расположение двух прямых
- •§9. Нормальное уравнение прямой
- •§10. Расстояние от точки до прямой
- •§11. Угол между двумя прямыми; условия коллинеарности и перпендикулярности двух прямых
- •Глава 3
- •§3. Условия перпендикулярности и компланарности вектора и плоскости, заданной общим уравнением
- •§4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой
- •§5. Уравнение плоскости в отрезках
- •§6. Взаимное расположение двух плоскостей
- •6.1. Условие пересечения двух плоскостей и угол между ними
- •6.2. Условие параллельности двух плоскостей
- •6.3. Условие совпадения двух плоскостей
- •§7. Взаимное расположение трех плоскостей
- •§8. Нормальное уравнение плоскости
- •§9. Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду
- •§10. Расстояние от точки до плоскости
- •Глава 4 прямая и плоскость в трехмерном пространстве
- •§1. Уравнения прямой в трехмерном пространстве
- •1.1. Канонические и параметрические уравнения прямой
- •1.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •1.3. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Общее уравнение прямой
- •§2. Угол между двумя прямыми в трехмерном пространстве
- •§3. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости
- •§4. Расстояние от точки до прямой в трехмерном пространстве
- •§5. Угол между прямой и плоскостью. Условие перпендикулярности прямой и плоскости
- •§6. Кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
- •Глава 5 линии и поверхности второго порядка
- •§1. Линии второго порядка, заданные каноническими уравнениями
- •1.1. Эллипс
- •1.2. Гипербола
- •1.3. Парабола
- •§2. Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему (каноническому) виду
- •§3. Поверхности второго порядка, заданные каноническими уравненниями
- •3.1. Эллипсоид
- •3.2. Однополостный гиперболоид
- •3.3. Двуполостный гиперболоид
- •3.4. Конус второго порядка
- •3.5. Эллиптический параболоид
- •3.6. Гиперболический параболоид
- •3.7. Цилиндры второго порядка
- •§4. Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду
- •Упражнения
КНИГА 3
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия – это раздел математики, в котором геометрическим объектам ставят в соответствие определенные уравнения таким образом, что свойства объектов выражаются в свойствах этих уравнений. Уравнения записывают относительно избранной системы координат. Если геометрический объект рассматривать как некое точечное множество, то уравнение геометрического объекта – это правило отбора точек пространства во множество, образующее данный геометрический объект.
Глава 1 линии, поверхности и их уравнения
§1. Линия на координатной плоскости
Предположим, что на координатной плоскости хОу задана некоторая линия. Тогда точки плоскости можно разделить на две категории, одни из которых принадлежат данной кривой, а другие ей не принадлежат.
Определение 1. Уравнение , которому удовлетворяют координатых,у всех точек линии и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих этой линии, называется уравнением линии на плоскости в декартовой системе координат.
В частности, уравнение линии может представляться в виде явной функции .
Примеры.
1. Окружность радиуса R с центром в точке М (х0, у0). Ее уравнение
.
2. Цепная линия. Ее уравнение
.
По такой линии устанавливается в равновесии гибкая и нерастяжимая тяжелая нить (цепь, провод и т.п.), подвешенная за оба конца.
Определение 2. Параметрическими уравнениями линии в декартовой системе координат на плоскости называются уравнения вида
, ,
где функции иимеют одну и ту же область определения. Каждому значениюt из этой области соответствует точка М () рассматриваемой линии и каждая точкаМ этой линии соответствует некоторому значению t из области определения функций и, т.е. для любой точкиМ линии найдется такое значение t, что ибудут координатами точкиМ.
Например, параметрические уравнения окружности радиуса R с центром в точке М(х0,у0) имеют вид
, .
§2. Поверхность в геометрическом пространстве
Определение 1. Уравнением поверхности в декартовой системе координат называется уравнение , которое удовлетворяется координатами любой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяется координатами точек, не лежащих на поверхности.
В частности, уравнение поверхности в декартовой системе координат может быть задано в виде, разрешенном относительно одной из координат, например, в виде
,-
т.е. числовой функции двух действительных переменных.
Определение 2. Параметрическими уравнениями поверхности Ф в декартовой системе координат называются уравнения вида
, и,
где функции ,иимеют одну и ту же область определенияD (которая представляет собой множество упорядоченных пар чисел u,v); каждой паре чисел u,v из этой области D соответствует точка М(,,) поверхностиФ и для любой точки М поверхности Ф найдется пара (u,v) из области D такая, что ,ибудут координатами точкиМ.
Например, уравнение сферы радиуса R с центром в точке М(х0, у0, z0) имеет вид
.
Параметрические уравнения рассматриваемой сферы:
, ,.
Область D изменения параметров u,v такова: .
§3. Линия в геометрическом пространстве
Линия в геометрическом пространстве x, y, z может быть определена как геометрическое место точек пересечения двух поверхностей, следовательно, такая линия может быть задана двумя уравнениями двух поверхностей, пересекающихся по этой линии:
(1.1)
Таким образом, линия в пространстве – это множество точек этого пространства, удовлетворяющих системе уравнений (1.1).
Уравнения вида
, (1.2)
устанавливающие зависимость текущих координат точки М от некоторого параметра t, также определяют линию в геометрическом пространстве. Подобные уравнения, аналогично, как и для линии на плоскости, называют параметрическими: они дают параметрическое представление линии в геометрическом пространстве.
В частности, если уравнения (1.2) рассматривать так же, как уравнения, устанавливающие зависимость текущих координат по ортонормированному базису радиус-вектораточкиМ от некоторого параметра t, то тогда уравнение линии в геометрическом пространстве можно записать в виде вектор-функции (см. кн.2, гл.4, §7.):
(1.3)
Уравнение (1.3) называют параметрическим уравнением линии в векторной форме или просто векторным уравнением линии в геометрическом пространстве.
Так, например, уравнения или уравнение
являются параметрическими уравнениями или векторным уравнением винтовой линии, расположенной на поверхности цилиндра радиуса R.