Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

termex / Theoretical_Mechanics_part_02_01

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
273.82 Кб
Скачать

Статика

 

 

 

 

 

 

 

Краткий курс Теоретической Механики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

§ 1. Определения и аксиомы статики.

 

называть

системой,

 

противоположной

системе

(S) .

 

 

 

 

 

 

 

1.1. Элементарная и аналитическая статика.

 

Символически это обозначается так

= (−S) .

 

 

 

 

 

(S )

 

 

Статика есть раздел теоретической механики,

 

Если две системы сил (S1)

и (S2 ) , действующие

посвященный изучению условий равновесия механической

 

одновременно на свободное твердое тело, находятся в

системы

под

действием

сил,

или,

иначе,

условий

 

равновесии,

то

говорят,

что

система

сил

(S )

равновесия сил, действующих на механическую систему.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

уравновешивает систему сил (S2 ) , и наоборот.

 

 

Статику можно разделить на геометрическую и

 

 

 

 

Если

система

сил

(S1)

уравновешивается

системой

аналитическую.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрическая

 

(элементарная)

 

статика

 

(−S2 ) , противоположной системе

(S2 ) , то системы сил

представляет собой в основном статику абсолютно твердого

 

(S )

и (S ) называются эквивалентными.

Символически

тела.

В

ней

силы

рассматриваются

как

некоторые

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

это

записывается

так:

если

(S ) + (−S ) ~ 0 ,

то

определенные заданные величины и изучают методы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

(S1) ~ (S2 ) , где ‘~’ - символ эквивалентности.

 

 

замены различных систем сил, действующих на абсолютно

 

 

 

твердое тело, простейшими системами, а затем находят

 

Физический смысл эквивалентности двух систем сил

условия равновесия этих простейших систем.

 

 

 

 

заключается в том, что каждая из этих систем, действуя на

Аналитическая статика представляет собой развитие

 

одно и то же первоначально неподвижное свободное тело,

одного из основных принципов механики – принципа

 

сообщает телу одно и то же ускорение. Следовательно, если

виртуальных перемещений, который дает общий критерий

 

система сил (S2 ) уравновешивает систему сил (S1) , то

равновесия механической системы, вследствие чего выводы

 

система (−S )

эквивалентна системе (S ) . Кроме того, две

аналитической статики относятся к какой угодно

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

системы сил (S )

и

 

(S ) , каждая эквивалентная третьей

механической системе. В аналитической статике имеет

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

широкое

применение

математический

анализ

и

 

(S3 ) , эквивалентны между собой, т.е. если (S1) ~ (S3 ) и

вариационное

исчисление,

поэтому

изложение

носит

 

(S ) ~ (S ) , то (S ) ~ (S ) .

 

 

 

 

 

 

 

аналитический характер.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если система сил

 

(S)

эквивалентна одной силе F , то

Понятие о силе в геометрической статике является

 

 

 

сила F называется равнодействующей системы сил (S) .

основным. Известно, что сила, действуя на материальную

 

точку,

сообщает ей

ускорение,

направленное

по силе.

 

Следовательно, если система сил (S) имеет

Поэтому действие силы на точку зависит от направления

 

 

равнодействующую

 

F ,

то

эта

система

(S)

силы и ее величины (модуля).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравновешивается одной силой, равной F .

 

 

 

 

Направление силы есть то направление, по которому

 

 

 

 

 

свободная материальная точка, находящаяся в покое,

 

Если все силы, действующие на АТТ, образуют систему

начинает двигаться под действием данной силы.

 

 

 

 

сил, находящуюся в равновесии, то мы будем говорить, что

Прямая, по которой направлена сила, называется линией

 

и само тело находится в равновесии. Под состоянием

действия силы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

равновесия АТТ мы будем понимать те состояния, которые

Сила есть величина векторная и сложение сил

 

имеет тело под действием уравновешенной системы сил, т.е.

производится по правилу параллелограмма.

 

 

 

 

 

 

состояния покоя или инерциального движения, что с точки

Точкой приложения вектора силы будет та

 

зрения задач статики несущественно.

 

 

 

 

 

материальная частица, на которую действует сила.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3. Аксиомы статики.

Сила есть неподвижный вектор – ее нельзя свободно

 

1.

Система

двух

взаимно

 

 

 

 

 

 

переносить из одной точки тела в другую без изменения

 

противоположных

сил,

равных

 

 

 

O

 

F2

действия силы на данное тело.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по величине

и приложенных в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

Статическое определение величины силы основано на

 

одной точке, находится в

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

сравнении данной силы с другой, принятой за единицу

 

равновесии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

меры. Для этой цели обыкновенно пользуются пружинными

 

2. Система двух равных по величине и взаимно

весами или динамометрами. Единицей измерения силы в

 

 

противоположных сил, приложенных в двух каких-либо

системе СИ является производная единица, численно равная

 

точках АТТ и направленных по

 

 

 

 

 

 

силе, которая массе в 1 кг сообщает ускорение в 1м/с2

и

 

прямой,

соединяющей

их

 

 

 

 

 

F2

называется ньютоном (1Н=1 кг м/ с2 ).

 

 

 

 

 

 

 

точки приложения,

находится

F1

 

 

 

B

1.2. Основные определения геометрической статики.

 

в равновесии.

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

Эта

аксиома

имеет

место

 

 

 

 

 

 

Совокупность сил, действующих на какую-либо

 

 

 

 

 

 

 

 

только по отношению к абсолютно твердому телу, для

механическую систему, в частности на твердое тело,

 

которого

расстояние

между

двумя

любыми

точками

называется системой сил.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

неизменно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Система сил, которая,

действуя на свободное

твердое

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Всякую

систему

сил

(S1)

можно,

не

изменяя

тело, находящееся в покое, не сообщает ему никакого

 

 

оказываемого ею действия, заменить другой системой

движения,

находится

в равновесии,

или,

иначе

говоря,

 

эквивалентна нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сил (S ) , ей эквивалентной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если направления

всех сил какой-либо системы (S)

 

Физический смысл последней аксиомы состоит в

изменить на противоположные, сохраняя при этом точки их

 

утверждении того,

что эквивалентные системы сил (S1)

приложения, то получим систему сил (S′) ,

которую будем

 

и (S2 ) действуют на одно и то же тело одинаково.

 

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

 

 

 

 

 

 

 

23 марта 2007 г.

Статика

Краткий курс Теоретической Механики

31

Отсюда следует, что всякую силу, приложенную в какой-либо точке АТТ, можно, не изменяя ее действия, перенести в любую другую точку тела, лежащую на линии действия этой силы. Таким образом, сила, приложенная к абсолютно твердому телу, есть вектор скользящий.

A

F

F

F

 

B

 

 

Во всех других случаях (деформируемые тела, подвижные сплошные среды) сила есть вектор

неподвижный.

4.Две системы сил, различающиеся между собой на систему сил, эквивалентную нулю, эквивалентны между собой.

5.Равновесие механической системы, находящейся в покое, не нарушается от наложения новых связей; в частности, равновесие механической системы не нарушится, если все частицы системы связать между собой неизменно (принцип отвердевания).

Другими словами, если какая-либо механическая система находится в равновесии, то она останется в равновесии, если сделается абсолютно твердым телом.

6. Система двух сил, приложенных в одной точке, эквивалентна одной силе, приложенной в той же точке и равной геометрической сумме этих сил (закон

параллелограмма сил).

 

F

Таким образом,

если на точку A

 

 

 

действуют две силы F1 и F2 , то

F1

 

система сил (F1, F2 ) эквивалентна

 

 

силе F , так же приложенной в точке

A

F2

A , причем F = F1 + F2 .

 

 

Иначе говоря,

сила F есть

 

 

равнодействующая системы сил (F1, F2 ) .

Связями в статике называют тела (неподвижные поверхности, линии, опоры, гибкие нити и т.д.), которые ограничивают положение рассматриваемой системы (либо ее частей) в пространстве.

Реакции связей являются пассивными силами, поскольку они не могут сообщить покоящейся механической системе ускорений. Связи, развивающие

нормальную реакцию N (по отношению к поверхности контакта тел), являются идеальными связями (связи без

трения). Связи с трением помимо нормальной реакции N ,

дают еще реакцию F , лежащую в касательной плоскости к поверхности взаимодействия тела и связи. Поэтому реакция

связи с трением R может

отклоняться

от

нормали на

некоторый угол ϕ .

 

 

 

N1

N

ϕ

R

N2

 

 

 

A

A

 

 

 

 

F

B

 

 

7. Всякое несвободное твердое тело можно освободить от связей, заменив при этом их действие на тело реакциями, и рассматривать его как свободное и находящееся под действием приложенных к нему активных сил и сил реакций связей.

1.4.Задачи геометрической статики.

Вгеометрической статике различные системы сил, действующие на АТТ, рассматриваются с целью их замены наиболее простыми системами сил, им эквивалентными, и формулируются необходимые и достаточные условия равновесия этих систем.

Процесс замены систем сил простейшими системами, в частности одной равнодействующей силой, называют процессом приведения сил.

Операция замены одной силы эквивалентной ей системой сил носит название «разложения» сил.

§ 2. Сходящиеся силы.

2.1. Равнодействующая системы сил, приложенных в одной точке.

Предположим сначала, что на тело действует две силы P и Q , приложенные в одной точке A и образующие между собой угол (P, Q) = γ . Равнодействующая R этих

двух сил, согласно аксиоме о параллелограмме сил, равна геометрической сумме данных сил, т.е.

B C

β

P

αR

A

γ

 

 

 

D

 

 

 

 

 

Q

 

 

r

r

(2.1)

 

R = P

+ Q .

Модуль равнодействующей можно определить,

воспользовавшись

формулой

скалярного

произведения

R R = (P + Q) (P + Q) , т.е.

 

 

R =

P2 + Q2 + 2PQ cos(γ) .

(2.2)

Найдем теперь направление равнодействующей R , т.е. определим углы (R, P) = α и (R, Q) = β , которые

равнодействующая составляет с силами P и Q . Применяя теорему «синусов», получаем из треугольника ABC :

P

=

Q

=

R

.

(2.3)

 

sin(α)

 

sin(β)

 

sin(γ)

 

Задача разложения данной силы R на эквивалентные ей две силы P и Q (которую можно считать задачей,

обратной определению равнодействующей двух сил), имеет бесчисленное множество решений.

Для определенности необходимо задать дополнительно или линии действия искомых сил, или их модули, или же модуль и направление одной из сил.

Перейдем теперь к определению равнодействующей системы n сил (F1, F2,K, Fn ) , приложенных к телу в

точке O . Применяя последовательно аксиому параллелограмма сил, получим:

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

23 марта 2007 г.

Статика

Краткий курс Теоретической Механики

32

(F1, F2 ) ~ R12

= F1 + F2

,

 

r

r

r

r

r

 

(R12, F3 ) ~ R123

= R12 +

F3,

 

r

r

Lr

r

 

r

(R12K(n−1), Fn ) ~ R =

R12K(n−1) +

Fn.

F3

F2

R123

R12

R

 

12...n−1

F1

Fn

 

O R

Таким образом, система сил, приложенных в одной точке, эквивалентна одной силе, т.е. имеет равнодействующую. Эта равнодействующая равна геометрической сумме всех сил системы и приложена в той же точке

r r

r

r

r

n r

 

R = F1

+ F2

+ F3

+K+ Fn = Fi .

(2.4)

i=1

Равнодействующая R может быть получена аналитически через проекции составляющих сил на оси координат:

 

 

 

n

r

 

 

Rx

=

Fix,

cos(R, Ox) = Rx

R ,

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

=

n

r

 

 

R

y

F ,

cos(R, Oy) = R

y

R ,

 

 

iy

 

(2.5)

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

n

r

 

 

Rz = Fiz,

cos(R, Oz) = Rz

R ,

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

R = Rx2 + Ry2 + Rz2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Равнодействующая системы сходящихся сил.

Система сил (F1, F2,K, Fn ) , действующих на

абсолютно твердое тело и обладающих тем свойством, что линии действия всех сил системы пересекаются в одной точке O , называется системой сходящихся сил.

F2

F1

O F3

Fn

Очевидно, что этот случай приводится к предыдущему, поскольку все силы мы можем перенести по линии их действия в точку O и заменить данную систему сил системой сил, приложенных в точке O .

Следовательно, система сходящихся сил имеет

равнодействующую, равную сумме этих сил и проходящую через точку, в которой пересекаются линии действия сил.

Для равновесия сходящейся системы сил необходимо и

достаточно, чтобы равнодействующая системы R была равна нулю, т.е.

r

n

r

 

R

= Fi = 0, или

(2.6)

 

i=1

 

 

n

 

n

n

Rx = Fx = 0, Ry = Fy = 0, Rz = Fz = 0.

i=1

 

i=1

i=1

Условию равновесия (2.6) можно придать геометрическую форму: для равновесия системы

сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы векторный (силовой) многоугольник, построенный из сил системы, был замкнутым.

Справедлива также следующая теорема (о трех силах):

«если плоская система трех непараллельных сил

находится в равновесии, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке».

Этой теоремой удобно пользоваться при решении задач на равновесие плоской системы сил для определения наперед неизвестных направлений реакций связей.

Например. На двух взаимно перпендикулярных гладких наклонных плоскостях AB и BC лежит однородный шар

O веса

Q .

Определить давление шара на каждую

плоскость, зная, что

 

 

 

 

плоскость

 

BC

 

 

 

C

составляет

с

линией

 

 

 

 

 

 

 

горизонта угол α.

A

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

E

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

B

 

По условию шар O

 

 

 

 

 

 

 

находится в равновесии. Кроме силы тяжести, равной Q , приложенной в центре O шара и направленной вертикально вниз, на шар со стороны плоскостей AB и BC в точках D

и E действуют реакции связей ND и NE . Эти силы равны

по величине и противоположны по направлениям силам давления со стороны шара на соответствующие плоскости.

Поскольку силы Q , ND и NE лежат в одной плоскости и находятся в равновесии, они должны

составлять замкнутый силовой треугольник.

 

Очевидно, что реакция

ND должна быть параллельна

плоскости BC , а реакция

NE

параллельна плоскости

AB . Тогда, построив вектор силы

Q , проведем через его

концы прямые, параллельные указанным плоскостям.

В

результате имеем замкнутый силовой

треугольник

′ ′

 

, который является прямоугольным.

 

O D E

 

 

 

O

NE

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

E

 

NE

 

 

 

 

 

 

A

ND

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

Q

ND

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

D

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из этого треугольника находим:

 

 

 

 

 

 

 

ND = Q sin α,

NE = Q cos α.

 

Задача решена.

 

 

 

 

 

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

23 марта 2007 г.