Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
book2 rus.doc
Скачиваний:
164
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
3.2 Mб
Скачать

145

КНИГА 2

Линейная алгебра глава 1 законы композиции

§1. Внутренние законы композиции

Определение. Внутренним законом композиции или алгебраической операцией, заданной на множестве К, называется отображение произведения К×К (декартового квадрата) в К. Иначе говоря, алгебраическая операция – это правило, согласно которому упорядоченной паре (х1,х2), где х1 и х2, сопоставляется элемент х3 из того же множества К.

Вместо того чтобы записывать правило, при помощи функционального символа f : (x1,x2) х3 или f(x1,x2) = х3, употребляют некоторый специальный знак, а именно: + для сложения, x1 + x2 = х3, знак ∙ (или ×) для умножения, х1 х2 = х3, обозначение = х3 для степени и т.д. Для того чтобы иметь возможность изучать общие свойства, присущие всем этим законам, мы будем пользоваться единым символом , и будем писать х1 х2 = х3, что словесно выражает: х1 в композиции с х2 дает х3.

    1. Свойства внутренних законов композиции.

Коммутативность. Внутренний закон ┬ называется коммутативным (переместительным), если для любых х1 и х2 выполняется условие

х1 х2 = х2 х1 (1.1)

Примеры. Пусть К = . Операции сложения и умножения целых чисел коммутативны, а возведение в степень и вычитание – нет

и х1 x2 х2 х1.

Ассоциативность. Внутренний закон ┬ называется ассоциативным (сочетательным), если для любых x1, x2, х3 из К выполняется условие

( х1 х2 ) х3= х1 ( х2 х3 ) (1.2)

Здесь важно соблюдать порядок элементов.

Примеры. Сложение и умножение целых чисел ассоциативны, а возведение в степень и вычитание – нет (3 – 5) – 2  3 – (5 – 2); (22)3 = 64, но

Нейтральный элемент. Если существует такой элемент е, что

е х = х е = х , (1.3)

каково бы ни было х, то е называется нейтральным элементом относительно операции ┬.

Если нейтральный элемент е существует, то он будет единственным. Ибо, если бы нашелся другой элемент е', то мы имели бы е' у = у е' = у при любом у. Тогда, взяв в х е = х в качестве х элемент е', получим е'е = е'. Взяв же в е' у = у в качестве у элемент е, получим также е' е = е. Следовательно, е = е'.

Примеры. Если К = N, то сложение нейтрального элемента не имеет, а 1– нейтральный элемент умножения. Если К = Z , то и сложение, и умножение имеют нейтральные элементы, соответственно 0 и 1. Для закона композиции отображений gof нейтральным элементом служит тождественное отображение eof = foe = f.

Симметричные элементы. Пусть ┬ есть внутренний закон композиции на К, обладающий нейтральным элементом е. Говорят, что элемент изК симметричен элементу х из К относительно операции ┬, если

х = е (1.4)

Если х = е, то его симметричным элементом служит он сам, так как е е = е.

Если элемент х имеет симметричный элемент , а элемент имеет симметричным элементом х, т.е. когда выполнено условие,

х = х = е, (1.5)

то говорят, что элемент х обратим относительно операции ┬.

Если каждый элемент х обратим относительно операции ┬, то такая операция на этом множестве К называется обратимой.

Примеры. Если х есть действительное число, то –х симметрично ему относительно сложения и операция сложения обратима на множестве R. Если же, кроме того, х 0, то симметрично х относительно умножения и операция умножения также обратима на множестве R, но без х = 0.

Дистрибутивность. Если на множестве К определены два закона композиции, обозначенные ┬ и , то закон ┬ будет называться дистрибутивным (распределительным) относительно закона , если для любых x, y, z из К имеет место

х ┬ ( у z ) = ( х у)  ( х z ) (1.6)

Примеры. Умножение чисел дистрибутивно относительно сложения, так как х·(у + z) = x·y + х·z, но сложение не дистрибутивно относительно умножения, поскольку равенство х +(у·z) = (х + у)·( х + z) не является справедливым для всех х, у, z из R.

Операции объединения и пересечения множеств также являются законами композиции, и как легко показать, для любых А, В, С:

А   С) = (А    С); А С) = (А   С),

следовательно, каждый из этих законов дистрибутивен относительно другого.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]