termex / Theoretical_Mechanics_part_03_04
.pdfДинамика МТ |
Краткий курс Теоретической Механики |
56 |
§4. Прямолинейные колебания материальной точки
4.1.Свободные колебания точки при отсутствии
сопротивления.
Рассмотрим прямолинейное движение точки с массой m
под действием центральной силы F = −crr, направленной к неподвижному центру O и пропорциональной расстоянию от этого центра.
К таким силам относятся, например, квазиупругие силы,
подчиняющиеся закону Гука. Силу F называют еще восстанавливающей силой, так как она стремится вернуть
точку в положение равновесия O , где F = 0 . |
||||||||
Если начальная скорость vr0 |
точки M равна нулю или |
|||||||
направлена вдоль линии OM , |
то движение под действием |
|||||||
центральной силы F , будет прямолинейным. |
||||||||
|
|
r |
|
|
v0 |
M0 |
||
O |
|
F |
M |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Рис. 4.1 |
|
|||
Направим координатную ось Ox вдоль линии OM , |
||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fx = − c x , |
(4.1) |
||||
где c > 0 |
– постоянный |
|
коэффициент |
(коэффициент |
восстановления), который в случае упругой силы пружины называется коэффициентом жесткости.
Коэффициент жесткости численно равен силе, которая деформирует пружину на единицу длины.
Составим дифференциальное уравнение (3.1) движения
точки: |
(4.2) |
mx = −cx . |
|
&& |
|
Введем обозначение k2 = c / m , |
(4.3) |
тогда уравнение (4.2) перепишется в виде обыкновенного, линейного, однородного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:
(4.4)
(4.5)
где λ1 и λ2 – корни характеристического уравнения,
которое получается при подстановке x(t) = eλt |
в (4.4): |
|||
|
|
λ2 + k2 = 0 , |
(4.6) |
|
корни |
которого |
являются |
чисто |
мнимыми: |
λ1 = −ik, λ2 = +ik . |
|
|
|
|
Подставляя λ1 и λ2 в общее решение (4.5), будем |
||||
иметь |
|
|
|
|
|
x(t) = C e−ikt + C eikt . |
|
||
|
|
1 |
2 |
|
Воспользуемся формулой Эйлера eiβ = cos β + i sin β и преобразуем решение к виду:
x(t) = A cos(kt) + B sin(kt) , |
(4.7) |
где A = C1 + C2 и B = i (C2 − C1) – |
постоянные |
интегрирования. |
|
Решению (4.7) можно придать и другой функциональный вид, используя замену постоянных следующего вида: A = a sin(α), B = a cos(α) .
Тогда получим
x(t) = a [sin(α) cos(kt) + cos(α) sin(kt)] =
(4.8)
= a sin(kt + α)
Закон (4.8) является другой формой общего решения дифференциального уравнения (4.4).
Постоянными интегрирования здесь являются a и α.
Движение МТ по закону (4.8) носит название простого
гармонического колебания.
Скорость точки в этом движении будет
v |
x |
= x& |
(t) = ak cos(kt + α) . |
(4.9) |
|
|
|
|
|
Поскольку |
| sin(kt + α) |≤ 1 , то постоянная |
a |
определяет наибольшее отклонение точки от центра колебаний O , и ее называют амплитудой колебания.
Величина (kt + α) , определяющая положение и
скорость точки в данный момент времени, называется фазой колебания, а постоянная α – есть начальная фаза колебания.
Из закона (4.8) видно, что исследуемое движение МТ является периодическим. Периодом колебания называется такой промежуток времени T , в течение которого точка совершает одно полное колебание.
Другими словами, какой бы мы ни выбрали произвольный момент времени t* , характеризующийся для МТ положением x* и скоростью v* , в момент времени t* + T эта точка займет такое же положение x* , и будет иметь такую же скорость движения v* .
Наименьшее значение T , при котором выполняются эти условия, определяется равенством kT = 2π, откуда период
колебания |
|
T = 2π/ k . |
(4.10) |
Величина η = 1/ T , обратная |
периоду, определяет |
число колебаний, совершаемых за одну секунду, и ее называют частотой колебания.
Величина k , пропорциональная η, носит название
круговой (циклической) или собственной частоты.
Определим постоянные a и α из начальных условий:
x0 = a sin(α), |
|
v0 = ak cos(α) , |
|
||||
откуда легко находим: |
|
|
|
|
|
|
|
a = x2 |
+ |
v2 |
, |
tg(α) = |
x k |
. |
(4.11) |
0 |
0 |
||||||
0 |
|
k2 |
|
|
v0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, амплитуда и начальная фаза колебания зависят от начальных условий. Из равенства (4.11) видно, что если начальная скорость равна нулю (v0 = 0) , то
амплитуда равна начальному смещению x0 , а α = π/ 2 и закон движения точки будет x(t) = a cos(kt) .
© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ |
23 апреля 2007 г. |
Динамика МТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Краткий курс Теоретической Механики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57 |
|||||||||||||
|
|
Если же v0 ≠ 0 , то амплитуда всегда будет больше x0 . |
Решение (4.16) характеризует исследуемое движение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Часто общее решение уравнения (4.4) берут в форме |
точки |
как |
|
колебательное, |
поскольку |
|
содержит |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
периодическую функцию sin(k t + α) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(4.7). |
Подстановка начальных данных для (4.7) дает закон |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
движения в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Такие колебания называют затухающими, поскольку |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x(t) = x |
cos(kt) + |
v |
|
|
|
|
|
(4.12) |
амплитуда колебания содержит множитель e−bt , |
который с |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 sin(kt). |
|
|
|
увеличением времени убывает, стремясь к нулю. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величину |
T* = 2π/ k* , |
являющуюся |
|
периодом |
||||||||||||||||
|
|
Из |
полученного |
выражения |
следует, |
что |
при |
v0 = 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
тригонометрической части решения (4.16), называют |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
независимо от величины x0 точка приходит в центр O |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
периодом затухающих колебаний. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
колебаний через 1/4 периода. Колебание, обладающее таким |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
свойством, называют таутохронным. |
|
|
|
|
|
|
1,0 |
|
|
T* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
не |
зависит |
от |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Поскольку |
|
|
период |
колебания |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = ae−bt |
|
||||||||||||||||||||
амплитуды, исследованное выше движение называется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
изохронным колебанием. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|||||||||||
|
|
|
4.2. Свободные затухающие колебания точки при |
0,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
0,0 |
|
|
|
|
1,0 |
|
|
|
|
|
2,0 |
|
|
|
3,0 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
сопротивлении, пропорциональном скорости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = −ae−bt |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Пусть на точку с массой m , |
кроме восстанавливающей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
силы |
|
r |
, |
действует |
|
сила |
сопротивления |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
F = −cr |
|
|
R = −μv , |
-1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
пропорциональная скорости и направленная против |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Если сравнить эту величину с периодом гармонических |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
движения. |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
M |
v |
|
|
|
|
|
колебаний T = 2π/ k , |
|
то можно сделать вывод о том, что |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наличие сопротивления увеличивает период и уменьшает |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частоту колебаний, т.к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π = |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
> 2π . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
k |
2 |
− b |
2 |
|
k 1 |
− (b / k) |
2 |
k |
|
|
||||||||||
|
|
Тогда |
|
= −cx |
и |
|
|
|
= −μx& , |
и дифференциальное |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
F |
R |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Установим |
закон затухания |
размахов |
колебаний. |
По |
|||||||||||||||||
уравнение движения точки будет: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
определению промежуток времени между двумя |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
&& |
& |
|
+ k |
x = 0 , |
|
|
|
|
(4.13) |
последовательными максимальными отклонениями точки в |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
2bx |
|
|
|
|
|
одну сторону от положения равновесия равен периоду T* . |
|||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
μ |
= 2b > 0, |
|
c = k2 . |
|
|
|
(4.13’) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому величины двух последовательных максимальных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
отклонений xj |
и xj+1 , например, вправо будут: |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Это линейное, однородное дифференциальное уравнение |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= a e−btj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
имеет общее решение вида (4.5), где λ1,2 |
= −b ± |
b |
2 |
− k |
2 |
|
|
x |
j |
|
sin(k t |
j |
+ α) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
– корни соответствующего характеристического уравнения: |
и |
|
|
|
|
−b(t |
|
+T ) |
|
|
|
+ k*T* + α) . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
λ2 + 2bλ + k2 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xj+1 = a e |
|
j |
* |
|
sin(k*tj |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Окончательный вид решения зависит от соотношения |
Откуда |
xj+1 = xj |
e |
−bT* |
|
|
и, |
|
следовательно |
|||||||||||||||||||||||||||||||
между параметрами b и k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Рассмотрим возможные случаи. |
|
|
|
|
|
|
|
xj+1 / xj = e−bT* , |
т.е. |
полуразмахи колебаний убывают по |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
закону |
геометрической |
прогрессии, |
знаменатель которой |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пусть b < k (малые силы сопротивления движению). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
e−bT* |
< 1 называется декрементом колебаний. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Используем |
|
обозначение |
k2 = k2 − b2 |
> 0 |
|
и |
Соответственно |
этому |
величину |
|
D =| ln(e |
−bT |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
* ) |= bT |
|||||||||||||||||
преобразуем |
|
|
корни |
характеристического |
уравнения: |
называют логарифмическим декрементом. |
|
|
|
* |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
λ |
1 |
= −b − ik |
|
и λ |
2 |
= −b + ik . |
Тогда общее решение (4.5) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть имеет место случай b > k (сильное сопротивление |
|||||||||||||||||||||
примет форму: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
движению). Введем обозначение |
n2 = b2 − k2 и запишем |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x(t) = e−bt |
(C1e−ik*t + C2e+ik*t ) . |
|
|
|
(4.14) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
новые выражения для корней характеристического |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Или, с использованием eiβ = cos(β) + i sin(β) , запишем |
уравнения, которые будут уже действительными: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
λ1 = −b − n и λ2 = −b + n . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(4.14) в одном из следующих двух видов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Общее решение задачи примет вид: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x(t) = e−bt [ A cos(k t) + B sin(k t)] |
|
|
(4.15) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
x(t) = e−bt (C e−nt |
+ C e+nt ) . |
|
(4.17) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
или |
|
|
|
x(t) = a e−bt |
sin(k* t + α) , |
|
|
|
(4.16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся |
гиперболическими |
|
функциями |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
где A и B , или a и α – постоянные интегрирования, |
запишем другую форму общего решения для случая b > k : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подлежащие определению из начальных условий. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ |
23 апреля 2007 г. |
Динамика МТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Краткий курс Теоретической Механики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58 |
||||||||||||||
|
x(t) = e−bt [A ch(nt) + B sh(nt)] , |
|
(4.18) |
описываемых уравнением (4.19), центром колебаний будет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точка O . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где A и B – новые постоянные интегрирования. |
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решения (4.17)–(4.18) указывают на то, что движение |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
каждом случае своими начальными условиями. При другом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки уже не будет колебанием. |
|
|
|
|
|
|
направлении силы Q центр Oo будет расположен левее |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
При t → ∞ точка асимптотически будет приближаться к |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки O . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
притягивающему центру O , см. Рис. 4.4. |
|
|
|
|
|
Таким |
образом, |
влияние |
|
постоянной |
силы |
|
Q |
|
на |
||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свободные колебания точки сводится к тому, что центр |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2,0 |
|
|
|
|
|
v0 > 0 |
|
|
|
|
|
|
колебаний смещается в сторону действия силы на величину |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| OOo | |
= |
|
= Q / c . |
|
|
|
|
|
|
(4.20) |
|||||||||||
1,0 |
|
|
|
v0 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частота и период гармонического колебания при этом не |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
изменяются. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4. Затухающие колебания при постоянном трении. |
|||||||||||||||||||||||||
v0 |
< 0 |
2,5 |
|
|
|
|
5,0 |
|
|
7,5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
0,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим движение материальной точки под |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
-1,0 |
|
|
|
|
|
Рис. 4.4 |
|
|
|
|
|
|
действием восстанавливающей упругой силы |
|
Fx = −cx |
|
и |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направленной против движения постоянной силы трения |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
В |
случае, |
когда |
b = k , |
корни |
характеристического |
f |
N , |
где |
f |
– |
динамический коэффициент трения, |
|
N |
|
– |
||||||||||||||||||||||||||
уравнения |
кратные λ |
1,2 |
= −b |
и общее решение уравнения |
нормальное давление. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть в начальный момент времени точка находится в |
||||||||||||||||||||||||||
(4.13) принимает вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
положении |
M0 |
|
на |
расстоянии |
x0 |
от |
притягивающего |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x(t) = e−bt (C + C t) . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
центра |
|
O и |
начинает движение |
без |
начальной |
скорости |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Так |
как |
функция |
e−bt |
убывает гораздо быстрее, чем |
( v0 = 0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
растет |
линейная часть |
C |
+ C t , |
то картина |
движения |
|
При движении из крайнего правого положения |
M0 |
|
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
крайнее левое положение M1 |
на точку, |
кроме |
упругой |
|||||||||||||||||||||||
будет такой же (см. Рис. 4.4), как и в случае, рассмотренном |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выше, |
– |
движение |
точки |
будет |
апериодическим |
и |
силы, |
действует |
|
постоянная |
|
сила |
трения |
|
|
F |
= f N , |
||||||||||||||||||||||||
асимптотически затухающим с течением времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тр |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
направленная вправо, см. Рис. 4.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4.3. Влияние постоянной силы на свободные колебания |
|
Воспользуемся выводами предыдущего пункта – |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки. |
движение на отрезке M0 M1 будет гармоническим |
||||||||||||||||||||||||||||
Пусть |
на |
точку, |
кроме |
восстанавливающей |
силы |
колебанием |
|
около |
центра |
|
|
O1 , |
который |
смещен |
|||||||||||||||||||||||||||
|
r |
направленной |
к |
центру |
O , |
действует |
еще |
относительно центра O вправо на величину |
|
|
= f |
N c . |
|||||||||||||||||||||||||||||
F = −cr , |
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
= const . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
заданная постоянная сила Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 |
|
|
|
|
|
|
O |
O1 |
|
Fупр |
M |
|
Fтр |
M0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Oo |
|
|
|
M |
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
|
O |
|
|
|
F |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
xo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поместим начало координат в положение статического |
|
|
Таким |
образом, |
амплитуда |
колебания |
(относительно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
равновесия Oo |
и направим координатную ось Ooxo вправо. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
центра O1 ) на |
|
отрезке |
движения |
M0M1 |
|
будет |
|
равна |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Статическое |
смещение |
|
= OOo |
от |
притягивающего |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
o |
a |
= x |
0 |
− |
0 |
= |
|
0 |
− x , |
где |
x |
0 |
– координата точки |
M |
0 |
||||||||||||||||||||||||||
центра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
O определится из равенства сил |
F и Q для этой |
по отношению к центру O . Поэтому координата x |
|
точки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки, т.е. c |
|
= Q . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
относительно центра O будет равна x = 2 |
0 |
−x |
0 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Fx = −c(xo + |
o ) |
|
|
|
|
|
|
Из |
|
положения |
|
M |
материальная |
точка |
начинает |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
Fx + Qx = −c(xo + o ) + c o = −cxo , |
|
|
|
двигаться вправо под действием упругой силы и постоянной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
силы трения, которая теперь будет направлена влево. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, |
дифференциальное |
уравнение |
колебаний, |
Fтр Fупр O2 |
|
|
|
M2 |
|
|
M0 |
x |
|||||||||
примет вид |
|
|
|
|
|
|
M1 |
O |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
&& |
= −cxo или |
&& |
|
2 |
xo = 0 . |
(4.19) |
M |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
mxo |
xo + k |
|
|
a2 |
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Это уравнение в точности совпадает с уравнением (4.4), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x1 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
следовательно, совпадут и законы этих колебаний, с той |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
лишь разницей, |
что центром колебаний, описываемых |
|
|
Рис. 4.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
уравнением (4.4), |
является |
точка |
O , а для |
колебаний, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ |
|
|
|
|
|
23 апреля 2007 г. |
Динамика МТ |
Краткий курс Теоретической Механики |
59 |
Следовательно, движение на отрезке M1M2 будет
гармоническим колебанием с тем же периодом, но около центра O2 , смещенного относительно центра O влево на
расстояние O2O = 0 . Амплитуда на отрезке движения M1M2 составит a2 = a1 − 2 0 , см. Рис. 4.7.
Координата x2 точки M2 по отношению к центру O будет равна x2 = −x1 − 2 0 , или с учетом предыдущих рассуждений, получим: x2 = x0 − 4 0 . Таким образом, за один «период» колебания его «амплитуда» уменьшилась на величину 4 0 =| M2M0 | .
Следовательно, при действии постоянной силы трения колебания точки будут затухающими. Размахи этих колебаний будут убывать по закону арифметической
прогрессии с разностью 2 |
0 . |
|
|
||||||
|
|
Координата |
крайней |
точки |
колебания Mj |
будет |
|||
x |
j |
= (−1)j (x |
0 |
− 2j |
0 |
) , причем эта точка будет находиться |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
слева от притягивающего |
центра O при нечетном |
j и |
|||||||
справа – при |
j |
четном. Частота же затухающих колебаний |
|||||||
будет совпадать с частотой собственных колебаний k . |
|
||||||||
|
|
Колебания |
прекратятся, как |
только остановка |
точки |
||||
(положение |
Mj ) придется на так называемую «мертвую |
зону», где восстанавливающая сила будет по величине
меньше статической силы трения f0 N . |
|
|||||||||
Границы |
|
±h этой зоны определяются |
из равенства |
|||||||
ch = f0N , т.к. вообще f0 ≥ f , то |
h = f0 N c . |
|||||||||
Число |
j |
размахов, которые точка проделает до |
||||||||
остановки, |
найдется |
из |
условия |
aj−1 > h, |
aj < h или |
|||||
a0 − 2(j −1) |
0 > h и a0 − 2j 0 < h , откуда |
|
||||||||
|
|
|
a0 − h |
≤ j ≤ |
a0 − h |
+ 1 . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
0 |
|
2 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
§ 5. |
Вынужденные колебания точки. |
|||||
Колебания |
|
материальной |
|
точки |
называются |
вынужденными, если на точку, кроме направленной к центру O восстанавливающей силы, действует некоторая
изменяющаяся со временем сила Η(t) , называемая
возмущающей.
Ограничимся случаем, когда возмущающая сила является гармонической, т.е. изменяется по закону
Η(t) = Ηo cos( pt) , |
(5.1) |
а силы сопротивления движению точки отсутствуют. Пусть на точку M массы m действуют
восстанавливающая сила (4.1) и гармоническая возмущающая сила (5.1).
Тогда дифференциальное уравнение движения точки
(3.1) будет
mx&& = −cx + Ηo cos( pt) .
Введем новые обозначения:
k2 = c m, h = Ηo m ,
и перепишем это ДУ в виде:
&& |
+ k |
2 |
x = h cos( pt) . |
(5.2) |
x |
|
Уравнение (5.2) есть неоднородное линейное ДУ с постоянными коэффициентами. Общее решение такого
уравнения равно сумме какого-либо частного решения ~ x(t)
этого уравнения и общего решения x(t) соответствующего
однородного уравнения. Частное решение будем искать в виде правой части (5.2):
|
~ |
(5.3) |
|
x(t) = a cos( pt) . |
|
Для определения константы a подставляем в уравнение |
||
(5.2) вместо |
~ |
|
x(t) выражение x(t) и получаем тождество |
||
|
a (k2 − p2 ) cos( pt) = h cos( pt) . |
(5.4) |
Откуда, полагая, что k ≠ p , находим: |
|
a = |
h |
|
|
. |
|
k2 − p2 |
Следовательно, частное решение уравнения (5.2) будет:
~ |
h |
cos( pt) . |
(5.5) |
x(t) = |
|
||
k2 − p2 |
Соответствующее уравнению (5.2) однородное уравнение (4.4) имеет общее решение (4.7).
Поэтому общее решение уравнения (5.2) запишем в виде:
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) = x(t) + x(t) = |
|
|
|||
= c |
cos(kt) + c sin(kt) + |
h |
cos( pt), (5.6) |
||
|
|||||
1 |
2 |
k2 − p2 |
|
||
|
|
|
|
|
где c1 и c2 – константы, для определения которых воспользуемся начальными условиями.
Пусть при t = 0 задано x = x0 и x& = v0 . Тогда
|
|
|
|
h |
|
|
v |
|
c |
= x |
0 |
− |
|
, c |
= |
0 |
. |
|
|
|||||||
1 |
|
|
k2 − p2 |
2 |
k |
|||
|
|
|
|
|
|
Закон движения точки с учетом начальных условий будет иметь вид:
x(t) = x |
cos(kt) + |
v0 |
sin(kt) − |
|
|||
|
|
||||||
0 |
|
|
k |
(5.7) |
|||
− |
|
h |
cos(kt) + |
h |
|||
|
cos( pt) . |
||||||
|
|
||||||
k2 − p2 |
k2 − p2 |
Первые два слагаемых в выражении закона движения точки (5.7) определяют свободные колебания, которые совершала бы МТ при отсутствии возмущающей силы.
При однородных начальных условиях (МТ начинает движение без начальной скорости (v0 = 0) из центра O
(x0 = 0) ) эти два слагаемых обращаются в нуль.
Оставшиеся члены (5.7) будут отвечать за колебания МТ, вызванные действием возмущающей силы.
Причем последний член (5.7) имеет циклическую частоту p , равную частоте возмущающей силы. Именно эта
часть решения определяет вынужденные колебания МТ.
Амплитуда вынужденных колебаний – величина наибольшего динамического отклонения МТ от центра O –
равна a = h| k2 − p2 | .
© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ |
23 апреля 2007 г. |
Динамика МТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Краткий курс Теоретической Механики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
||||||||||||||||
|
Статическое смещение МТ под действием постоянной |
нулю. Другими словами, возмущающая сила и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
силы Η = Ηo , равно |
|
o = Ηo |
c . |
|
|
|
|
|
|
|
вынужденные |
|
|
колебания |
|
|
одновременно |
|
достигают |
||||||||||||||||||||||||
|
Коэффициентом |
|
динамичности |
|
λ |
|
называется |
наибольших, наименьших значений и обращаются в нуль. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
отношение |
амплитуды |
|
a |
|
вынужденных |
колебаний |
к |
8 |
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
статическому смещению |
|
o , т.е. λ = a |
o . |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Коэффициент динамичности определяет, во сколько раз |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
наибольшее динамическое смещение МТ, вызванное |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Резонанс |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
гармонической |
возмущающей силой |
Ηo cos( pt) , больше |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = k |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
статического смещения МТ, происходящего под действием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
постоянной |
силы |
Ηo , |
равной |
по |
величине |
амплитуде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
p < k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
возмущающей силы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p > k |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Коэффициентом расстройки z называется отношение |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
циклической |
частоты |
p |
|
вынужденных колебаний |
МТ к |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||||||||||||||
циклической |
частоте |
k |
|
ее |
собственных |
колебаний, т.е. |
|
0,0 |
|
0,5 |
|
|
1,0 |
|
|
|
1,5 |
|
|
|
2,0 |
|
|
|
2,5 |
3,0 |
|||||||||||||||||
z = p k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Коэффициент динамичности |
связан |
с |
коэффициентом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
При |
p → k |
имеем z → 1, |
λ → ∞ , |
т.е. |
|
имеет |
место |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
расстройки следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
явление резонанса. Сдвиг между фазами возмущающей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ηo |
c |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
силы Ηo cos(kt) |
и вызванными ее действием колебаниями |
||||||||||||||||||||||||
λ = |
a |
= |
|
h |
|
|
|
|
= |
|
m |
Ηo |
|
= |
|
1 |
. |
(5.8) |
a* sin(kt) |
составляет |
π 2 |
(имеет |
|
место |
отставание |
||||||||||||||||||
|
|
o |
| k2 − p2 | |
o |
|
|
k | 1 − z2 | |
| 1 |
− z2 | |
|
|
колебаний по фазе на π 2 |
от возмущающей силы). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Особый интерес представляет случай, когда частота |
|
При этом возмущающая сила Ηo cos(kt) |
и скорость МТ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
возмущающей силы стремится к частоте собственных |
одновременно достигают своих наибольших (наименьших) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
колебаний, т.е. |
p → k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значений и обращаются в нуль. По направлению эти |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение (5.7) утрачивает силу, поскольку содержит |
векторы совпадают. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
неопределенность типа 0 0 , |
которую раскроем, пользуясь |
|
В случае вынужденных колебаний большой частоты, т.е. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
правилом Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
когда p >> k , имеем z → ∞ и λ → 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
d [cos( pt) − cos(kt)] |
|
h |
|
|
|
|
|
|
Колебания |
|
−a cos( pt) |
|
|
будут |
|
отставать |
|
по |
фазе |
от |
||||||||||||||||||||
x |
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
t |
sin(kt) . (5.9) |
возмущающей силы Ηo cos( pt) на π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(t) = h |
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
* |
|
|
|
|
d |
|
2 |
− k |
2 |
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
С увеличением частоты возмущающей силы |
p |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dp [p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p=k |
|
|
|
|
|
|
|
амплитуда a вынужденных колебаний стремится к нулю. |
|
|||||||||||||||||||||
|
Как это видно из (5.9), при совпадении частот |
|
Следовательно, действие возмущающей силы, частота |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
собственных |
колебаний |
|
и |
возмущающей |
силы |
p = k |
которой очень велика по сравнению с частотой собственных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
амплитуда вынужденных колебаний становится переменной |
колебаний, почти не нарушает режима собственных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
= (h 2k) t |
и растет прямо пропорционально времени. |
колебаний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь вынужденные колебания точки при |
|||||||||||||||||||||
Это явление носит название резонанса, см. Рис. 5.1. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сопротивлении, пропорциональном скорости. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
|
x = pt / 2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
действующие |
на |
точку |
M |
с |
|
массой |
m |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
восстанавливающая сила |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F , сила сопротивления среды |
R |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и возмущающая сила Η |
соответственно равны: |
r |
|
r |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = −cr , |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
, |
Η = Ηo cos( pt) . |
Тогда |
ДУ движения |
точки |
в |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
R = −μv |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проекции на ось Ox будет: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&& |
& |
|
2 |
x = h cos( pt) , |
|
|
|
|
(5.10) |
||||||||
|
|
|
|
|
x = −pt / 2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ 2bx + k |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где 2b = μ m, |
k2 = c m, |
|
|
h = Η |
|
m . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.1 |
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (5.10) есть линейное неоднородное ДУ |
|||||||||||||||||||||||
|
Рассмотрим |
подробнее |
зависимость |
(5.8). |
При |
p < k |
второго порядка с постоянными коэффициентами. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Учитывая предыдущие рассуждения и предполагая, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
происходят вынужденные колебания малой частоты, при |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k > b , |
сразу |
запишем |
|
общее |
|
решение |
|
однородного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
этом |
коэффициент |
|
расстройки |
принадлежит |
интервалу |
уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
0 < z < 1 , |
а |
коэффициент |
динамичности |
монотонно |
|
|
|
|
|
x(t) = a e |
−bt sin(k t + α |
|
) , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
возрастает. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Сдвиг между фазами возмущающей силы Ηo cos( pt) |
и, |
где a1 и α1 – постоянные интегрирования, определяемые |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вызванными ее действием колебаниями |
a cos( pt) , |
равен |
по начальным условиям движения, |
k2 |
= k2 − b2 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 апреля 2007 г. |
Динамика МТ |
Краткий курс Теоретической Механики |
61 |
Будем искать частное решение уравнения (5.10) в виде:
~ |
(5.11) |
x(t) = Α cos( pt − ϕ) . |
Для сокращения записи введем обозначение:
θ = pt − ϕ, тогда pt = θ + ϕ.
Значения Α и ϕ найдем после подстановки (5.11) в (5.10):
− Αp2 cos θ − 2bΑp sin θ + Αk2 cos θ = .
=h(cos θcos ϕ − sin θsin ϕ)
Вэтом уравнении левая и правая части тождественно равны. Следовательно, коэффициенты при функциях cos θ
иsin θ должны быть одинаковыми, откуда:
Α(k2 − p2) = h cos ϕ, 2bΑp = h sin ϕ.
Решая эту систему относительно Α и ϕ , будем иметь:
Α = |
h |
, tg ϕ = 2bp |
. |
|
(k2 − p2)2 + 4b2 p2 |
k2 − p2 |
|
Таким образом, общее решение уравнения (5.10) будет: x(t) = a1e−bt sin(k1t + α1) + Α cos( pt − ϕ) . (5.12)
Анализ решения (5.12) показывает, что при одновременном воздействии на точку восстанавливающей и возмущающей сил она совершает сложное колебательное движение.
Первый член закона движения (5.12) выражает собой собственные колебания точки с циклической частотой k1 , а
второй член – вынужденные колебания.
При наличии сопротивления собственные колебания
будут затухающими, так как множитель e−bt со временем стремится к нулю. Это так же относится и к случаю сильного сопротивления, когда b ≥ k .
Поэтому, так как сопротивление движению исключить на практике невозможно, можно считать, что по истечении некоторого промежутка времени, называемого периодом установления, точка будет совершать только вынужденные колебания.
Частота вынужденных колебаний равна частоте p
гармонической возмущающей силы. Эти колебания являются незатухающими. Их амплитуда Α, а также величина ϕ , характеризующая сдвиг фазы вынужденных
колебаний по отношению к фазе возмущающей силы, от начальных условий движения МТ не зависят.
Преобразуем формулы для указанных величин к следующему виду:
Α |
= λ = |
1 |
|
, |
|
o |
(1 − z2 )2 + |
4η2z2 |
(5.13) |
||
|
|
2ηz |
, η = b . |
||
|
tg ϕ = |
|
|||
|
1 |
− z2 |
|
k |
|
Исследуем подкоренное выражение для коэффициента динамичности:
f(z) = (1 − z2 )2 + 4η2z2 .
Производная этой функции будет равна
f′(z) = 4z[2η2 − (1 − z2 )] .
При малых сопротивлениях, когда η2 << 1 , при
возрастании z от нуля до малых значений эта производная отрицательна. Следовательно, знаменатель коэффициента динамичности убывает, а сам коэффициент динамичности – возрастает. Вместе с ним возрастает и амплитуда вынужденных колебаний.
6,0 |
Α |
|
|
η = 0 |
|
|
5,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,0 |
|
|
|
η = 0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,0 |
|
|
|
|
|
|
2,0 |
|
|
|
η = 0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,0 |
|
|
|
|
|
|
0,0 |
|
|
|
|
z |
|
0,0 |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
2,5 |
|
|
Рис. 5.3 |
При |
z = 1 − 2η2 |
коэффициент динамичности |
|
* |
|
(амплитуда Α) имеет максимум, т.е. наступает резонанс. Очевидно, что значение z* , при котором имеет место
резонанс, тем меньше отличается от единицы, чем меньше величина η, т.е. чем меньше сопротивление движению МТ.
При значениях z > z* амплитуда Α убывает, стремясь к нулю при z → ∞. Влияние параметра η на амплитуду
вынужденных колебаний очевидно – чем он больше, т.е. чем больше сопротивление движению точки, тем меньше амплитуда ее вынужденных колебаний.
Характер зависимости сдвига фаз ϕ от коэффициента динамичности z следующий.
При z = 0 будет ϕ = 0 ; на интервале значений 0 < z < 1 имеем 0 < ϕ < π2 .
При резонансе z = 1 и ϕ = π2 .
Когда z > 1 имеем ϕ > π2 , а при z → ∞ будет ϕ → π.
Следовательно, при малых значениях z фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы примерно совпадают; при
резонансе эти фазы сдвинуты на 90o , а при больших значениях z сдвиг фаз приближается к 180o .
Если же сопротивление отсутствует (η = 0) , то при любом z < 1 ϕ = 0 ; при z = 1 ϕ = 90o ; и при любом
z > 1 ϕ = 180o .
Теория вынужденных колебаний имеет много важных приложений в разных областях физики и техники (акустика, радиотехника, сейсмография, проблема защиты от вибраций и т.д.) При этом широко используется явление резонанса, позволяющее даже при малой величине возмущающей силы получить интенсивные вынужденные колебания за счет совпадения частот p и k .
Другое важное свойство этих колебаний позволяет, наоборот, даже при больших значениях возмущающей силы делать амплитуду вынужденных колебаний очень малой за счет такого подбора соотношения между частотами p и k ,
при котором p много больше k .
© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ |
23 апреля 2007 г. |