Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
book3 rus.doc
Скачиваний:
118
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
6.62 Mб
Скачать

216

КНИГА 3

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия – это раздел математики, в котором геометрическим объектам ставят в соответствие определенные уравнения таким образом, что свойства объектов выражаются в свойствах этих уравнений. Уравнения записывают относительно избранной системы координат. Если геометрический объект рассматривать как некое точечное множество, то уравнение геометрического объекта – это правило отбора точек пространства во множество, образующее данный геометрический объект.

Глава 1 линии, поверхности и их уравнения

§1. Линия на координатной плоскости

Предположим, что на координатной плоскости хОу задана некоторая линия. Тогда точки плоскости можно разделить на две категории, одни из которых принадлежат данной кривой, а другие ей не принадлежат.

Определение 1. Уравнение , которому удовлетворяют координатых,у всех точек линии и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих этой линии, называется уравнением линии на плоскости в декартовой системе координат.

В частности, уравнение линии может представляться в виде явной функции .

Примеры.

1. Окружность радиуса R с центром в точке М (х0, у0). Ее уравнение

.

2. Цепная линия. Ее уравнение

.

По такой линии устанавливается в равновесии гибкая и нерастяжимая тяжелая нить (цепь, провод и т.п.), подвешенная за оба конца.

Определение 2. Параметрическими уравнениями линии в декартовой системе координат на плоскости называются уравнения вида

, ,

где функции иимеют одну и ту же область определения. Каждому значениюt из этой области соответствует точка М () рассматриваемой линии и каждая точкаМ этой линии соответствует некоторому значению t из области определения функций и, т.е. для любой точкиМ линии найдется такое значение t, что ибудут координатами точкиМ.

Например, параметрические уравнения окружности радиуса R с центром в точке М(х0,у0) имеют вид

, .

§2. Поверхность в геометрическом пространстве

Определение 1. Уравнением поверхности в декартовой системе координат называется уравнение , которое удовлетворяется координатами любой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяется координатами точек, не лежащих на поверхности.

В частности, уравнение поверхности в декартовой системе координат может быть задано в виде, разрешенном относительно одной из координат, например, в виде

,-

т.е. числовой функции двух действительных переменных.

Определение 2. Параметрическими уравнениями поверхности Ф в декартовой системе координат называются уравнения вида

, и,

где функции ,иимеют одну и ту же область определенияD (которая представляет собой множество упорядоченных пар чисел u,v); каждой паре чисел u,v из этой области D соответствует точка М(,,) поверхностиФ и для любой точки М поверхности Ф найдется пара (u,v) из области D такая, что ,ибудут координатами точкиМ.

Например, уравнение сферы радиуса R с центром в точке М(х0, у0, z0) имеет вид

.

Параметрические уравнения рассматриваемой сферы:

, ,.

Область D изменения параметров u,v такова: .

§3. Линия в геометрическом пространстве

Линия в геометрическом пространстве x, y, z может быть определена как геометрическое место точек пересечения двух поверхностей, следовательно, такая линия может быть задана двумя уравнениями двух поверхностей, пересекающихся по этой линии:

(1.1)

Таким образом, линия в пространстве – это множество точек этого пространства, удовлетворяющих системе уравнений (1.1).

Уравнения вида

, (1.2)

устанавливающие зависимость текущих координат точки М от некоторого параметра t, также определяют линию в геометрическом пространстве. Подобные уравнения, аналогично, как и для линии на плоскости, называют параметрическими: они дают параметрическое представление линии в геометрическом пространстве.

В частности, если уравнения (1.2) рассматривать так же, как уравнения, устанавливающие зависимость текущих координат по ортонормированному базису радиус-вектораточкиМ от некоторого параметра t, то тогда уравнение линии в геометрическом пространстве можно записать в виде вектор-функции (см. кн.2, гл.4, §7.):

(1.3)

Уравнение (1.3) называют параметрическим уравнением линии в векторной форме или просто векторным уравнением линии в геометрическом пространстве.

Так, например, уравнения или уравнение

являются параметрическими уравнениями или векторным уравнением винтовой линии, расположенной на поверхности цилиндра радиуса R.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]