Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

termex / Theoretical_Mechanics_part_03_04

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
356.61 Кб
Скачать
x(t) = C1eλ1t
x&& + k2x = 0 ,
общее решение которого, как известно, имеет вид
+ C2eλ2t ,

Динамика МТ

Краткий курс Теоретической Механики

56

§4. Прямолинейные колебания материальной точки

4.1.Свободные колебания точки при отсутствии

сопротивления.

Рассмотрим прямолинейное движение точки с массой m

под действием центральной силы F = −crr, направленной к неподвижному центру O и пропорциональной расстоянию от этого центра.

К таким силам относятся, например, квазиупругие силы,

подчиняющиеся закону Гука. Силу F называют еще восстанавливающей силой, так как она стремится вернуть

точку в положение равновесия O , где F = 0 .

Если начальная скорость vr0

точки M равна нулю или

направлена вдоль линии OM ,

то движение под действием

центральной силы F , будет прямолинейным.

 

 

r

 

 

v0

M0

O

 

F

M

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.1

 

Направим координатную ось Ox вдоль линии OM ,

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fx = − c x ,

(4.1)

где c > 0

– постоянный

 

коэффициент

(коэффициент

восстановления), который в случае упругой силы пружины называется коэффициентом жесткости.

Коэффициент жесткости численно равен силе, которая деформирует пружину на единицу длины.

Составим дифференциальное уравнение (3.1) движения

точки:

(4.2)

mx = −cx .

&&

 

Введем обозначение k2 = c / m ,

(4.3)

тогда уравнение (4.2) перепишется в виде обыкновенного, линейного, однородного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:

(4.4)

(4.5)

где λ1 и λ2 – корни характеристического уравнения,

которое получается при подстановке x(t) = eλt

в (4.4):

 

 

λ2 + k2 = 0 ,

(4.6)

корни

которого

являются

чисто

мнимыми:

λ1 = −ik, λ2 = +ik .

 

 

 

Подставляя λ1 и λ2 в общее решение (4.5), будем

иметь

 

 

 

 

 

x(t) = C eikt + C eikt .

 

 

 

1

2

 

Воспользуемся формулой Эйлера eiβ = cos β + i sin β и преобразуем решение к виду:

x(t) = A cos(kt) + B sin(kt) ,

(4.7)

где A = C1 + C2 и B = i (C2 C1)

постоянные

интегрирования.

 

Решению (4.7) можно придать и другой функциональный вид, используя замену постоянных следующего вида: A = a sin(α), B = a cos(α) .

Тогда получим

x(t) = a [sin(α) cos(kt) + cos(α) sin(kt)] =

(4.8)

= a sin(kt + α)

Закон (4.8) является другой формой общего решения дифференциального уравнения (4.4).

Постоянными интегрирования здесь являются a и α.

Движение МТ по закону (4.8) носит название простого

гармонического колебания.

Скорость точки в этом движении будет

v

x

= x&

(t) = ak cos(kt + α) .

(4.9)

 

 

 

 

Поскольку

| sin(kt + α) |≤ 1 , то постоянная

a

определяет наибольшее отклонение точки от центра колебаний O , и ее называют амплитудой колебания.

Величина (kt + α) , определяющая положение и

скорость точки в данный момент времени, называется фазой колебания, а постоянная α – есть начальная фаза колебания.

Из закона (4.8) видно, что исследуемое движение МТ является периодическим. Периодом колебания называется такой промежуток времени T , в течение которого точка совершает одно полное колебание.

Другими словами, какой бы мы ни выбрали произвольный момент времени t* , характеризующийся для МТ положением x* и скоростью v* , в момент времени t* + T эта точка займет такое же положение x* , и будет иметь такую же скорость движения v* .

Наименьшее значение T , при котором выполняются эти условия, определяется равенством kT = 2π, откуда период

колебания

 

T = 2π/ k .

(4.10)

Величина η = 1/ T , обратная

периоду, определяет

число колебаний, совершаемых за одну секунду, и ее называют частотой колебания.

Величина k , пропорциональная η, носит название

круговой (циклической) или собственной частоты.

Определим постоянные a и α из начальных условий:

x0 = a sin(α),

 

v0 = ak cos(α) ,

 

откуда легко находим:

 

 

 

 

 

 

 

a = x2

+

v2

,

tg(α) =

x k

.

(4.11)

0

0

0

 

k2

 

 

v0

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, амплитуда и начальная фаза колебания зависят от начальных условий. Из равенства (4.11) видно, что если начальная скорость равна нулю (v0 = 0) , то

амплитуда равна начальному смещению x0 , а α = π/ 2 и закон движения точки будет x(t) = a cos(kt) .

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

23 апреля 2007 г.

Динамика МТ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Краткий курс Теоретической Механики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57

 

 

Если же v0 ≠ 0 , то амплитуда всегда будет больше x0 .

Решение (4.16) характеризует исследуемое движение

 

 

Часто общее решение уравнения (4.4) берут в форме

точки

как

 

колебательное,

поскольку

 

содержит

 

 

периодическую функцию sin(k t + α) .

 

 

 

 

 

(4.7).

Подстановка начальных данных для (4.7) дает закон

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

движения в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Такие колебания называют затухающими, поскольку

 

 

 

 

x(t) = x

cos(kt) +

v

 

 

 

 

 

(4.12)

амплитуда колебания содержит множитель ebt ,

который с

 

 

 

 

0 sin(kt).

 

 

 

увеличением времени убывает, стремясь к нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Величину

T* = 2π/ k* ,

являющуюся

 

периодом

 

 

Из

полученного

выражения

следует,

что

при

v0 = 0

 

 

 

тригонометрической части решения (4.16), называют

независимо от величины x0 точка приходит в центр O

периодом затухающих колебаний.

 

 

 

 

 

 

 

колебаний через 1/4 периода. Колебание, обладающее таким

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

свойством, называют таутохронным.

 

 

 

 

 

 

1,0

 

 

T*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

не

зависит

от

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку

 

 

период

колебания

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = aebt

 

амплитуды, исследованное выше движение называется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

изохронным колебанием.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

4.2. Свободные затухающие колебания точки при

0,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,0

 

 

 

 

1,0

 

 

 

 

 

2,0

 

 

 

3,0

 

 

 

 

 

сопротивлении, пропорциональном скорости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = −aebt

 

 

 

 

Пусть на точку с массой m ,

кроме восстанавливающей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

силы

 

r

,

действует

 

сила

сопротивления

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F = −cr

 

 

R = −μv ,

-1,0

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.3

 

 

 

 

 

 

 

 

пропорциональная скорости и направленная против

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если сравнить эту величину с периодом гармонических

движения.

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

R

 

M

v

 

 

 

 

 

колебаний T = 2π/ k ,

 

то можно сделать вывод о том, что

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

наличие сопротивления увеличивает период и уменьшает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

частоту колебаний, т.к.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

k

2

b

2

 

k 1

− (b / k)

2

k

 

 

 

 

Тогда

 

= −cx

и

 

 

 

= −μx& ,

и дифференциальное

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

R

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Установим

закон затухания

размахов

колебаний.

По

уравнение движения точки будет:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

определению промежуток времени между двумя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&&

&

 

+ k

x = 0 ,

 

 

 

 

(4.13)

последовательными максимальными отклонениями точки в

 

 

 

 

 

 

 

 

x +

2bx

 

 

 

 

 

одну сторону от положения равновесия равен периоду T* .

где

 

 

 

 

 

μ

= 2b > 0,

 

c = k2 .

 

 

 

(4.13’)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому величины двух последовательных максимальных

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

отклонений xj

и xj+1 , например, вправо будут:

 

 

 

 

Это линейное, однородное дифференциальное уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= a ebtj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет общее решение вида (4.5), где λ1,2

= −b ±

b

2

k

2

 

 

x

j

 

sin(k t

j

+ α)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

– корни соответствующего характеристического уравнения:

и

 

 

 

 

b(t

 

+T )

 

 

 

+ k*T* + α) .

 

λ2 + 2bλ + k2 = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xj+1 = a e

 

j

*

 

sin(k*tj

 

 

 

Окончательный вид решения зависит от соотношения

Откуда

xj+1 = xj

e

bT*

 

 

и,

 

следовательно

между параметрами b и k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим возможные случаи.

 

 

 

 

 

 

 

xj+1 / xj = ebT* ,

т.е.

полуразмахи колебаний убывают по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

закону

геометрической

прогрессии,

знаменатель которой

 

 

Пусть b < k (малые силы сопротивления движению).

 

 

 

 

ebT*

< 1 называется декрементом колебаний.

 

 

 

 

Используем

 

обозначение

k2 = k2 b2

> 0

 

и

Соответственно

этому

величину

 

D =| ln(e

bT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

* ) |= bT

преобразуем

 

 

корни

характеристического

уравнения:

называют логарифмическим декрементом.

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

λ

1

= −b ik

 

и λ

2

= −b + ik .

Тогда общее решение (4.5)

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть имеет место случай b > k (сильное сопротивление

примет форму:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

движению). Введем обозначение

n2 = b2 k2 и запишем

 

 

 

 

x(t) = ebt

(C1eik*t + C2e+ik*t ) .

 

 

 

(4.14)

 

 

 

 

 

 

 

новые выражения для корней характеристического

 

 

Или, с использованием eiβ = cos(β) + i sin(β) , запишем

уравнения, которые будут уже действительными:

 

 

 

 

 

 

λ1 = −b n и λ2 = −b + n .

 

 

 

(4.14) в одном из следующих двух видов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общее решение задачи примет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t) = ebt [ A cos(k t) + B sin(k t)]

 

 

(4.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

*

 

 

 

 

 

 

x(t) = ebt (C ent

+ C e+nt ) .

 

(4.17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

x(t) = a ebt

sin(k* t + α) ,

 

 

 

(4.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользуемся

гиперболическими

 

функциями

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где A и B , или a и α – постоянные интегрирования,

запишем другую форму общего решения для случая b > k :

подлежащие определению из начальных условий.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

23 апреля 2007 г.

Динамика МТ

 

 

 

 

 

 

 

 

Краткий курс Теоретической Механики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

58

 

x(t) = ebt [A ch(nt) + B sh(nt)] ,

 

(4.18)

описываемых уравнением (4.19), центром колебаний будет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точка O .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где A и B – новые постоянные интегрирования.

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются в

Решения (4.17)–(4.18) указывают на то, что движение

 

каждом случае своими начальными условиями. При другом

точки уже не будет колебанием.

 

 

 

 

 

 

направлении силы Q центр Oo будет расположен левее

При t → ∞ точка асимптотически будет приближаться к

точки O .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

притягивающему центру O , см. Рис. 4.4.

 

 

 

 

 

Таким

образом,

влияние

 

постоянной

силы

 

Q

 

на

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

свободные колебания точки сводится к тому, что центр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,0

 

 

 

 

 

v0 > 0

 

 

 

 

 

 

колебаний смещается в сторону действия силы на величину

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| OOo |

=

 

= Q / c .

 

 

 

 

 

 

(4.20)

1,0

 

 

 

v0 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частота и период гармонического колебания при этом не

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

изменяются.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.4. Затухающие колебания при постоянном трении.

v0

< 0

2,5

 

 

 

 

5,0

 

 

7,5

 

 

 

0,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим движение материальной точки под

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1,0

 

 

 

 

 

Рис. 4.4

 

 

 

 

 

 

действием восстанавливающей упругой силы

 

Fx = −cx

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

направленной против движения постоянной силы трения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

случае,

когда

b = k ,

корни

характеристического

f

N ,

где

f

динамический коэффициент трения,

 

N

 

уравнения

кратные λ

1,2

= −b

и общее решение уравнения

нормальное давление.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть в начальный момент времени точка находится в

(4.13) принимает вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

положении

M0

 

на

расстоянии

x0

от

притягивающего

 

 

 

 

x(t) = ebt (C + C t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

центра

 

O и

начинает движение

без

начальной

скорости

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

Так

как

функция

ebt

убывает гораздо быстрее, чем

( v0 = 0 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

растет

линейная часть

C

+ C t ,

то картина

движения

 

При движении из крайнего правого положения

M0

 

в

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

крайнее левое положение M1

на точку,

кроме

упругой

будет такой же (см. Рис. 4.4), как и в случае, рассмотренном

выше,

движение

точки

будет

апериодическим

и

силы,

действует

 

постоянная

 

сила

трения

 

 

F

= f N ,

асимптотически затухающим с течением времени.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тр

 

 

 

 

 

 

 

 

направленная вправо, см. Рис. 4.6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.3. Влияние постоянной силы на свободные колебания

 

Воспользуемся выводами предыдущего пункта –

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точки.

движение на отрезке M0 M1 будет гармоническим

Пусть

на

точку,

кроме

восстанавливающей

силы

колебанием

 

около

центра

 

 

O1 ,

который

смещен

 

r

направленной

к

центру

O ,

действует

еще

относительно центра O вправо на величину

 

 

= f

N c .

F = −cr ,

0

 

 

 

 

 

 

 

r

= const .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

заданная постоянная сила Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M1

 

 

 

 

 

 

O

O1

 

Fупр

M

 

Fтр

M0

 

 

 

 

 

 

 

Oo

 

 

 

M

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

O

 

 

 

F

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

 

 

 

 

 

 

a1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поместим начало координат в положение статического

 

 

Таким

образом,

амплитуда

колебания

(относительно

равновесия Oo

и направим координатную ось Ooxo вправо.

 

 

центра O1 ) на

 

отрезке

движения

M0M1

 

будет

 

равна

Статическое

смещение

 

= OOo

от

притягивающего

 

 

 

o

a

= x

0

0

=

 

0

x ,

где

x

0

– координата точки

M

0

центра

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O определится из равенства сил

F и Q для этой

по отношению к центру O . Поэтому координата x

 

точки

точки, т.е. c

 

= Q . Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

относительно центра O будет равна x = 2

0

x

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fx = −c(xo +

o )

 

 

 

 

 

 

Из

 

положения

 

M

материальная

точка

начинает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

Fx + Qx = −c(xo + o ) + c o = −cxo ,

 

 

 

двигаться вправо под действием упругой силы и постоянной

 

 

 

силы трения, которая теперь будет направлена влево.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно,

дифференциальное

уравнение

колебаний,

Fтр Fупр O2

 

 

 

M2

 

 

M0

x

примет вид

 

 

 

 

 

 

M1

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&&

= −cxo или

&&

 

2

xo = 0 .

(4.19)

M

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mxo

xo + k

 

 

a2

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

Это уравнение в точности совпадает с уравнением (4.4),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно, совпадут и законы этих колебаний, с той

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лишь разницей,

что центром колебаний, описываемых

 

 

Рис. 4.7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнением (4.4),

является

точка

O , а для

колебаний,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

 

 

 

 

 

23 апреля 2007 г.

Динамика МТ

Краткий курс Теоретической Механики

59

Следовательно, движение на отрезке M1M2 будет

гармоническим колебанием с тем же периодом, но около центра O2 , смещенного относительно центра O влево на

расстояние O2O = 0 . Амплитуда на отрезке движения M1M2 составит a2 = a1 − 2 0 , см. Рис. 4.7.

Координата x2 точки M2 по отношению к центру O будет равна x2 = −x1 − 2 0 , или с учетом предыдущих рассуждений, получим: x2 = x0 − 4 0 . Таким образом, за один «период» колебания его «амплитуда» уменьшилась на величину 4 0 =| M2M0 | .

Следовательно, при действии постоянной силы трения колебания точки будут затухающими. Размахи этих колебаний будут убывать по закону арифметической

прогрессии с разностью 2

0 .

 

 

 

 

Координата

крайней

точки

колебания Mj

будет

x

j

= (−1)j (x

0

− 2j

0

) , причем эта точка будет находиться

 

 

 

 

 

 

 

слева от притягивающего

центра O при нечетном

j и

справа – при

j

четном. Частота же затухающих колебаний

будет совпадать с частотой собственных колебаний k .

 

 

 

Колебания

прекратятся, как

только остановка

точки

(положение

Mj ) придется на так называемую «мертвую

зону», где восстанавливающая сила будет по величине

меньше статической силы трения f0 N .

 

Границы

 

±h этой зоны определяются

из равенства

ch = f0N , т.к. вообще f0 f , то

h = f0 N c .

Число

j

размахов, которые точка проделает до

остановки,

найдется

из

условия

aj−1 > h,

aj < h или

a0 − 2(j −1)

0 > h и a0 − 2j 0 < h , откуда

 

 

 

 

a0 h

j

a0 h

+ 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

 

2

0

 

 

 

 

 

 

§ 5.

Вынужденные колебания точки.

Колебания

 

материальной

 

точки

называются

вынужденными, если на точку, кроме направленной к центру O восстанавливающей силы, действует некоторая

изменяющаяся со временем сила Η(t) , называемая

возмущающей.

Ограничимся случаем, когда возмущающая сила является гармонической, т.е. изменяется по закону

Η(t) = Ηo cos( pt) ,

(5.1)

а силы сопротивления движению точки отсутствуют. Пусть на точку M массы m действуют

восстанавливающая сила (4.1) и гармоническая возмущающая сила (5.1).

Тогда дифференциальное уравнение движения точки

(3.1) будет

mx&& = −cx + Ηo cos( pt) .

Введем новые обозначения:

k2 = c m, h = Ηo m ,

и перепишем это ДУ в виде:

&&

+ k

2

x = h cos( pt) .

(5.2)

x

 

Уравнение (5.2) есть неоднородное линейное ДУ с постоянными коэффициентами. Общее решение такого

уравнения равно сумме какого-либо частного решения ~ x(t)

этого уравнения и общего решения x(t) соответствующего

однородного уравнения. Частное решение будем искать в виде правой части (5.2):

 

~

(5.3)

 

x(t) = a cos( pt) .

Для определения константы a подставляем в уравнение

(5.2) вместо

~

 

x(t) выражение x(t) и получаем тождество

 

a (k2 p2 ) cos( pt) = h cos( pt) .

(5.4)

Откуда, полагая, что k p , находим:

 

a =

h

 

.

k2 p2

Следовательно, частное решение уравнения (5.2) будет:

~

h

cos( pt) .

(5.5)

x(t) =

 

k2 p2

Соответствующее уравнению (5.2) однородное уравнение (4.4) имеет общее решение (4.7).

Поэтому общее решение уравнения (5.2) запишем в виде:

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

x(t) = x(t) + x(t) =

 

 

= c

cos(kt) + c sin(kt) +

h

cos( pt), (5.6)

 

1

2

k2 p2

 

 

 

 

 

 

где c1 и c2 – константы, для определения которых воспользуемся начальными условиями.

Пусть при t = 0 задано x = x0 и x& = v0 . Тогда

 

 

 

 

h

 

 

v

c

= x

0

 

, c

=

0

.

 

 

1

 

 

k2 p2

2

k

 

 

 

 

 

 

Закон движения точки с учетом начальных условий будет иметь вид:

x(t) = x

cos(kt) +

v0

sin(kt) −

 

 

 

0

 

 

k

(5.7)

 

h

cos(kt) +

h

 

cos( pt) .

 

 

k2 p2

k2 p2

Первые два слагаемых в выражении закона движения точки (5.7) определяют свободные колебания, которые совершала бы МТ при отсутствии возмущающей силы.

При однородных начальных условиях (МТ начинает движение без начальной скорости (v0 = 0) из центра O

(x0 = 0) ) эти два слагаемых обращаются в нуль.

Оставшиеся члены (5.7) будут отвечать за колебания МТ, вызванные действием возмущающей силы.

Причем последний член (5.7) имеет циклическую частоту p , равную частоте возмущающей силы. Именно эта

часть решения определяет вынужденные колебания МТ.

Амплитуда вынужденных колебаний – величина наибольшего динамического отклонения МТ от центра O

равна a = h| k2 p2 | .

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

23 апреля 2007 г.

Динамика МТ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Краткий курс Теоретической Механики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60

 

Статическое смещение МТ под действием постоянной

нулю. Другими словами, возмущающая сила и

силы Η = Ηo , равно

 

o = Ηo

c .

 

 

 

 

 

 

 

вынужденные

 

 

колебания

 

 

одновременно

 

достигают

 

Коэффициентом

 

динамичности

 

λ

 

называется

наибольших, наименьших значений и обращаются в нуль.

 

отношение

амплитуды

 

a

 

вынужденных

колебаний

к

8

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

статическому смещению

 

o , т.е. λ = a

o .

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициент динамичности определяет, во сколько раз

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

наибольшее динамическое смещение МТ, вызванное

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Резонанс

 

 

 

 

 

гармонической

возмущающей силой

Ηo cos( pt) , больше

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p = k

 

 

 

 

 

 

статического смещения МТ, происходящего под действием

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

постоянной

силы

Ηo ,

равной

по

величине

амплитуде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

p < k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

возмущающей силы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p > k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициентом расстройки z называется отношение

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

циклической

частоты

p

 

вынужденных колебаний

МТ к

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

циклической

частоте

k

 

ее

собственных

колебаний, т.е.

 

0,0

 

0,5

 

 

1,0

 

 

 

1,5

 

 

 

2,0

 

 

 

2,5

3,0

z = p k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициент динамичности

связан

с

коэффициентом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

p k

имеем z → 1,

λ → ∞ ,

т.е.

 

имеет

место

расстройки следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

явление резонанса. Сдвиг между фазами возмущающей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ηo

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

силы Ηo cos(kt)

и вызванными ее действием колебаниями

λ =

a

=

 

h

 

 

 

 

=

 

m

Ηo

 

=

 

1

.

(5.8)

a* sin(kt)

составляет

π 2

(имеет

 

место

отставание

 

 

o

| k2 p2 |

o

 

 

k | 1 − z2 |

| 1

z2 |

 

 

колебаний по фазе на π 2

от возмущающей силы).

 

 

 

 

Особый интерес представляет случай, когда частота

 

При этом возмущающая сила Ηo cos(kt)

и скорость МТ

возмущающей силы стремится к частоте собственных

одновременно достигают своих наибольших (наименьших)

колебаний, т.е.

p k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значений и обращаются в нуль. По направлению эти

 

Решение (5.7) утрачивает силу, поскольку содержит

векторы совпадают.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

неопределенность типа 0 0 ,

которую раскроем, пользуясь

 

В случае вынужденных колебаний большой частоты, т.е.

правилом Лопиталя:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

когда p >> k , имеем z → ∞ и λ → 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d [cos( pt) − cos(kt)]

 

h

 

 

 

 

 

 

Колебания

 

a cos( pt)

 

 

будут

 

отставать

 

по

фазе

от

x

 

 

dp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

t

sin(kt) . (5.9)

возмущающей силы Ηo cos( pt) на π.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t) = h

 

 

 

 

 

 

 

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

d

 

2

k

2

 

 

 

2k

 

 

 

 

 

 

С увеличением частоты возмущающей силы

p

 

 

 

 

 

dp [p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p=k

 

 

 

 

 

 

 

амплитуда a вынужденных колебаний стремится к нулю.

 

 

Как это видно из (5.9), при совпадении частот

 

Следовательно, действие возмущающей силы, частота

собственных

колебаний

 

и

возмущающей

силы

p = k

которой очень велика по сравнению с частотой собственных

амплитуда вынужденных колебаний становится переменной

колебаний, почти не нарушает режима собственных

a

= (h 2k) t

и растет прямо пропорционально времени.

колебаний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим теперь вынужденные колебания точки при

Это явление носит название резонанса, см. Рис. 5.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сопротивлении, пропорциональном скорости.

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x = pt / 2k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

действующие

на

точку

M

с

 

массой

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

восстанавливающая сила

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F , сила сопротивления среды

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и возмущающая сила Η

соответственно равны:

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F = −cr ,

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

,

Η = Ηo cos( pt) .

Тогда

ДУ движения

точки

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

R = −μv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проекции на ось Ox будет:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&&

&

 

2

x = h cos( pt) ,

 

 

 

 

(5.10)

 

 

 

 

 

x = −pt / 2k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

+ 2bx + k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где 2b = μ m,

k2 = c m,

 

 

h = Η

 

m .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.1

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (5.10) есть линейное неоднородное ДУ

 

Рассмотрим

подробнее

зависимость

(5.8).

При

p < k

второго порядка с постоянными коэффициентами.

 

 

 

 

 

Учитывая предыдущие рассуждения и предполагая, что

происходят вынужденные колебания малой частоты, при

 

k > b ,

сразу

запишем

 

общее

 

решение

 

однородного

этом

коэффициент

 

расстройки

принадлежит

интервалу

уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 < z < 1 ,

а

коэффициент

динамичности

монотонно

 

 

 

 

 

x(t) = a e

bt sin(k t + α

 

) ,

 

 

 

 

 

 

возрастает.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сдвиг между фазами возмущающей силы Ηo cos( pt)

и,

где a1 и α1 – постоянные интегрирования, определяемые

вызванными ее действием колебаниями

a cos( pt) ,

равен

по начальным условиям движения,

k2

= k2 b2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23 апреля 2007 г.

Динамика МТ

Краткий курс Теоретической Механики

61

Будем искать частное решение уравнения (5.10) в виде:

~

(5.11)

x(t) = Α cos( pt − ϕ) .

Для сокращения записи введем обозначение:

θ = pt − ϕ, тогда pt = θ + ϕ.

Значения Α и ϕ найдем после подстановки (5.11) в (5.10):

− Αp2 cos θ − 2bΑp sin θ + Αk2 cos θ = .

=h(cos θcos ϕ − sin θsin ϕ)

Вэтом уравнении левая и правая части тождественно равны. Следовательно, коэффициенты при функциях cos θ

иsin θ должны быть одинаковыми, откуда:

Α(k2 p2) = h cos ϕ, 2bΑp = h sin ϕ.

Решая эту систему относительно Α и ϕ , будем иметь:

Α =

h

, tg ϕ = 2bp

.

 

(k2 p2)2 + 4b2 p2

k2 p2

 

Таким образом, общее решение уравнения (5.10) будет: x(t) = a1ebt sin(k1t + α1) + Α cos( pt − ϕ) . (5.12)

Анализ решения (5.12) показывает, что при одновременном воздействии на точку восстанавливающей и возмущающей сил она совершает сложное колебательное движение.

Первый член закона движения (5.12) выражает собой собственные колебания точки с циклической частотой k1 , а

второй член – вынужденные колебания.

При наличии сопротивления собственные колебания

будут затухающими, так как множитель ebt со временем стремится к нулю. Это так же относится и к случаю сильного сопротивления, когда b k .

Поэтому, так как сопротивление движению исключить на практике невозможно, можно считать, что по истечении некоторого промежутка времени, называемого периодом установления, точка будет совершать только вынужденные колебания.

Частота вынужденных колебаний равна частоте p

гармонической возмущающей силы. Эти колебания являются незатухающими. Их амплитуда Α, а также величина ϕ , характеризующая сдвиг фазы вынужденных

колебаний по отношению к фазе возмущающей силы, от начальных условий движения МТ не зависят.

Преобразуем формулы для указанных величин к следующему виду:

Α

= λ =

1

 

,

 

o

(1 − z2 )2 +

2z2

(5.13)

 

 

z

, η = b .

 

tg ϕ =

 

 

1

z2

 

k

 

Исследуем подкоренное выражение для коэффициента динамичности:

f(z) = (1 − z2 )2 + 4η2z2 .

Производная этой функции будет равна

f′(z) = 4z[2η2 − (1 − z2 )] .

При малых сопротивлениях, когда η2 << 1 , при

возрастании z от нуля до малых значений эта производная отрицательна. Следовательно, знаменатель коэффициента динамичности убывает, а сам коэффициент динамичности – возрастает. Вместе с ним возрастает и амплитуда вынужденных колебаний.

6,0

Α

 

 

η = 0

 

 

5,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4,0

 

 

 

η = 0.1

 

 

 

 

 

 

 

 

3,0

 

 

 

 

 

 

2,0

 

 

 

η = 0.2

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0

 

 

 

 

 

 

0,0

 

 

 

 

z

 

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

 

 

Рис. 5.3

При

z = 1 − 2η2

коэффициент динамичности

 

*

 

(амплитуда Α) имеет максимум, т.е. наступает резонанс. Очевидно, что значение z* , при котором имеет место

резонанс, тем меньше отличается от единицы, чем меньше величина η, т.е. чем меньше сопротивление движению МТ.

При значениях z > z* амплитуда Α убывает, стремясь к нулю при z → ∞. Влияние параметра η на амплитуду

вынужденных колебаний очевидно – чем он больше, т.е. чем больше сопротивление движению точки, тем меньше амплитуда ее вынужденных колебаний.

Характер зависимости сдвига фаз ϕ от коэффициента динамичности z следующий.

При z = 0 будет ϕ = 0 ; на интервале значений 0 < z < 1 имеем 0 < ϕ < π2 .

При резонансе z = 1 и ϕ = π2 .

Когда z > 1 имеем ϕ > π2 , а при z → ∞ будет ϕ → π.

Следовательно, при малых значениях z фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы примерно совпадают; при

резонансе эти фазы сдвинуты на 90o , а при больших значениях z сдвиг фаз приближается к 180o .

Если же сопротивление отсутствует (η = 0) , то при любом z < 1 ϕ = 0 ; при z = 1 ϕ = 90o ; и при любом

z > 1 ϕ = 180o .

Теория вынужденных колебаний имеет много важных приложений в разных областях физики и техники (акустика, радиотехника, сейсмография, проблема защиты от вибраций и т.д.) При этом широко используется явление резонанса, позволяющее даже при малой величине возмущающей силы получить интенсивные вынужденные колебания за счет совпадения частот p и k .

Другое важное свойство этих колебаний позволяет, наоборот, даже при больших значениях возмущающей силы делать амплитуду вынужденных колебаний очень малой за счет такого подбора соотношения между частотами p и k ,

при котором p много больше k .

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

23 апреля 2007 г.

Соседние файлы в папке termex