MatAnal2

Одесский национальный университет имени И. И. Мечникова Институт математики, экономики и механики

В.И. Коляда, А. А. Кореновский

КУ Р С Л Е К Ц И Й по

МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

В двух частях

Часть 2

Одесса

”Астропринт”

2009

ББК 22.161я73 УДК 517(075.8)

К93 Р е ц е н з е н т ы :

И. А. Шевчук, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа Киевского национального универ-

ситета имени Тараса Шевченко; В. Ф. Бабенко, доктор физико-математических наук, профессор, заведу-

ющий кафедрой математического анализа Днепропетровского национального университета;

Д. И. Боднар, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой экономической кибернетики Тернопольского национального экономического университета

Рекомендовано к печати ученым советом Одесского национального университета имени И. И. Мечникова (Протокол № 9 от 27 мая 2008 г.)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу К93: в 2-х ч. Ч. 2. - Одесса: Астропринт, 2009. - XXVII, 292 с.

ISBN 978-966-190-172-7 (в двух частях)

ISBN 978-966-190-174-1 (часть 2)

Данный курс лекций предназначен для студентов математических факультетов. Изложенный материал рассчитан на 280 лекционных часов при условии, что имеется примерно столько же часов практических или лабораторных занятий. Приведена программа всего курса, разбитого на четыре семестра. Каждый семестр делится на три модуля, продолжительность которых составляет соответственно 8, 8 и 2 недели в первом и третьем семестрах и 7, 7 и 3 недели

– во втором и четвертом. По истечении каждого модуля предполагается свободная от занятий неделя, во время которой студенты сдают прослушанный материал и получают баллы. В конце каждого семестра студент получает соответствующую оценку в зависимости от общего количества баллов, набранных на теоретических и практических контрольных мероприятиях.

Курс лекций состоит из двух частей. Первая часть относится к первым двум семестрам, вторая – к третьему и четвертому семестрам. В конце каждой части приведены комплекты экзаменационных билетов по программе каждого семестра в целом.

		ББК 22.161я73
ISBN 978-966-190-172-7	(в двух частях)	УДК 517(075.8)
ISBN 978-966-190-174-1	(часть 2)	°c Коляда В. И.,
		Кореновский А. А., 2009

Оглавление

Учебный план курса			VIII
Программа курса			XI
Рекомендованная литература			XXVI
15 Числовые ряды			1
15.1	Определения и простейшие свойства . . . . . . . . . . . .		1
	15.1.1	Простейшие свойства сходящихся рядов . . . . . .	4
15.2	Ряды с неотрицательными слагаемыми . . . . . . . . . .		6
	15.2.1	Признак сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
	15.2.2	Признак Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . .	10
	15.2.3	Признак Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
	15.2.4	Интегральный признак . . . . . . . . . . . . . . . .	14
15.3	Знакопеременные ряды и ряды со слагаемыми произвольного
	знака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		16
	15.3.1	Признак Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . .	16
	15.3.2	Признаки Абеля и Дирихле . . . . . . . . . . . . .	19
15.4	Абсолютная и условная сходимость. Перестановки рядов		21
	15.4.1	Перестановки абсолютно сходящихся рядов . . . .	22
	15.4.2	Перестановки условно сходящихся рядов . . . . .	23
	15.4.3	Умножение рядов. Теорема Коши . . . . . . . . . .	26
15.5	Бесконечные произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . .		27

III

IV		ОГЛАВЛЕНИЕ
16 Функциональные последовательности и ряды			31
16.1	Равномерная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		32
	16.1.1	Равномерная сходимость и предельный переход .	41
	16.1.2	Равномерная сходимость и интегрирование . . . .	42
	16.1.3	Равномерная сходимость и дифференцирование .	46
	16.1.4	Перестановка предельных переходов . . . . . . . .	51
17 Степенные ряды			53
17.1	Структура множества точек сходимости степенного ряда		53
17.2	Вычисление радиуса сходимости степенного ряда . . . .		56
17.3	Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного
	ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		60
17.4	Почленное интегрирование и дифференцирование степенно-
	го ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		62
17.5	Ряды Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		67
	17.5.1	Определение и основные свойства . . . . . . . . .	67
	17.5.2	Разложения основных элементарных функций . .	69
18 Несобственные интегралы			76
18.1	Определение несобственных интегралов I и II рода . . .		76
	18.1.1 Несобственные интегралы I рода (интегралы по неогра-
		ниченным промежуткам) . . . . . . . . . . . . . . .	76
	18.1.2 Несобственные интегралы II рода (интегралы от неогра-
		ниченных функций) . . . . . . . . . . . . . . . . . .	80
18.2	Простейшие свойства несобственных интегралов . . . . .		82
18.3	Сходимость несобственных интегралов . . . . . . . . . . .		87
	18.3.1	Интегралы от неотрицательных функций . . . . .	87
	18.3.2 Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость		89
	18.3.3	Признаки Абеля и Дирихле . . . . . . . . . . . . .	91
	18.3.4	Связь несобственных интегралов с рядами . . . .	93
19 Интегралы, зависящие от параметра			94
19.1	Собственные интегралы, зависящие от параметра . . . .		94

ОГЛАВЛЕНИЕ		V
19.1.1	Непрерывность по параметру . . . . . . . . . . . .	94
19.1.2	Дифференцирование по параметру . . . . . . . . .	95
19.1.3	Интегралы с пределами, зависящими от параметра	99
19.2 Несобственные интегралы, зависящие от параметра . . .		101
19.2.1	Равномерная сходимость . . . . . . . . . . . . . . .	102
19.2.2	Признаки равномерной сходимости . . . . . . . . .	105
19.2.3	Связь с функциональными рядами . . . . . . . . .	111
19.2.4	Основные свойства несобственных интегралов, зави-
	сящих от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . .	112
19.2.5	Интегралы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . .	119
20 Ряды Фурье		125
20.1 Ортонормированные системы и ряды Фурье по ортонорми-
рованным системам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		125
20.2 Замкнутые и полные ортонормированные системы . . . .		135
20.3 Тригонометрические ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . .		138
20.3.1 Ядро Дирихле и его свойства. Принцип локализации		138
20.3.2 Условия сходимости тригонометрического ряда Фурье
	в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	141
20.3.3	Суммирование ряда Фурье методом Чезаро . . . .	147
20.3.4	Теоремы о приближении непрерывных функций .	151
20.3.5 Замкнутость тригонометрической системы в классе
	кусочно непрерывных функций . . . . . . . . . . .	153
20.3.6 Почленное дифференцирование и интегрирование ря-
	дов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	155
21 Интеграл Римана – Стилтьеса		162
21.1 Интеграл Римана – Стилтьеса относительно монотонной функ-
ции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		162
21.2 Функции ограниченной вариации и интеграл Римана – Стил-
тьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		171

VI		ОГЛАВЛЕНИЕ
22 Кратные интегралы			179
22.1	Мера Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		179
	22.1.1	Мера сегмента и ее свойства . . . . . . . . . . . . .	179
	22.1.2	Мера фигуры и ее свойства . . . . . . . . . . . . .	181
	22.1.3	Мера Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	183
	22.1.4	Множества жордановой меры нуль и критерий изме-
		римости по Жордану . . . . . . . . . . . . . . . . .	185
	22.1.5	Свойства меры Жордана . . . . . . . . . . . . . . .	189
22.2	Интеграл Римана в многомерном пространстве . . . . . .		191
	22.2.1	Суммы Дарбу и их свойства . . . . . . . . . . . . .	193
	22.2.2	Достаточные условия интегрируемости . . . . . .	198
	22.2.3	Свойства интеграла Римана . . . . . . . . . . . . .	201
	22.2.4	Замена переменной в кратном интеграле . . . . .	208
23 Криволинейные интегралы			220
23.1	Спрямляемые кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		220
23.2	Криволинейные интегралы первого рода . . . . . . . . . .		222
23.3	Криволинейные интегралы второго рода . . . . . . . . . .		226
23.4	Формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		229
23.5	Потенциальные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		233
24 Поверхностные интегралы			239
24.1	Поверхности в трехмерном пространстве . . . . . . . . .		239
	24.1.1	Простые и почти простые поверхности . . . . . . .	239
	24.1.2	Ориентируемые поверхности . . . . . . . . . . . . .	243
	24.1.3	Площадь поверхности . . . . . . . . . . . . . . . .	244
24.2	Поверхностные интегралы первого рода . . . . . . . . . .		248
24.3	Поверхностные интегралы второго рода . . . . . . . . . .		250
25 Элементы теории поля			255
25.1	Векторные поля. Дивергенция и вихрь . . . . . . . . . . .		257
25.2	Формула Остроградского – Гаусса . . . . . . . . . . . . .		258
25.3	Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		262

ОГЛАВЛЕНИЕ		VII
25.4	Потенциалы в R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	265
25.5	Соленоидальные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	267
Экзаменационные билеты		271
Третий семестр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		271
Четвертый семестр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		279
Предметный указатель		284

УЧЕБНЫЙ ПЛАН КУРСА

Согласно с учебным планом курс математического анализа рассчитан на 4 семестра и читается на первых двух курсах.

Расчет часов по семестрам и форма отчетности приведены в следующей таблице.

	Курс	Семестр	Всего	Лекций	Практич.	Зачет	Экзамен
			(часов)		занятий
	1	1	144	72	72	+	+
	1	2	136	68	68	+	+
	2	3	144	72	72	+	+
	2	4	119	68	51	+	+
		Всего	543	280	263	4	4

В каждом семестре по результатам контрольных мероприятий начисляются баллы и выставляется оценка за семестр в соответствии с количеством баллов по следующему критерию.

Всего баллов за семестр – 100:

по теоретическому материалу – 50, по практическим занятиям – 50.

Шкала оценок по результатам семестра:

	Баллы	25 – 50 (из 50)		0 – 49	50 – 69	70 – 84	85 – 100
	Оценка	Зачет		Неуд.	Удовл.	Хорошо	Отлично

VIII

Учебный план курса	IX

Распределение учебного материала по семестрам, форма отчетности, баллы1

	Сем.	Мод.	Темы	Отчетность	Проводит	Баллы	Нед.
	1	1	Шк.	Озн. КР	Асс.		1
	1	1	1	КР	Асс.		3
	1	1	2	КР	Асс.		7
	1	1	1,2	Инд. КР	Лект.	15	9
	1	2	3	КР	Асс.		11
				КР	Асс.
	1	2	4				15
	1	2	3,4	Колл. (соб.)	Лект.	15	18
	1	3	5	КР	Асс.		20
	1	3	1 – 5	Итог. соб.	Лект., Асс.	20	21
	2	1	6	КР	Асс.		3
	2	1	7,8	КР	Асс.		7
	2	1	6 – 8	Инд. КР	Лект.	15	8
	2	2	9 – 11	КР	Асс.		11
				КР	Асс.
	2	2	12				15
	2	2	9 – 12	Колл. (соб.)	Лект.	15	16
	2	3	13,14	КР	Асс.		19
	2	3	6 – 14	Итог. соб.	Лект., Асс.	20	20

1Сем. – семестр; Мод. – номер модуля; Нед. – неделя; Шк. – материал школь-

ной программы; Озн. КР – ознакомительная контрольная работа; КР – контрольная работа; Инд. КР – индивидуальная контрольная работа; Колл. (соб.) – коллоквиум (собеседование); Итог. соб. – итоговое собеседование; Асс. – ассистент; Лект. – лектор

X						Вводная часть
	Сем.	Мод.	Темы	Отчетность	Проводит	Баллы	Нед.
	3	1	15	КР	Асс.		4
	3	1	16,17	КР	Асс.		7
	3	1	15 – 17	Инд. КР	Лект.	15	9
	3	2	18	КР	Асс.		11
	3	2	19	КР	Асс.		15
	3	2	18 – 19	Колл. (соб.)	Лект.	15	18
	3	3	20,21	КР	Асс.		19
	3	3	15 – 21	Итог. соб.	Лект., Асс.	20	21
	4	1	22	КР	Асс.		4
	4	1	22	КР	Асс.		7
	4	1	22	Инд. КР	Лект.	15	8
	4	2	23	КР	Асс.		11
	4	2	24	КР	Асс.		15
	4	2	23,24	Инд. КР	Лект.	15	16
	4	3	25	КР	Асс.		19
	4	3	22 – 25	Итог. соб.	Лект., Асс.	20	20

Даты проведения контрольных мероприятий и распределение баллов

по контрольным работам по практическим занятиям согласовываются в

начале текущего семестра.