Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

termex / Theoretical_Mechanics_part_02_05

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

271.77 Кб

Скачать

☆

Статика

Краткий курс Теоретической Механики

§8. Условия равновесия систем сил.

8.1.Условия равновесия произвольной системы сил.

Так как при изменении центра приведения

результирующая сила R не изменяется, то для того, чтобы система сил была в равновесии, необходимо, чтобы R = 0 .

Если	R = 0 , то вся система сил приводится к одной паре
сил,	r
сил,	момент которой Μ не изменяется при изменении

центра приведения. Следовательно, для равновесия необходимо, чтобы еще было Μ = 0 .

Эти условия также и достаточны, потому что если R = 0 , то система приводится к одной паре с моментом Μ ;

если же и Μ = 0 , то система сил находится в равновесии (т.е. эквивалентна нулю).

Таким образом, мы имеем в векторной форме два

необходимых и достаточных условия равновесия произвольной системы сил, а именно

	r	n r
	R ≡	∑Fi	= 0 ,		(8.1)
		i=1
r	n		r
Μo	≡ ∑momo (Fi )			= 0 ,	(8.2)
	i=1

где O – произвольный центр.

В проекциях на оси координат число условий равновесия для пространственной системы сил будет равно шести, а именно

			r
∑Fix	= 0,	∑momx	(Fi ) ≡ ∑(yi Fiz	− zi Fiy ) = 0,
∑Fiy	= 0,	∑momy	r		(8.3)
∑Fiy	= 0,	∑momy	(Fi ) ≡ ∑(zi Fix	− xi Fiz ) = 0,	(8.3)
∑Fiz	= 0,		r
∑Fiz	= 0,	∑momz (Fi ) ≡ ∑(xi Fiy		− yi Fix ) = 0,

т.е. для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы:

•сумма проекций всех сил на каждую из координатных осей равнялась нулю;

•сумма моментов всех сил относительно каждой из осей координат равнялась нулю.

8.2.Условия равновесия плоской системы сил.

Вслучае плоской системы сил условий равновесия в векторной форме будет также два, а именно (8.1)-(8.2).

Впроекциях число условий равновесия будет три, а именно, если силы действуют в плоскости Oxy , то

∑Fix	= 0,	∑Fiy	= 0,
r	≡ ∑		(8.4)
∑momo (Fi )	≡ ∑	(xiFiy − yiFix ) = 0.

Итак, для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы:

•сумма проекций всех сил на каждую из координатных осей (произвольно выбранных в плоскости действия сил) равнялась нулю;

•сумма моментов всех сил относительно любого (произвольно взятого в той же плоскости) центра равнялась нулю.

Необходимые и достаточные условия равновесия плоской системы сил можно выразить еще в двух других формах, а именно:

1) Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех сил относительно каждого из трех произвольных, но не лежащих на одной прямой центров равнялась нулю:

∑momA	(Fi ) = 0, ∑momB	(Fi ) = 0,	(8.5)
	r		(8.5)
	∑momC (Fi ) = 0,

где A , B и C – произвольные, не лежащие на одной прямой центры.

Необходимость этих условий очевидна, т.к. при равновесии сумма моментов сил системы относительно всякого центра есть нуль.

Докажем достаточность. Ранее было установлено, что если для данной плоской системы сил главный момент

MA = ∑momA (Fi ) , то система находится в равновесии

или приводится к равнодействующей, проходящей через центр A .

Тогда, при выполнении всех условий (8.5) система должна или находится в равновесии, или приводится к равнодействующей, проходящей одновременно и через центры B и C .

Последнее невозможно, так как эти центры не лежат на одной прямой. Следовательно, при выполнении условий (8.5) имеет место равновесие.

2) Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех сил относительно двух произвольных центров и сумма проекций всех сил на произвольную ось, не перпендикулярную к прямой, соединяющей эти центры, равнялись нулю:

∑momA	(Fi ) = 0,	∑momB	(Fi ) = 0,	(8.6)
	r			(8.6)
	∑(Fi )L = 0,

где ось L не перпендикулярна к прямой AB .

Очевидно, что эти условия необходимы, так как при равновесии плоской системы сил сумма моментов всех сил относительно любого центра и сумма проекций всех сил на любое направление равны нулю.

Докажем достаточность условий (8.6). При выполнении первых двух из условий (8.6) система должна или находится

в равновесии, или приводится к равнодействующей R , проходящей одновременно через центры A и B , т.е. быть направленной вдоль линии AB . Но проекция такой равнодействующей на ось L , не перпендикулярную к AB , была бы отлична от нуля.

В то же время по последнему из условий (8.6) должно быть RL = ∑(Fi )L = 0 .

Следовательно, при одновременном выполнении всех условий (8.6) система не может приводиться к равнодействующей, т.е. имеет место равновесие.

8.3. Условия равновесия параллельных сил.

Когда силы расположены в пространстве, то, направляя ось Oz параллельно силам, мы найдем, что для каждой из

них будет Fix = 0, Fiy = 0, momz (Fi ) = 0 .

Следовательно, первое, второе и последнее из равенств (8.3) обратятся в тождества 0 ≡ 0 и мы получим для

2 апреля 2007 г.

Статика

Краткий курс Теоретической Механики

пространственной системы параллельных сил следующие три условия равновесия:

	r	∑Fiz	= 0,
∑momx	r			(8.7)
∑momx	(Fi ) ≡ ∑yiFiz		= 0,	(8.7)
	r	≡ −∑xiFiz
∑momy (Fi )		≡ −∑xiFiz	= 0.

Если рассматривать силы как приложенные в данных точках, то равенства (8.7) будут соответствовать случаю, когда равновесие не является астатическим. Чтобы равновесие было астатическим (безразличным) должно

быть еще ∑Firri = 0 , что в проекциях на оси координат приводит к дополнительному условию ∑zi Fiz = 0 .

Для плоской системы параллельных сил, направляя ось

Oy параллельно	силам, получим из (8.4)	два	условия
равновесия
∑Fiy = 0,	∑momo (Fi ) ≡ ∑xiFiy	= 0.	(8.8)
Другая форма условий равновесия имеет вид
∑momA (Fi ) = 0, ∑momB (Fi ) = 0,			(8.9)

где центры A и B не лежат на прямой, параллельной силам.

8.4. Системы статически определимые и неопределимые.

При решении задач о равновесии несвободного твердого тела в условия равновесия наряду с активными силами входят силы реакций связей, величины которых наперед неизвестны. Число этих неизвестных зависит от числа и характера наложенных связей.

Соответствующая задача может быть решена методами статики твердого тела лишь в том случае, если число неизвестных реакций связей будет равно числу уравнений статики, в которые эти неизвестные входят.

Такие задачи называют статически определенными, а

системы тел, для которых это имеет место, – статически определимыми системами.

Если же число неизвестных реакций связей будет больше числа уравнений статики, в которые эти реакции входят, то задача будет статически неопределенной, а

система тел, для которой это имеет место, – статически неопределимой системой.

Статическая неопределимость появляется вследствие наложения лишних связей, ненужных для обеспечения равновесия АТТ. Расчет статически неопределимых систем требует учета их деформаций, что достигается при помощи методов сопротивления материалов или статики сооружений.

8.5. Условия равновесия несвободного тела.

Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, отбрасывая связи и заменяя действия их реакциями. Условиями равновесия тела будем называть уравнения, которые связывают только активные силы, действующие на тело, или параметры, определяющие положение тела, и которые не содержат неизвестных реакций связей.

Число независимых перемещений, которые может иметь тело, называется числом степеней свободы тела.

Свободное АТТ, кроме трех поступательных перемещений, параллельных осям координат, может иметь

еще три вращения вокруг тех же осей. Следовательно, оно имеет шесть независимых перемещений.

Чтобы тело не двигалось поступательно параллельно какой-нибудь оси, необходимо, чтобы сумма проекций всех сил на эту ось равнялась нулю.

А чтобы тело не вращалось вокруг какой-либо оси, необходимо, чтобы сумма моментов всех сил относительно этой оси равнялась нулю.

При равновесии АТТ действующие на него силы должны удовлетворять таким условиям, чтобы они не могли сообщить телу движений, допускаемых связями. Поэтому

число условий равновесия тела равно числу степеней его свободы.

1) Равновесие рычага. Рычагом называется твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси под действием сил, расположенных в плоскости, перпендикулярной к этой оси.

Пусть на рычаг действуют активные силы P1, P2,K, Pn ,

лежащие в названной плоскости Oxy . Реакция оси R

будет, очевидно, лежать в той же плоскости и иметь в ней произвольное направление.

Проведем оси координат Oxy и составим для

действующей на рычаг плоской системы сил три условия равновесия в форме (8.4):

		Rx + ∑Px = 0,		(8.10)
		Ry + ∑Py = 0,		(8.10)
		Ry + ∑Py = 0,
	∑momo (Pi ) = 0.			(8.11)
		y
	R			P1
				P1
Pn		O		x
			P3	P
			P3	P
				2

Равенства (8.10) дают уравнения, которые служат для

определения реакции R , а равенство (8.11), не содержащее реакций, определяет условие равновесия рычага.

Следовательно, условие равновесия рычага

заключается в том, чтобы сумма моментов всех сил относительно оси вращения равнялась нулю.

2) Равновесие твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Пусть мы имеем тело, закрепленное в одной точке O (сферический шарнир), на которое

действуют активные силы P1, P2,K, Pn .

		z	R
			R
Pn			P1
	O		y
	O

Реакция R будет приложена в точке O и имеет произвольное направление в пространстве. Проведем оси координат Oxyz с началом в точке O и составим для действующих на тело сил условия равновесия (8.3):

2 апреля 2007 г.

Статика

Краткий курс Теоретической Механики

Rx + ∑Pix			= 0,
Ry	+ ∑Piy			(8.12)
			= 0,
Rz	+ ∑Piz
			= 0,
∑momx		r
		(Pi ) = 0,
∑momy		r		(8.13)
		(Pi ) = 0,
		r
∑momz(Pi ) = 0.

Равенства (8.12) служат для определения реакции R , а равенства (8.13) являются условиями равновесия тела.

Следовательно, условия равновесия АТТ, имеющего

неподвижную точку, состоят в том, что суммы всех моментов действующих сил относительно каждой из трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через неподвижную точку, должны равняться нулю.

3) Равновесие тела, имеющего ось вращения-

скольжения.
Пусть тело имеет ось вращения			Ax , вдоль которой оно
может скользить.
		z
	P2	ZA	y
	Pn		y
	Pn		A YA
ZB			A YA
ZB
x	Y		P1
x	B

Например, тело закреплено в точках A и B с помощью двух цилиндрических шарниров (подшипников).

Тогда реакции RA и RB в точках закрепления A и B будут ортогональны к оси Ax , т.е. будут иметь составляющие YA, ZA и YB, ZB .

Составляя для сил, действующих на тело, шесть условий равновесия (8.3), мы найдем, что из них только два, а именно

∑Pix = 0, ∑momx (Pi ) = 0,

(8.14)

не содержат неизвестных реакций и являются условиями равновесия тела.

Таким образом, для тела, имеющего ось вращенияскольжения, будет два условия равновесия, состоящих в том, что сумма проекций всех действующих сил на данную ось и сумма их моментов относительно этой оси должны быть равны нулю.

4) Равновесие тела, имеющего неподвижную ось вращения.

Если один из шарниров, например A , сделать сферическим, то ось вращения Ax тела станет неподвижной.

При этом у реакции RA появится еще одна составляющая XA , направленная вдоль оси Ax .

			z
	P2 ZA				y
Pn		A			y
Pn		A			YA
ZB	X
		A


x	YB			P1
B				P1

Следовательно, теперь только одно из равенств (8.14), а именно

∑momx (Pi ) = 0,

(8.15)

не будет содержать неизвестных реакций связей и будет единственным условием равновесия данного тела.

Таким образом, для тела, имеющего неподвижную ось вращения, будет одно условие равновесия, состоящее в том, что сумма моментов относительно этой оси всех действующих сил должна быть равна нулю.

Для заметок

__________________________________________________

2 апреля 2007 г.

Соседние файлы в папке termex

#
20.05.2015285.59 Кб6Theoretical_Mechanics_part_01_08 .pdf
#
20.05.2015273.82 Кб6Theoretical_Mechanics_part_02_01 .pdf
#
20.05.2015247.78 Кб6Theoretical_Mechanics_part_02_02 .pdf
#
20.05.2015265.91 Кб7Theoretical_Mechanics_part_02_03 .pdf
#
20.05.2015278.58 Кб7Theoretical_Mechanics_part_02_04 .pdf
#
20.05.2015271.77 Кб7Theoretical_Mechanics_part_02_05 .pdf
#
20.05.2015258.44 Кб7Theoretical_Mechanics_part_03_01 .pdf
#
20.05.2015356.66 Кб7Theoretical_Mechanics_part_03_02 .pdf
#
20.05.2015253.17 Кб10Theoretical_Mechanics_part_03_03 .pdf
#
20.05.2015356.61 Кб6Theoretical_Mechanics_part_03_04 .pdf