termex / Theoretical_Mechanics_part_03_01

Динамика МТ

Краткий курс Теоретической Механики

45

§ 1. Законы Ньютона.

Динамика представляет собой основной раздел курса теоретической механики, посвященный изучению движения взаимодействующих материальных тел.

Под механическим взаимодействием понимают то действие тел друг на друга, в результате которого происходит или изменение движения этих тел или изменение взаимного расположения их частиц (деформации).

В качестве меры механического взаимодействия материальных тел в классической механике Ньютона вводится векторная величина, называемая силой.

Для данного тела сила является внешним фактором, изменяющим его движение. Кроме этого внешнего фактора, характер движения тела будет зависеть от степени податливости тела оказываемому на него внешнему воздействию или, как говорят, от степени инертности тела.

Чем больше инертность тела, тем медленнее изменяется его движение под действием данной силы, и наоборот. Мерой инертности материального тела является его масса, зависящая от количества вещества в данном теле.

Таким образом, понятиями, лежащими в основе классической динамики, являются: движущаяся материя, пространство и время как формы существования движущейся материи, масса как мера инертности материальных тел и сила как мера механического взаимодействия между телами.

1.1. Законы Ньютона.

Фундаментом классической механики являются законы Ньютона.

1-й закон. Всякое тело продолжает удерживаться в

своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

Первый закон Ньютона заключает в себе закон инерции, а также определение силы как причины, нарушающей инерциальное состояние тела. По этому закону тело без всяких воздействий извне совершает простейшее – инерциальное движение с постоянной по направлению и величине скоростью.

Объектом, который удерживает тело в этом состоянии движения, является однородное и изотропное физическое пространство, включающее в себя весь материальный мир.

Система пространственной ориентировки, связанная с телом, движущимся по инерции по отношению к физическому пространству, называется инерциальной системой отсчета.

Все инерциальные системы отсчета механически равноправны и никаким физическим опытом, поставленным в таких системах, нельзя отличить одну такую систему от другой (принцип относительности Галилея).

Данный факт указывает также на эквивалентность таких механических явлений как покой тела и движение тела по инерции.

Формулировка следующих ниже законов Ньютона подразумевает предварительный выбор инерциальной системы отсчета, по отношению к которой описывается движение рассматриваемых материальных объектов.

2-й закон. Изменение количества движения

пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Количеством движения материальной точки называется произведение mv массы m этой точки на вектор ее

скорости v . Современная формально-математическая запись второго закона Ньютона выглядит так

d(mvr)	r
	= F ,	(1.1)

dt

где F – движущая сила. Если считать массу точки постоянной, то (1.1) запишется в виде

r	(1.2)
mw = F ,

определяющим связь между силой и ускорением материальной частицы.

3-й закон. Действию всегда есть равное и

противоположно направленное противодействие, иначе

– взаимодействия двух тел друг на друга равны между собой и направлены в противоположные стороны.

Третьим законом устанавливается, что если на тело A действует какая-либо сила FA , то это действие всегда оказывает некоторое тело B , на которое тело A действует в свою очередь с силой FB , равной и противоположной силе FA , и наоборот.

Если при этом силу FA назвать действием, то FB будет

противодействием. Этот закон является основным в динамике системы материальных точек (СМТ).

4-й закон. При силах совокупных тело описывает

диагональ параллелограмма в то же самое время, как его стороны при действии сил порознь.

Этот закон представляет собой закон сложения сил, действующих на материальную точку.

Законы Ньютона еще называют аксиомами механики. Система аксиом Ньютона полна и не требует каких-либо иных дополнительных постулатов в рамках абсолютной модели пространства и времени.

Задачи динамики материальной точки (МТ) формулируются так:

•зная закон движения материальной точки, определить, под действием какой силы (равнодействующей сил) такое движение может происходить;

•зная действующие на материальную точку силы, а также ее начальное положение и начальную скорость, определить закон движения точки. Эта задача является в динамике основной.

1.2. Дифференциальные уравнения движения точки.

Задачи динамики МТ решаются с помощью соответствующих дифференциальных уравнений, связывающих координаты движущейся точки с действующими на нее силами. Эти уравнения получаются из второго закона Ньютона.

Пусть для описания движения МТ выбран векторный способ, тогда закон (1.1) можно записать в виде:

	r	r	r
	d2r
		&&
m		= mr	= F ,	(1.3)
	dt2

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

15 апреля 2007 г.

Динамика МТ

Краткий курс Теоретической Механики

46

r

где r – радиус-вектор точки по отношению к инерциальной системе отсчета Oxyz , F = ∑Fi – равнодействующая приложенных к точке сил.

Уравнение (1.3) есть дифференциальное уравнение движения свободной материальной точки в векторной форме. Проектируя обе части этого равенства на оси Oxyz ,

получим дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в прямоугольных декартовых координатах:

	m	d2x	= Fx,	m	d2y	= Fy, m	d2z	= Fz.	(1.4)
		dt2			dt2		dt2

1.3. Решение первой задачи динамики.

Эта задача состоит в том, чтобы, зная законы движения, т.е. кинематические уравнения

x = x(t), y = y(t),	z = z(t),	(1.5)
найти равнодействующую силу,	т.е. ее	составляющие
Fx, Fy, Fz .

Эта задача легко решается с помощью уравнений (1.4) и сводится к вычислению вторых производных по времени от заданных функций (1.5).

Если же известна траектория точки и закон ее движения вдоль траектории s = s(t) (естественный способ описания),

то удобно воспользоваться уравнениями движения в проекциях на оси естественного трехгранника.

Так, проектируя обе части основного закона динамики (1.2) на касательную, главную нормаль и бинормаль, и

учитывая, что	w =	dv	=	d2s	и w		=	v2	, где ρ – радиус
		dt		dt2				ρ
	τ					n

кривизны траектории и wb = 0 , будем иметь в этих осях:

m	d2s	= F	,	m	v2	= F ,	0 = F .	(1.6)
	dt2	τ			ρ	n	b
Последнее уравнение показывает, что траектория
материальной	точки,			движущейся			под	действием

rr

равнодействующей сил F такова, что вектор F всегда лежит в соприкасающейся плоскости.

1.4. Решение второй (основной) задачи динамики.

Эта задача динамики состоит в том, чтобы, зная действующие силы, найти законы движения точки, т.е. кинематические уравнения (1.5). Равнодействующая сила

r r r r	может вообще зависеть от времени, от
F = F(t,r,v)

положения точки в пространстве и от скорости ее движения. Поэтому в общем случае дифференциальные уравнения (1.4) будут иметь следующий вид:

&&		& & &
mx	= Fx (t,x, y,z,x, y,z),
&&	= Fy	& & &	(1.7)
my		(t,x, y,z,x, y,z),
mz&& = Fz(t,x, y,z,x&, y&,z&).

Правые части этих уравнений будем считать однозначными и конечными функциями ее аргументов.

Нахождение законов движения точки сводится к интегрированию совместной системы дифференциальных уравнений второго порядка (1.7). Проинтегрировав эту систему, получим x, y, z в функциях времени t и шести

произвольных постоянных c1,c2 , c3 , c4 ,c5 ,c6 , т.е. найдем общее решение системы (1.7) в виде:

x = x(t, c	, c		, c		, c	, c	, c		),
1	2		3		4	5	6
y = y(t, c1, c2, c3, c4, c5, c6),											(1.8)
z = z(t, c , c		, c		, c		, c , c		).
1	2		3		4	5	6

Наличие в правых частях уравнений (1.8) произвольных

постоянных указывает на то, что под действием данной

r

равнодействующей силы F точка может совершать не какое-то вполне определенное движение, а целый класс движений, имеющих разные законы при разных значениях постоянных интегрирования c1,c2,K, c6 .

Физически этот результат объясняется тем, что точка, на которую начинает действовать некоторая сила, будет двигаться по-разному в зависимости от начальных условий движения (начального положения и начальной скорости).

Например, движение свободной МТ под действием силы тяжести может быть прямолинейным или криволинейным в зависимости от направления ее начальной скорости.

Чтобы сделать соответствующую задачу динамики определенной, надо, кроме действующих сил, задать начальные условия, т.е. для некоторого момента времени t = to (начальный момент) задать:

•	начальное положение точки	x = xo,	y = yo,	z = zo;
•	и ее начальную скорость	x& = x&o,	y& = y&o,	z& = z&o .

По этим начальным условиям определяются постоянные интегрирования c1, c2,K, c6 . Для этого, взяв производные

по времени от уравнений (1.8), находим проекции скорости:

x&	= x&(t, c	, c	, c	, c	, c	, c	),
	1	2	3	4	5	6
y&	= y&(t, c1, c2, c3, c4, c5, c6),							(1.9)
z& = z&(t, c1, c2, c3, c4, c5, c6).

Подставив затем в уравнения (1.8) и (1.9) начальные данные, получим шесть алгебраических уравнений, которые

будут	содержать	слева	заданные	величины
xo , yo ,zo ,x&o , y&o , z&o , а справа –			заданную величину to и
искомые постоянные c1, c2,K, c6 .

Решая эту систему уравнений, мы можем найти из нее значения постоянных интегрирования, соответствующие заданным начальным условиям, т.е. найти

c

k

= f (t

o

, x

o

, y

o

, z , x&

o

, y&

o

, z&

o

), k = 1,2,...,6 . (1.10)

k

o

Заменив в уравнениях (1.8) все ck их значениями из

равенств (1.10), мы получим частное решение системы дифференциальных уравнений (1.7), удовлетворяющее заданным начальным условиям:

x = x(t,to ,xo , yo ,zo ,x&o , y&o ,z&o ),

y = y(t,to ,xo , yo ,zo ,x&o , y&o ,z&o ), (1.11) z = z(t,to ,xo , yo ,zo , x&o , y&o ,z&o ).

Уравнения (1.11) определяют законы движения точки под действием приложенных сил при заданных начальных условиях, т.е. дают решение соответствующей задачи динамики (задачи Коши).

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

15 апреля 2007 г.