Вартанян.Функциональный анализ. (1)

ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И.И.Мечникова

Институт Математики, Экономики и Механики Кафедра математичнеского анализа

ВАРТАНЯН Г.М. ФУНКЦИОНАЛЬНИЙ АНАЛИЗ

ОДЕССА 2001 р.

Оглавление

1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.			4
1.1	Простейшие понятия теории множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		4
1.2	Частичная упорядоченность. Упорядоченность . .	. . . . . . . . . . . . . . . .	5
1.3	Определение и примеры метрических пространств.	. . . . . . . . . . . . . . .	6
1.4	Топология метрического пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		7
1.5	Подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		9
1.6	Изометрия метрических пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		9

1.7Сходимость последовательностей в метрическом пространстве . . . . . . . . . 9

1.8Пополнение метрических пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.9Основные теоремы в полных метрических пространствах . . . . . . . . . . . . 12

1.10Множества первой и второй категории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.11Принцип сжимающих отображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.12Компактность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.13Вполне ограниченные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.14Критерий компактности в пространстве непрерывных функций . . . . . . . . 18

2 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

21

2.1Определение линейных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2Фактор пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3Нормированные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4Эквивалентные нормы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5Конечномерные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6Пространства с внутренним произведением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6.1Евклидовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6.2Унитарные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6.3Ортогонализация и ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.4Гильбертовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6.5Подпространства, ортогональные дополнения, прямая сумма . . . . . . 34

3 ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ		36
3.1	Продолжение функционалов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	37
3.2	Теорема Хана - Банаха в нормированном пространстве . . . . . . . . . . . . .	41
3.3	Сопряженное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	43
4 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ		51
4.1	Определение линейных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	51
4.2	Примеры линейных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	52
4.3	Пространство линейных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	53
4.4	Кольцо линейных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	53
4.5	Полнота пространства операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	54
4.6	Принцип равномерной ограниченности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	55
4.7	Обратный оператор, обратимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	59

2

4.7.1	Критерии существования обратного оператора . . . . . . . . . . . . . .	59
4.7.2	Теорема об обратном операторе. Принцип открытости отображения .	61
4.7.3	Метод последовательных приближений . . . . . . . . . . . . . . . . . .	63
4.7.4 Сопряженные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		64
4.7.5	Компактные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	65
4.7.6	Уравнения компактных операторов. Теория Фредгольма . . . . . . . .	67

3

Глава 1

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.

1.1 Простейшие понятия теории множеств

Множество - это совокупность объектов, обладающих некоторым заданным свойством.

Всякое множество определяется некоторым свойством P è			состоит из тех и только
тех объектов, которые обладают этим свойством. Условимся в дальнейшем обозначать
рассматриваемые множества	большими	буквами A, B, C, ...	èëè X, Y, Z, ..... Объекты,
составляющие множество, называются его элементами и обозначаются маленькими
буквами: a, b, c, ..., x, y, z, ....	Множество	A, состоящее из	элементов x, y, z, ... часто
обозначают так:

A = {x, y, z, ...}.

Если элементы a è b совпадают, то пишут a = b. Если элементы a è b различны, то пишут a 6= b. Условие, что элемент a принадлежит множеству A, записывают так: a A, а запись a / A означает, что элемент a не принадлежит множеству A.

Если необходимо подчеркнуть, что множество A составляют элементы, которые

принадлежат универсальному множеству X и обладают свойством P , то часто применяют запись:

A = {a X |P } .

Читается эта запись так: множество A состоит из тех элементов X, которые обладают свойством P .

Пусть A è B два множества из X. Говорят, что множество B содержится в множестве A, если каждый элемент множества B является и элементом множества A. Включение множества B в множество A обозначают символом и записывают так: B A. Множество B не содержится в A, если существует хотя бы один элемент b B, ÷òî b / A.

Два множества A è B называются совпадающими (равными), если они состоят из одних

и тех же элементов, и тогда пишут A = B.

Отношение включения двух множеств обладает следующими свойствами: 1) A A;

2) åñëè A B, à B A., òî A = B.;

3) åñëè B A, à A C, òî B C.

Рассмотрим множество, не содержащее ни одного элемента. Такое множество называется пустым множеством и обозначается символом .

Множество A и называются несобственными подмножествами множества A. Остальные подмножества A называются собственными. Очевидно следующее свойство:A для любого A.

Пусть A è B два множества из X. Объединением (или суммой) множеств A è B называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A èëè B. Объединение C двух множеств A è B обозначается так: C = A B.

4

[

Аналогично C = Aα обозначает объединение любого числа множеств Aα, где индекс

α

α в свою очередь принадлежит некоторому множеству.

Пересечением множеств A è B называется множество C, состоящее из элементов, принадлежащих как множеству A, так и множеству B. Пересечение двух множеств A è B обозначается так: C = A ∩ B.

\

Точно так же C = Aα обозначает пересечение любого числа множеств Aα.

α

Введенные операции обладают следующими свойствами, которые проверяются непосредственно:

1) A B = B A (коммутативность объединения);

2) A ∩ B = B ∩ A (коммутативность пересечения);

3) (A B) C = A (B C) (ассоциативность объединения);

4) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (ассоциативность пересечения);

5) (A B) ∩ C = (A ∩ C) (B ∩ C) (дистрибутивность пересечения); 6) (A ∩ B) C = (A C) ∩ (B C) (дистрибутивность объединения),

Разностью множеств A è B называется совокупность тех элементов из A, которые не

принадлежат B. Разность множеств A è B обозначают так: A \ B. Таким образом

A \ B = {a |a A, a / B } .

Дополнением cA множества A до множества X (A X) называют совокупность элементов из X не вошедших в A:

cA = {x |x X, x / A} .

1.2 Частичная упорядоченность. Упорядоченность

Множества, расположенные на числовой прямой, естественным образом упорядочены, т. е. между двумя любыми элементами можно поставить определенный знак неравенства. Однако во многих важных случаях такое отношение порядка на множестве не всегда имеет место. Поэтому нам понадобятся следующие определения.

Пусть дано множество A. Пусть, далее, выделено некоторое подмножество R множества всех пар элементов A, ò. å. R A×A. Åñëè ïàðà (a, b) принадлежит R, то будем записывать

ýòî òàê: a b. Мы говорим, что отношение является отношением частичного порядка, если выполняются следующие условия:

1) èç a b è b c следует a c; 2) a a для любого a A;

3) èç a b, b a следует, что a = b.

Условия (2) и (3) показывают, что порядок является нестрогим, т. е. не исключает совпадения элементов. Элементы a è b, для которых имеет место соотношение a b èëè b

a, называются сравнимыми, а исходное множество A называется частично упорядоченным отношением .

Если для любых двух различных элементов a è b множества A известно, что либо a b, ëèáî b a, то множество A называется упорядоченным отношением a a.

Подмножество B частично упорядоченного отношением множества A называется ограниченным сверху, если существует элемент a A такой, что b a для любых b B. Любой такой элемент a называется верхней границей множества B (аналогично определяется нижняя граница.) Если, кроме того, a c для всякой другой верхней границы c множества B, òî a называется точной верхней границей, или верхней гранью множества B (аналогично определяется нижняя грань).

5

Если некоторый элемент m частично упорядоченного множества A обладает тем

свойством, что из соотношений p A è m p следует, что m = p, òî m называется максимальным элементом. Аналогично определяется минимальный элемент.

При доказательстве теорем о множествах, содержащих бесконечное число элементов, часто используется следующая лемма.

Лемма Цорна. Если в непустом, частично упорядоченном множестве A äëÿ

всякого упорядоченного подмножества B существует верхняя грань, то в A существует максимальный элемент.

Непустое упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если любое его непустое подмножество имеет минимальный элемент.

Теорема Цермело. Всякое множество путем введения некоторого отношения порядка можно сделать вполне упорядоченным.

Доказательство теоремы Цермело опирается на так называемую аксиому выбора, утверждающую, что если дана любая система непустых попарно непересекающихся множеств, то существует новое множество, имеющее с каждым из множеств системы по одному и только одному общему элементу.

Утверждение аксиомы выбора кажется интуитивно ясным, однако использование этой аксиомы приводит к неконструктивным, доказательствам, так как закон выбора не может быть указан явно. Многие факты, установленные с помощью аксиомы выбора, не являются наглядными.

Можно показать, что лемма Цорна, аксиома выбора и теорема Цермело эквивалентные друг другу утверждения. Они являются обобщением принципа математической индукции в случае несчетных множеств.

В некоторых разделах функционального анализа используется понятие направленного множества.

Частично упорядоченное множество А называется направленным, если каждое конечное его подмножество имеет верхнюю границу.

Легко проверить, что, для того чтобы множество было направленным, достаточно, чтобы каждое его подмножество из двух элементов имело верхнюю границу.

1.3 Определение и примеры метрических пространств.

Определение. Пусть X - непустое множество. Говорят, что на X задана метрика ρ, åñëè

любым двум элементам x è y èç X поставлено в соответствие действительное число ρ(x, y) òàê, ÷òî:

1.	ρ(x, y) ≥ 0 äëÿ âñåõ x è y èç X, причем ρ(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y;
2.	ρ(x, y) = ρ(y, x) (аксиома симметрии);
3.	ρ(x, y) ≤ ρ(y, z) + ρ(z, y) для любых x.y.z X (неравенство треугольника).

Множество X с заданным на нем расстоянием ρ, называется метрическим пространством. Очевидно, что на одном и том же множестве могут задаваться различные расстояния,

поэтому метрическим пространством мы будем называть пару X, ρ. В дальнейшем эту

пару мы будем обозначать через (X, ρ).

Приведем наиболее важные примеры метрических пространств.

1. Множество всех действительных чисел R или комплексных чисел C с метрикой

ρ(x, y) = |x − y|;

2. Пространство Rn (Cn) всевозможных упорядоченных наборов из n действительных

(комплексных) чисел x = (x1, x2, ..., xn) с метрикой ρ(x, y) = q	k=1	(xk − yk)	2
	n
	P

6

3. Пространство C[a;b] это множество всех непрерывных на отрезке [a; b] функций с равномерной метрикой

ρ(x, y) = max |x(t) − y(t)| .

a≤t≤b

4. Пространство Lp[a;b] (1 ≤ p < ∞) измеримых на [a; b] функций x(t), для которых

Z b

|x(t)|p dt < ∞.

a

Считая функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль, равными между собой,
положим	( ab	1
ρ(x, y) =		|x(t) − y(t)|p dt)p .
	Z

5. Пространство lp (1 ≤ p < ∞) всевозможных числовых последовательностей действительных (комплексных) чисел x = (x1, x2, ..., xn, :) для которых

∞		< ∞.
|xn|p
X
n=1
с метрикой		1
ρ(x, y) = ( ∞
	|xn − yn|p)p .
X

n=1

6. Пространство l∞ всевозможных числовых последовательностей действительных (комплексных) чисел x = (x1, x2, ..., xn, ...) для которых

sup |xn| < ∞

1≤n<∞

с метрикой

ρ(x, y) = sup |xn − yn| .

1≤n<∞

Очевидно, что на данных пространствах метрику можно определять не только таким способом. Однако, в дальнейшем, мы будем считать, что эти пространства рассматриваются именно с этими метриками

1.4 Топология метрического пространства.

Пусть X метрическое пространство с метрикой ρ и точка x0 X. Открытым шаром B = B(x0, r) с центром x0, и радиусом r > 0 называют множество точек x метрического пространства X обладающих свойством ρ(x0, x) < r, ò.å.

B(x0, r) = {x |x X, ρ(x0, x) < r }

Замкнутым шаром B = B(x0, r) с центром x0, и радиусом r > 0 называют множество точек x метрического пространства X обладающих свойством ρ(x0, x) ≤ r, ò.å.

B(x0, r) = {x |x X, ρ(x0, x) ≤ r }

Множество A X называется ограниченны, если существует шар конечного радиуса, целиком содержащий это множество.

Точка x0 называется внутренней точкой множества E X, если существует шар с

центром в точке x0, содержащийся в E. Множество X называется открытым, если все его точки являются внутренними точками этого множества.

7

Нетрудно заметить, что пересечение двух шаров, имеющих непустое пересечение, и тем более, их объединение, содержит шар некоторого радиуса. Таким образом, из определения открытого множества легко получить следующее утверждение.

Лемма 1. Пересечение любого конечного числа открытых множеств и объединение любого семейства открытых множеств есть множество открытое.

Пусть X метрическое пространство и x0 X. Окрестностью точки x0 называется любое открытое множество, содержащее эту точку. Точка x0 называется предельной точкой множества E, если в любой окрестности точки x0 содержатся точки из E, отличные от x0. Множество E X называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Пустое множество считается открытым и замкнутым.
По аналогии с леммой 1 можно доказать аналогичное утверждение для замкнутых
множеств.
Лемма 2. Пересечение любого числа замкнутых множеств и объединение любого
конечного семейства замкнутых множеств есть множество замкнутое.
Связь между открытыми и замкнутыми множествами отражает следующая лемма.
Лемма 3. Подмножество E метрического пространства X открыто тогда и только
тогда, когда его дополнение cE = X \ E замкнуто.
Замыканием множества E называется пересечение всех замкнутых	множеств,
¯
содержащих множество E. Замыкание множества обозначается символом E. Как известно
E¯ = E E0, ãäå E0 множество всех предельных точек для E.	¯

Множество E называется всюду плотным в метрическом пространстве X, åñëè E = X. Иными словами в любом маре из X есть элементы принадлежащие E. Соответственно, множество E нигде неплотно в X, если в любом шаре из X найдется шар, не содержащий

элементов из E.

Метрическое пространство называется сепарабельным, если в нем существует счетное, всюду плотное подмножество.

ПРИМЕРЫ.

1. Действительная прямая R сепарабельное пространство. Счетным всюду плотным в R. подмножеством является, например, множество Q всех рациональных чисел.

2. В пространстве Rn, n N множество всех точек с рациональными координатами образует счетное всюду плотное подмножество.

3. Пространство C

подмножеством является[a;b]множествосепарабельновсех . В этом пространстве, счетным всюду плотным

P алгебраических полиномов с рациональными коэффициентами. Действительно, согласно теореме Вейерштрасса для любой функции

x(t) C[a;b] и любого ε > 0 найдется такой алгебраический полином Pn(t), ÷òî

max |x(t) − Pn(t)| < ε.

a≤t≤b

Ясно, что коэффициенты полинома Pn можно выбрать рациональными. Таким образом, в каждом шаре пространства C[a;b] содержатся точки из P , так что множество P всюду плотно. Легко убедиться в том, что P счетное множество.

4.	Пространство L[pa;b]	(1	≤	p < ∞) сепарабельно.	Здесь	счетным	всюду
плотным подмножеством также является множество всех алгебраических полиномов с
рациональными коэффициентами.				∞ сепарабельно пространство lp. Счетное
5.	При любом p, 1 ≤ p <						всюду
плотное подмножество в нем образуют всевозможные финитные последовательности
рациональных чисел.			l∞
á.	Пространство			несепарабедьно.	Пусть	E

множество всевозможных последовательностей из нулей и единиц. Известно, что множество

E имеет мощность континуума. При этом для любых двух различных точек x, y E имеем ρ (x, y) = 1. Стало быть, в E, существует континуум попарно непересекающихся шаров (это

8

открытые шары радиуса 1/2 с центрами в точках множества E). Поэтому никакое счетное множество не может быть всюду плотным в l∞:

1.5 Подпространства

Пусть X - метрическое пространство, и Y X подмножество X. В зависимости

от того, по каким причинам выделяется множество Y , метрика на этом множестве может определяться по-разному. Во многих случаях бывает естественным сохранить между любыми двумя элементами то же самое расстояние, которое было между

ними в пространстве X. Такое расстояние на множестве Y называется расстоянием, индуцированным из X. Множество Y X с индуцированным расстоянием называется

подпространством пространства X.
	ПРИМЕР.
p	Пусть C[a;b]		множество всех непрерывных на				[a; b] функций. Очевидно. C[a;b]
рассматривать		∞.	Обычно на множестве		C[a;b]	задают равномерную метрику. Но можно
L[a;b], 1 ≤ p <
		C[a;b] и как подпространство с индуцированной метрикой
			ρ(x, y) = ( ab			1	x, y C[a;b].
				|x(t) − y(t)|p dt)p
			Z

Пространство непрерывных функций с данной метрикой является подпространством Lp Для подпространств имеет место теорема связывающая топологические свойства[a;b].

множества в пространстве и его подпространстве.

Теорема. Пусть X метрическое пространство, Y его подпространство. Для того,

чтобы множество E Y	было открытым в метрическом пространстве			Y , необходимо
и достаточно, чтобы E было пересечением Y			и некоторого открытого	подмножества
метрического пространства X.
Аналогичное утверждение справедливо для замкнутых множеств.
1.6 Изометрия метрических пространств
Допустим,	÷òî	между	элементами	äâóõ

метрических пространств X è Y можно установить взаимно однозначное соответствие так,

что расстояния между соответствующими парами элементов пространств X è Y равны. Такие пространства называются изометричными. Ясно, что все метрические соотношения в одном из изометричных пространств имеют место также и в другом, поэтому различие между такими пространствами является различием лишь в конкретной природе элементов и не затрагивает существенных, т. е. связанных с расстоянием свойств пространства. Это обстоятельство дает основания для отождествления изометричных пространств.

1.7Сходимость последовательностей в метрическом пространстве

Определение. Последовательность точек {xn}∞

n=1 метрического пространства называется сходящейся к точке x0 X, åñëè ε > 0 n0 N такое, что n ≥ n0, n

выполняется неравенство ρ(xn, x0) < ε.

Упражнение. Докажите, что сходящаяся последовательность ограничена.

X N

9

Для метрического пространства понятие предельной точки множества может быть выражено в терминах сходящихся последовательностей.

Теорема 1. Пусть X метрическое пространство. Точка x X. является предельной точкой множества E X тогда и только тогда, когда существует последовательность попарно различных точек из E, сходящаяся к x.

Доказательство. Достаточность очевидна, докажем необходимость. Пусть x предельная точка множества E. Тогда в любой окрестности точки x, содержится бесконечное множество точек из E (в противном случае нашлась бы окрестность точки x, в которой вовсе не было бы точек из E, отличных от x). Возьмем произвольную точку

x1 B (x, 1) ∩ E. Далее, выберем точку x2 B x, 21	, отличную от
	x1 (это можно сделать,

бесконечно много точек из

потому что в B		x, 1			E). Продолжая этот процесс, получим
		2
последовательность точек {xn}n∞=1 таких, что xn B x, n1							è
							xn (n N) не совпадает ни с
одной из точек			. Ясно, что точки		попарно различны; кроме того,			1
	x1	, ..., xn−1		xn				ρ (xn, x) < n
ò. å.

limn→∞ xn = x.

Определение. Последовательность точек {xn}∞ X n=1 метрического пространства

называется фундаментальной если ε > 0 n0 N такое, что n ≥ n0, m ≥ n0, n, m N

выполняется неравенство ρ(xn, xm) < ε.

Из этого определения можно получить следующее утверждение;

Упражнение. Докажите, что фундаментальная последовательность ограничена.

Установим справедливость теоремы связывающей сходящиеся и фундаментальные

последовательности.

Теорема 2. Каждая сходящаяся последовательность фундаментальна.

∞

Доказательство. Пусть

X

метрическое пространство

с метрикой

ρ

è

сходящаяся к

{xn}n=1

x X последовательность точек этого пространства. Тогда для любого ε >ε0

найдется номер n

N, ÷òî äëÿ âñåõ n

n

0

будет выполнятся неравенство ρ (x

n

, x) <

.

Отсюда, в силу

неравенства0

треугольника,

2

≥

ε

ε

ρ (xn, xm) ≤ ρ (xn, x) + ρ (xx, xm) <

+

= ε

2

2

äëÿ âñåõ n, m ≥ n0, что и означает фундаментальность последовательности {xn}∞ Как известно, согласно критерию Коши, любая фундаментальная последовательностьn=1.

действительных чисел сходится. Однако, не каждое метрическое пространство обладает подобным свойством. Пусть, например, X интервал (0; 1) с обычной метрикой ρ(x, y) = |x − y|. Тогда последовательность xn = n1 фундаментальна, но не имеет предела в X.

Определение. Метрическое пространство X называется полным, если в этом пространстве каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства.

ПРИМЕРЫ.

1. Действительная прямая R полное метрическое пространство. Используя этот факт

(критерий Коши), нетрудно установить полноту пространства Rn (сходимость в Rn åñòü
покоординатная сходимость).
2. Сходимость в пространстве			C[a;b] это равномерная сходимость последовательности
функций. Пространство
	пространства
3. Полнота		C[a;b] является полным.
Фишера.		L[pa;b], 1		≤ p < ∞ составляет содержание теоремы Рисса-
4. Пространства lp, 1 ≤ p < ∞ полные пространства с метрикой
ρ(x, y) = ( ∞			1	, x = (x1, ..., xn, ...), y = (y1, ..., yn, ...) lp.
		|xn − yn|p)p
	X

n=1

10