termex / Theoretical_Mechanics_part_02_01
.pdfСтатика |
|
|
|
|
|
|
|
Краткий курс Теоретической Механики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
||||||||||
|
|
|
§ 1. Определения и аксиомы статики. |
|
называть |
системой, |
|
противоположной |
системе |
(S) . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1.1. Элементарная и аналитическая статика. |
|
Символически это обозначается так |
′ |
= (−S) . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
(S ) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
Статика есть раздел теоретической механики, |
|
Если две системы сил (S1) |
и (S2 ) , действующие |
||||||||||||||||||||||||||
посвященный изучению условий равновесия механической |
|
одновременно на свободное твердое тело, находятся в |
|||||||||||||||||||||||||||
системы |
под |
действием |
сил, |
или, |
иначе, |
условий |
|
равновесии, |
то |
говорят, |
что |
система |
сил |
(S ) |
|||||||||||||||
равновесия сил, действующих на механическую систему. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||
|
уравновешивает систему сил (S2 ) , и наоборот. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Статику можно разделить на геометрическую и |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Если |
система |
сил |
(S1) |
уравновешивается |
системой |
|||||||||||||||||||||||
аналитическую. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Геометрическая |
|
(элементарная) |
|
статика |
|
(−S2 ) , противоположной системе |
(S2 ) , то системы сил |
||||||||||||||||||||||
представляет собой в основном статику абсолютно твердого |
|
(S ) |
и (S ) называются эквивалентными. |
Символически |
|||||||||||||||||||||||||
тела. |
В |
ней |
силы |
рассматриваются |
как |
некоторые |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
это |
записывается |
так: |
если |
(S ) + (−S ) ~ 0 , |
то |
|||||||||||||||||||||||
определенные заданные величины и изучают методы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
(S1) ~ (S2 ) , где ‘~’ - символ эквивалентности. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
замены различных систем сил, действующих на абсолютно |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
твердое тело, простейшими системами, а затем находят |
|
Физический смысл эквивалентности двух систем сил |
|||||||||||||||||||||||||||
условия равновесия этих простейших систем. |
|
|
|
|
заключается в том, что каждая из этих систем, действуя на |
||||||||||||||||||||||||
Аналитическая статика представляет собой развитие |
|
одно и то же первоначально неподвижное свободное тело, |
|||||||||||||||||||||||||||
одного из основных принципов механики – принципа |
|
сообщает телу одно и то же ускорение. Следовательно, если |
|||||||||||||||||||||||||||
виртуальных перемещений, который дает общий критерий |
|
система сил (S2 ) уравновешивает систему сил (S1) , то |
|||||||||||||||||||||||||||
равновесия механической системы, вследствие чего выводы |
|
система (−S ) |
эквивалентна системе (S ) . Кроме того, две |
||||||||||||||||||||||||||
аналитической статики относятся к какой угодно |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
системы сил (S ) |
и |
|
(S ) , каждая эквивалентная третьей |
|||||||||||||||||||||||||
механической системе. В аналитической статике имеет |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
широкое |
применение |
математический |
анализ |
и |
|
(S3 ) , эквивалентны между собой, т.е. если (S1) ~ (S3 ) и |
|||||||||||||||||||||||
вариационное |
исчисление, |
поэтому |
изложение |
носит |
|
(S ) ~ (S ) , то (S ) ~ (S ) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
аналитический характер. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если система сил |
|
(S) |
эквивалентна одной силе F , то |
||||||||||||||||
Понятие о силе в геометрической статике является |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
сила F называется равнодействующей системы сил (S) . |
||||||||||||||||||||||||||||
основным. Известно, что сила, действуя на материальную |
|
||||||||||||||||||||||||||||
точку, |
сообщает ей |
ускорение, |
направленное |
по силе. |
|
Следовательно, если система сил (S) имеет |
|||||||||||||||||||||||
Поэтому действие силы на точку зависит от направления |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
равнодействующую |
|
F , |
то |
эта |
система |
(S) |
||||||||||||||||||||||
силы и ее величины (модуля). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравновешивается одной силой, равной − F . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Направление силы есть то направление, по которому |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
свободная материальная точка, находящаяся в покое, |
|
Если все силы, действующие на АТТ, образуют систему |
|||||||||||||||||||||||||||
начинает двигаться под действием данной силы. |
|
|
|
|
сил, находящуюся в равновесии, то мы будем говорить, что |
||||||||||||||||||||||||
Прямая, по которой направлена сила, называется линией |
|
и само тело находится в равновесии. Под состоянием |
|||||||||||||||||||||||||||
действия силы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равновесия АТТ мы будем понимать те состояния, которые |
||||||||||||||||
Сила есть величина векторная и сложение сил |
|
имеет тело под действием уравновешенной системы сил, т.е. |
|||||||||||||||||||||||||||
производится по правилу параллелограмма. |
|
|
|
|
|
|
состояния покоя или инерциального движения, что с точки |
||||||||||||||||||||||
Точкой приложения вектора силы будет та |
|
зрения задач статики несущественно. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
материальная частица, на которую действует сила. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3. Аксиомы статики. |
||||||||||||||||
Сила есть неподвижный вектор – ее нельзя свободно |
|
1. |
Система |
двух |
взаимно |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
переносить из одной точки тела в другую без изменения |
|
противоположных |
сил, |
равных |
|
|
|
O |
|
F2 |
|||||||||||||||||||
действия силы на данное тело. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по величине |
и приложенных в |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Статическое определение величины силы основано на |
|
одной точке, находится в |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
сравнении данной силы с другой, принятой за единицу |
|
равновесии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
меры. Для этой цели обыкновенно пользуются пружинными |
|
2. Система двух равных по величине и взаимно |
|||||||||||||||||||||||||||
весами или динамометрами. Единицей измерения силы в |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
противоположных сил, приложенных в двух каких-либо |
||||||||||||||||||||||||||||
системе СИ является производная единица, численно равная |
|
точках АТТ и направленных по |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
силе, которая массе в 1 кг сообщает ускорение в 1м/с2 |
и |
|
прямой, |
соединяющей |
их |
|
|
|
|
|
F2 |
||||||||||||||||||
называется ньютоном (1Н=1 кг м/ с2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
точки приложения, |
находится |
F1 |
|
|
|
B |
|||||||||||||||
1.2. Основные определения геометрической статики. |
|
в равновесии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|||||||||||||||||
|
Эта |
аксиома |
имеет |
место |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Совокупность сил, действующих на какую-либо |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
только по отношению к абсолютно твердому телу, для |
||||||||||||||||||||||||||||
механическую систему, в частности на твердое тело, |
|
которого |
расстояние |
между |
двумя |
любыми |
точками |
||||||||||||||||||||||
называется системой сил. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неизменно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Система сил, которая, |
действуя на свободное |
твердое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3. |
Всякую |
систему |
сил |
(S1) |
можно, |
не |
изменяя |
|||||||||||||||||||||
тело, находящееся в покое, не сообщает ему никакого |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
оказываемого ею действия, заменить другой системой |
||||||||||||||||||||||||||||
движения, |
находится |
в равновесии, |
или, |
иначе |
говоря, |
|
|||||||||||||||||||||||
эквивалентна нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сил (S ) , ей эквивалентной. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если направления |
всех сил какой-либо системы (S) |
|
Физический смысл последней аксиомы состоит в |
||||||||||||||||||||||||||
изменить на противоположные, сохраняя при этом точки их |
|
утверждении того, |
что эквивалентные системы сил (S1) |
||||||||||||||||||||||||||
приложения, то получим систему сил (S′) , |
которую будем |
|
и (S2 ) действуют на одно и то же тело одинаково. |
|
|||||||||||||||||||||||||
© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ |
|
|
|
|
|
|
|
23 марта 2007 г. |
Статика |
Краткий курс Теоретической Механики |
31 |
Отсюда следует, что всякую силу, приложенную в какой-либо точке АТТ, можно, не изменяя ее действия, перенести в любую другую точку тела, лежащую на линии действия этой силы. Таким образом, сила, приложенная к абсолютно твердому телу, есть вектор скользящий.
A |
F |
− F |
F |
|
B |
|
|
Во всех других случаях (деформируемые тела, подвижные сплошные среды) сила есть вектор
неподвижный.
4.Две системы сил, различающиеся между собой на систему сил, эквивалентную нулю, эквивалентны между собой.
5.Равновесие механической системы, находящейся в покое, не нарушается от наложения новых связей; в частности, равновесие механической системы не нарушится, если все частицы системы связать между собой неизменно (принцип отвердевания).
Другими словами, если какая-либо механическая система находится в равновесии, то она останется в равновесии, если сделается абсолютно твердым телом.
6. Система двух сил, приложенных в одной точке, эквивалентна одной силе, приложенной в той же точке и равной геометрической сумме этих сил (закон
параллелограмма сил). |
|
F |
|
Таким образом, |
если на точку A |
|
|
|
|
||
действуют две силы F1 и F2 , то |
F1 |
|
|
система сил (F1, F2 ) эквивалентна |
|
|
|
силе F , так же приложенной в точке |
A |
F2 |
|
A , причем F = F1 + F2 . |
|
|
|
Иначе говоря, |
сила F есть |
|
|
равнодействующая системы сил (F1, F2 ) .
Связями в статике называют тела (неподвижные поверхности, линии, опоры, гибкие нити и т.д.), которые ограничивают положение рассматриваемой системы (либо ее частей) в пространстве.
Реакции связей являются пассивными силами, поскольку они не могут сообщить покоящейся механической системе ускорений. Связи, развивающие
нормальную реакцию N (по отношению к поверхности контакта тел), являются идеальными связями (связи без
трения). Связи с трением помимо нормальной реакции N ,
дают еще реакцию F , лежащую в касательной плоскости к поверхности взаимодействия тела и связи. Поэтому реакция
связи с трением R может |
отклоняться |
от |
нормали на |
некоторый угол ϕ . |
|
|
|
N1 |
N |
ϕ |
R |
N2 |
|
|
|
A |
A |
|
|
|
|
F |
|
B |
|
|
7. Всякое несвободное твердое тело можно освободить от связей, заменив при этом их действие на тело реакциями, и рассматривать его как свободное и находящееся под действием приложенных к нему активных сил и сил реакций связей.
1.4.Задачи геометрической статики.
Вгеометрической статике различные системы сил, действующие на АТТ, рассматриваются с целью их замены наиболее простыми системами сил, им эквивалентными, и формулируются необходимые и достаточные условия равновесия этих систем.
Процесс замены систем сил простейшими системами, в частности одной равнодействующей силой, называют процессом приведения сил.
Операция замены одной силы эквивалентной ей системой сил носит название «разложения» сил.
§ 2. Сходящиеся силы.
2.1. Равнодействующая системы сил, приложенных в одной точке.
Предположим сначала, что на тело действует две силы P и Q , приложенные в одной точке A и образующие между собой угол (P, Q) = γ . Равнодействующая R этих
двух сил, согласно аксиоме о параллелограмме сил, равна геометрической сумме данных сил, т.е.
B C
β
P
αR
A |
γ |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
r |
r |
(2.1) |
|
R = P |
+ Q . |
|
Модуль равнодействующей можно определить, |
|||
воспользовавшись |
формулой |
скалярного |
произведения |
R R = (P + Q) (P + Q) , т.е. |
|
|
|
R = |
P2 + Q2 + 2PQ cos(γ) . |
(2.2) |
Найдем теперь направление равнодействующей R , т.е. определим углы (R, P) = α и (R, Q) = β , которые
равнодействующая составляет с силами P и Q . Применяя теорему «синусов», получаем из треугольника ABC :
P |
= |
Q |
= |
R |
. |
(2.3) |
|
sin(α) |
|
||||
sin(β) |
|
sin(γ) |
|
Задача разложения данной силы R на эквивалентные ей две силы P и Q (которую можно считать задачей,
обратной определению равнодействующей двух сил), имеет бесчисленное множество решений.
Для определенности необходимо задать дополнительно или линии действия искомых сил, или их модули, или же модуль и направление одной из сил.
Перейдем теперь к определению равнодействующей системы n сил (F1, F2,K, Fn ) , приложенных к телу в
точке O . Применяя последовательно аксиому параллелограмма сил, получим:
© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ |
23 марта 2007 г. |
Статика |
Краткий курс Теоретической Механики |
32 |
(F1, F2 ) ~ R12 |
= F1 + F2 |
, |
|
||
r |
r |
r |
r |
r |
|
(R12, F3 ) ~ R123 |
= R12 + |
F3, |
|
||
r |
r |
Lr |
r |
|
r |
(R12K(n−1), Fn ) ~ R = |
R12K(n−1) + |
Fn. |
F3
F2 |
R123 |
R12 |
R |
|
12...n−1 |
F1 |
Fn |
|
O R
Таким образом, система сил, приложенных в одной точке, эквивалентна одной силе, т.е. имеет равнодействующую. Эта равнодействующая равна геометрической сумме всех сил системы и приложена в той же точке
r r |
r |
r |
r |
n r |
|
R = F1 |
+ F2 |
+ F3 |
+K+ Fn = ∑Fi . |
(2.4) |
i=1
Равнодействующая R может быть получена аналитически через проекции составляющих сил на оси координат:
|
|
|
n |
r |
|
|
Rx |
= |
∑Fix, |
cos(R, Ox) = Rx |
R , |
||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
= |
n |
r |
|
|
R |
y |
F , |
cos(R, Oy) = R |
y |
R , |
|
|
|
∑ iy |
|
(2.5) |
||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
n |
r |
|
|
Rz = ∑Fiz, |
cos(R, Oz) = Rz |
R , |
||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
R = Rx2 + Ry2 + Rz2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2.2. Равнодействующая системы сходящихся сил.
Система сил (F1, F2,K, Fn ) , действующих на
абсолютно твердое тело и обладающих тем свойством, что линии действия всех сил системы пересекаются в одной точке O , называется системой сходящихся сил.
F2
F1
O F3
Fn
Очевидно, что этот случай приводится к предыдущему, поскольку все силы мы можем перенести по линии их действия в точку O и заменить данную систему сил системой сил, приложенных в точке O .
Следовательно, система сходящихся сил имеет
равнодействующую, равную сумме этих сил и проходящую через точку, в которой пересекаются линии действия сил.
Для равновесия сходящейся системы сил необходимо и
достаточно, чтобы равнодействующая системы R была равна нулю, т.е.
r |
n |
r |
|
R |
= ∑Fi = 0, или |
(2.6) |
|
|
i=1 |
|
|
n |
|
n |
n |
Rx = ∑Fx = 0, Ry = ∑Fy = 0, Rz = ∑Fz = 0. |
|||
i=1 |
|
i=1 |
i=1 |
Условию равновесия (2.6) можно придать геометрическую форму: для равновесия системы
сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы векторный (силовой) многоугольник, построенный из сил системы, был замкнутым.
Справедлива также следующая теорема (о трех силах):
«если плоская система трех непараллельных сил
находится в равновесии, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке».
Этой теоремой удобно пользоваться при решении задач на равновесие плоской системы сил для определения наперед неизвестных направлений реакций связей.
Например. На двух взаимно перпендикулярных гладких наклонных плоскостях AB и BC лежит однородный шар
O веса |
Q . |
Определить давление шара на каждую |
||||
плоскость, зная, что |
|
|
|
|
||
плоскость |
|
BC |
|
|
|
C |
составляет |
с |
линией |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
горизонта угол α. |
A |
O |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
D |
E |
α |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
B |
|
|
По условию шар O |
|
|
|
|||
|
|
|
|
находится в равновесии. Кроме силы тяжести, равной Q , приложенной в центре O шара и направленной вертикально вниз, на шар со стороны плоскостей AB и BC в точках D
и E действуют реакции связей ND и NE . Эти силы равны
по величине и противоположны по направлениям силам давления со стороны шара на соответствующие плоскости.
Поскольку силы Q , ND и NE лежат в одной плоскости и находятся в равновесии, они должны
составлять замкнутый силовой треугольник. |
|
||||||||
Очевидно, что реакция |
ND должна быть параллельна |
||||||||
плоскости BC , а реакция |
NE – |
параллельна плоскости |
|||||||
AB . Тогда, построив вектор силы |
Q , проведем через его |
||||||||
концы прямые, параллельные указанным плоскостям. |
|||||||||
В |
результате имеем замкнутый силовой |
треугольник |
|||||||
′ ′ |
|
′ |
, который является прямоугольным. |
|
|||||
O D E |
|
|
|||||||
|
O′ |
NE |
|
|
|
|
C |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
E′ |
|
NE |
|
|
||||
|
|
|
|
A |
ND |
|
|||
|
|
|
|
|
|
O |
|
||
|
Q |
ND |
|
|
|
α |
|||
|
|
|
|
|
|
|
E |
||
|
|
|
|
α |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
D′ |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из этого треугольника находим: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ND = Q sin α, |
NE = Q cos α. |
|
|||
Задача решена. |
|
|
|
|
|
© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ |
23 марта 2007 г. |