Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Funk_metoda_part_2

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
274.19 Кб
Скачать

МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ I НАУКИ УКРА НИ ОДЕСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ iм. I.I. МЕЧНИКОВА

Iнститут математики, економiки та механiки

МЕТОДИЧНI ВКАЗIВКИ ДО КУРСУ ФУНКЦIОНАЛЬНОГО АНАЛIЗУ

Функцiонали. Оператори.

Для студентiв факультету математики

ОДЕСА 2005

У методичних вказiвках сформульовано деякi основнi означення i властивостi лiнiйних обмежених функцiоналiв i операторiв в лiнiйних нормованих просторах. Наведено приклади розв'язання задач i запропоновано задачi для самостiйного розв'язання. При пiдборi задач особлива увага придiлялася функцiоналам i операторам, що дiють в просторах функцiй i послiдовностей C[a,b], Lp[a,b],

lp, якi ¹ найважливiшими як для теорi¨, так i для практики.

Данi методичнi вказiвки мають сво¹ю метою допомогти студентам оволодiти основними поняттями i методами функцiонального аналiзу, а головне, виробити практичнi навики ¨х застосування до розв'язання задач.

Теоретичний матерiал, пов'язаний з темою цих методичних вказiвок, можна, наприклад, знайти в пiдручниках [1 9]. Бiльшiсть завдань для вправ запозичено зi збiрникiв [10 14].

Методичнi вказiвки складенi так, щоб бути використаними при кредитно-модульнiй системi навчання. За матерiалом, викладеним в роздiлi "Функцiонали, оператори", плану¹ться провести три модулi. При цьому

задачi для 1-го модуля будуть складенi iз завдань 1 3 роздiлiв цiх методичних вказiвок;

задачi для 2-го модуля iз завдань 4 5 роздiлiв; задачi для 3-го модуля iз завдань 6 9 роздiлiв.

Склали: Вартанян Г.М., Неча¹в А.П., Малаксiано М.О., Леончик .Ю.

Друку¹ться згiдно з рiшенням вчено¨ ради IМЕМ. Протокол __ вiд _____

2

Çìiñò

 

1 Обмеженi лiнiйнi функцiонали

4

1.1

Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2Продовження функцiоналiв, теорема Хана - Банаха 12

2.1Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3

Обмеженi лiнiйнi оператори

14

 

3.1

Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

 

3.2

Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

4

Поточечна збiжнiсть послiдовностей операторiв та

 

 

слабка збiжнiсть послiдовностей елементiв

19

 

4.1

Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

 

4.2

Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

5

Оберненi оператори

23

 

5.1

Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

 

5.2

Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

6

Замкненi оператори

27

 

6.1

Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

 

6.2

Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

7

Спряженi оператори

29

 

7.1

Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

 

7.2

Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

8

Компактнi оператори

33

 

8.1

Основнi означення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

 

8.2

Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

9

Спектр лiнiйного оператора

38

 

9.1

Основнi факти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

 

9.2

Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3

x0, ùî

1Обмеженi лiнiйнi функцiонали

1.1Основнi означення

Означення 1. Функцiоналом називають числову функцiю f, визначену на лiнiйному просторi X.

Означення 2. Функцiонал f, визначений на лiнiйному просторi X, назива¹ться адитивним, якщо

f(x + y) = f(x) + f(y) äëÿ áóäü-ÿêèõ x, y X.

Означення 3. Функцiонал f, визначений на лiнiйному просторi X над полем P , назива¹ться однорiдним, якщо

f(αx) = αf(x) äëÿ áóäü-ÿêèõ x X òà α P.

Адитивний однорiдний функцiонал назива¹ться лiнiйним функцiоналом.

Означення 4. Функцiонал f, визначений на метричному просторi X, назива¹ться неперервним в точцi x0, ÿêùî ε > 0 iñíó¹ такий окiл Ux0 елемента

|f(x) − f(x0)| < ε x Ux0 .

Як вiдомо, лiнiйний функцiонал f, неперервний в деякiй однiй точцi x0 X, ¹ неперервним в кожнiй точцi X.

Означення 5. Лiнiйний функцiонал f, визначений на нормованому просторi X, назива¹ться обмеженим, якщо iсну¹ таке до-

датне число C, ùî |f(x)| < C||x|| для будь-якого елемента x X.

Означення 6. Число

f

||

=

sup

f(x)

|

= sup

|f(x)|

||

 

x X, ||x||≤1

|

x X, x6=0

x

 

 

 

 

 

|| ||

назива¹ться нормою лiнiйного обмеженого функцiоналу f, визна-

ченого на нормованому просторi X.

Як вiдомо, обмеженiсть лiнiйного функцiоналу на нормованому просторi рiвносильна його неперервностi.

4

Нехай f1 òà f2 два лiнiйних функцiонали на X. Сумою цих функцiоналiв назива¹ться лiнiйний функцiонал

f(x) = f1(x) + f2(x), x X.

Добутком αf1 лiнiйного функцiоналу на скаляр α назива¹ться функцiонал

f(x) = αf1(x), x X.

Вiдносно цих операцiй множина усiх лiнiйних неперервних функцiоналiв, визначених на просторi X, утворю¹ лiнiйний

простiр. Нормою елемента f з цього простору називають число

||

f

||

=

sup

|

f(x)

|

= sup

|f(x)|

.

 

 

x X, ||x||≤1

 

x X, x6=0

||

x

||

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже, множина усiх лiнiйних неперервних функцiоналiв, визна- чених на просторi X, утворю¹ лiнiйний нормований простiр, який

називають спряженим з простором X i позначають символом X . Як вiдомо, спряжений простiр ¹ повним.

Теорема 1. Нехай H гiльбертовий простiр. Для будь-якого обмеженого лiнiйного функцiоналу f, визначеного всюди на H, iсну¹ ¹диний елемент y X такий, що

f(x) = (x, y), x H.

При цьому ||f||H = ||y||H . Тобто H = H.

Теорема 2. Для будь-якого обмеженого лiнiйного функцiоналу f, визначеного на просторi lp, 1 < p < ∞, iñíó¹ òàêà ïîñëi-

äîâíiñòü y = (y1, y2, ..., yn, ...) lq, p1 + 1q = 1, що цей функцiонал можна зобразити у виглядi

X

f(x) = xnyn, x = (x1, x2, ..., xn, ...) lp.

n=1

При цьому ||f|| = ||y||lq . Тобто

(lp) = lq, 1 < p < ∞, p1 + 1q = 1.

5

Теорема 3. Для будь-якого обмеженого лiнiйного функцiоналу f, визначеного на просторi C[a;b], iсну¹ функцiя g(t) обмежено¨

âàðiàöi¨ íà [a; b], що цей функцiонал можна зобразити у виглядi iнтегралу Стiлть¹са

Z b

f(x) = x(t)dg(t), x(t) C[a;b].

a

При цьому ||f|| = Wba g(t). Тобто

C[a;b] = V[a;b],

äå V[a;b] це простiр функцiй з обмеженою варiацi¹ю на [a; b],

в якому ототожнюються функцi¨, якi вiдрiзняються в усiх сво¨х точках неперервностi на сталий доданок.

Теорема 4. Для будь-якого обмеженого лiнiйного функцiоналу f, визначеного на просторi Lp[a;b], 1 < p < ∞, iñíó¹ òàêà ôóíê-

öiÿ g Lq[a;b], p1 + 1q = 1, що цей функцiонал можна зобразити у виглядi iнтегралу Лебега

f(x) = Za

b

 

 

 

x(t)g(t)dt, x(t) L[pa;b].

При цьому ||f|| = ||g||L[qa;b] . Тобто

 

 

+ q = 1.

L[pa;b] = L[qa;b], 1 < p < ∞, p

 

 

1

 

1

Приклад 1. Доведiть, що функцiонал

 

0

 

1

 

 

f(x) = Z−1 x(t)dt − Z0

x(t)dt, x C[−1,1]

¹ лiнiйним i неперервним. Знайдiть його норму.

Розв'язок. Однорiднiсть i адитивнiсть функцiоналу виплива¹ з вiдповiдних властивостей визначеного iнтегралу Рiмана.

Перейдемо до знаходження норми. Ма¹мо,

0

1

0

1

|f(x)| = | Z−1 x(t)dt −

Z0

x(t)dt| ≤ | Z−1 x(t)dt| + | Z0

x(t)dt| ≤

6

1

| |

 

1

−1≤t≤1 |

|

 

1

Z−1

dt

Z−1

dt =

|| || · Z−1 dt = 2||x||.

 

 

x(t)

 

max

x(t)

x

Çâiäêè ||f|| ≤ 2. Покажемо, що ||f|| ≥ 2. Для цього розглянемо послiдовнiсть {xn(t)}n=1 неперервних функцiй

−1,

xn(t) = nt,

1,

−1 ≤ t ≤ −n1 , −n1 ≤ t ≤ n1 , n1 ≤ t ≤ 1,

графiки яких мають вигляд

Для функцiй цi¹¨ послiдовностi ма¹мо:

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

|f(xn)| = | Z−1 xn(t)dt − Z0

 

xn(t)dt| = 2 −

.

 

 

 

 

 

n

Çâiäêè

x| C[0;1]|

n N

 

x| n

 

C[0;1]|

n N

 

n

||f|| = x C[0;1]

 

 

 

sup

 

f(x)

sup

 

f(xn)

= sup

2

 

1

= 2.

 

||

 

||

||

 

 

 

 

||

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Îòæå, ||f|| = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 2. Доведiть, що функцiонал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) =

λkx(tk), x C[a;b],

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

äå tk [a; b], λk R, k

= 1, 2, ..., n, ¹ лiнiйним i неперервним.

Знайдiть його норму.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

Ðîçâ'ÿçîê. Îñêiëüêè

 

n

 

X

f(αx1 + βx2) =

λk (αx1(tk) + βx2(tk)) =

 

k=1

n

n

X

X

= α λkx1(tk) + β

λkx2(tk) = αf(x1) + βf(x2),

k=1

k=1

òî f лiнiйний функцiонал. Його обмеженiсть виплива¹ з оцiнки

|f(x)| =

 

n

λkx(tk)

=

n

k| · |x(tk)| ≤ ||x||

n

k| .

 

 

X

 

 

X

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

 

k=1

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Çâiäêè ||f|| ≤

 

kn=1 k| .

 

 

 

 

 

[a; b]

 

тепер кусково-лiнiйну неперервну в промiжку

РозглянемоP

 

 

 

 

 

 

функцiю x0(t), яка прийма¹ в точках t1, t2, ..., tn значення

x0(tk) = sign λk, k = 1, 2, ..., n,

ëiíiéíà íà âiäðiçêàõ [tk; tk+1], k = 1, 2, ..., n−1, i стала в промiжках [a; t1], [tn; b]. Для цi¹¨ функцi¨ ||x0|| = 1, i òîìó

||f|| =

 

 

 

 

|f(x)| ≥ |f(x0)| =

n

sup

 

||≤

k| .

 

}

||

x

1

X

x

C[a;b ,

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

Îòæå

n

 

||f|| = X k| .

k=1

Приклад 3. Записати у формi iнтегралу Стилтьеса лiнiйний неперервний на C[−1;1] функцiонал f, визначений формулою

1

 

f(x) = Z−1 tx(t)dt − 2x(0), x(t) C[−1;1].

 

2

Розв'язок. Розглянемо на [−1; 1] функцiю g1(t) = t2 . Òîäi

1

1

Z−1 x(t)dg1(t) =

Z−1 tx(t)dt.

8

Для функцi¨

g2

(t) =

0, −1 ≤ t ≤ 0;

 

 

−2, 0 < t ≤ 1,

Z 1

x(t)dg2(t) = x(0) [g2(+0) − g2(−0)] = −2x(0).

−1

Тому для функцi¨

 

2

1 ≤ t ≤ 0;

g(t) =

2 t2 ,

(

t2 − 2,

0 < t ≤ 1

ìà¹ìî ðiâíiñòü

 

 

1

1

 

f(x) = Z−1 x(t)dg(t) =

Z−1 tx(t)dt − 2x(0), x(t) C[a;b].

При цьому легко перевiрити, що ||f|| = 3 = W1−1 g(t).

1.2Вправи

1.Доведiть, що наступнi функцiонали ¹ лiнiйними неперервними у вiдповiдних просторах. Знайдiть ¨х норми

(a) f(x) = ax,

a R, x R;

 

(b) f(x) = ax1 + bx2,

a, b R, x R2;

(c) f(x) =

1

(x(−1) + x(1)),

x C[−1;1];

 

3

(d) f(x) =

2(x(1) − x(0)),

 

x C[0;1];

(e) f(x) = Z0

1 x(t)dt,

x C[0;1];

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

(f) f(x) = Z−1 x(t)dt − x(0),

x C[−1;1];

 

 

 

 

0

 

1

 

 

(g) f(x) = Z−1 x(t)dt − Z0

x(t)dt,

x C[−1;1];

9

Z 1

(h) f(x) = tx(t)dt :

−1

i) x C[−1;1], ii) x L[−1;1], iii) x L2[−1;1].

2.Доведiть, що наступнi функцiонали ¹ лiнiйними обмеженими функцiоналами у вiдповiдних просторах. Знайдiть ¨х норми

 

f(x) = Z0

1

 

 

 

 

 

 

(a)

t31 x(t)dt,

x L[0;1]2 ;

 

f(x) = Z0

1 x(

 

)dt,

 

x C[0;1];

(b)

t

 

(c)

f(x) = Z0

1 x(t) cos tdt,

x C[0;1];

(d)

f(x) = x1 + x2,

x = (x1, x2, ..., xk, ...) l2;

 

x

 

 

(e)

f(x) =

 

k

,

x = (x1, x2, ..., xk, ...) l2;

 

2k

 

k=1

 

 

 

X

 

 

 

x

 

 

 

f(x) =

 

k

x = (x1, x2, ..., xk, ...) l1.

(f)

 

 

,

 

k

X

k=1

3. Доведiть, що

a) (Rn) = Rn; b) (c0) = l1; c) (l1) = l

.

 

 

4.Наведiть приклади функцiоналiв, визначених на просторi l1, якi досягають i якi не досягають сво¹¨ норми на замкненiй одиничнiй кулi.

5.Нехай X дiйсний лiнiйний нормований простiр, f ëiíié-

ний функцiонал, визначений на X. Доведiть, що функцiонал f неперервний тодi i тiльки тодi, коли для будь-якого c R множини {x X : f(x) < c} i {x X : f(x) > c} ¹ вiдкритими в просторi X.

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]