Для студентов / Лекции / (3)СТВ / (5)Рух зарядженої матеріальної точки в е-м полі
.doc5. Рух зарядженої матеріальної точки в електромагнітному полі
В цьому розділі планується побудувати 1) узагальнений вигляд рівняння Ньютона для матеріальної точки, яка рухається з довільною швидкістю; 2) узагальнену форму Лагранжевого формалізму і чотиривектор енергії-імпульсу матеріальної точки і 3) чотиривимірну форму дії системи і рівнянь руху Лагранжа.
а) Релятивістська форма рівнянь Ньютона
При швидкостях , які за модулем є набагато меншими від швидкості світла , рух матеріальної точки вельми успішно описується рівнянням Ньютона:
, (5.1)
де - маса точки, а - сила, яка діє на неї. В електромагнітному полю сила співпадає з силою Лоренца:
. (5.2)
В розділі І було показано, що рівняння Ньютона (5.1) є інваріантними відносно перетворень Галілея, які співпадають з перетвореннями Лоренца тільки при швидкостях . Оскільки при релятивістських швидкостях кінематика точки повинна бути узгодженою з перетвореннями Лоренца, то зразу ж постає питання, як потрібно модифікувати рівняння динаміки точки (5.1), щоб воно могло використовуватись і при швидкостях .
Надзвичайно прозорий спосіб побудови релятивістської форми рівняння Ньютона вказав Макс Планк, знаменитий автор квантової гіпотези. Розглянемо аргументи Планка на найпростішому прикладі – русі зарядженої матеріальної точки в однорідному електричному полі напруженості . Для простоти, будемо вважати, що в початковий момент часу швидкість точки дорівнює нулю, . Це означає, що в подальшому матеріальна точка буде рухатись тільки в напрямку напруженості електричного поля, яке ми можемо ототожнити з віссю . Зрозуміло, що швидкість точки буде постійно зростати і буде наближуватись до швидкості світла. Для опису її руху природно скористатись наступними міркуваннями.
Перейдемо в довільний момент часу в супроводжуючу ІСВ. В СІСВ швидкість точки на протязі нескінчено малого інтервалу часу буде залишатись близькою до нуля і ми можемо скористатись стандартною формою рівняння Ньютона (5.1):
. (5.3)
Перейдемо тепер до лабораторної ІСВ, виконуючи перетворення прискорення точки і напруженості електричного поля. Згідно (2.21) і (4.13)
, . (5.4)
Що стосується і , то їх значення залишаються такими ж, як і в лабораторній ІСВ, і , оскільки міра інертності і заряд частинки безпосередньо з перетвореннями просторово-часових координат точки не пов’язані. Враховуючи цю обставину і підставляючи (5.4) в (5.3), знаходимо:
. (5.5)
Неважко перевірити, що рівнянню (5.5) можна також надати вигляд, подібний до рівняння Ньютона (5.3):
, (5.6)
Фактично, це і є релятивістська форма рівняння Ньютона для одновимірного руху зарядженої матеріальної точки.
б) Довільний рух зарядженої матеріальної точки в електромагнітному полі
Узагальнимо рівняння (5.6) на випадок довільного руху матеріальної точки в електромагнітному полі. Як і попередньому випадку будемо виходити з рівняння руху матеріальної точки в СІСВ, де її швидкість дорівнює нулю:
. (5.7)
Магнітна складова сили в СІСВ є відсутньою, оскільки миттєва швидкість точки в момент часу дорівнює нулю. При поверненні до ЛІСВ скористаємось відомими співвідношеннями між значеннями прискорення і напруженості електричного поля в різних ІСВ (див. (2.21) і (4.14) відповідно):
При довільному напрямку швидкості точки відносно осей ЛІСВ законам перетворення компонентів прискорення точки:
можна надати більш загального вигляду (не пов’язаного з вибором осей координат):
(5.8)
де індекси «» і «» позначають поздовжню і поперечну складові прискорень точки відносно напрямку її швидкості в момент часу .
Комбінації прискорень і швидкостей в правих частинах рівнянь (5.8) породжуються диференціюванням дробу . Дійсно,
.
Оскільки , а поздовжня і поперечна складові прискорення дорівнюють і , то
. (5.9)
Приймаючи до уваги наведений вище закон перетворення напруженості електричного поля, неважко також впевнитись, що поздовжня і поперечна складові сили , діючої на заряджену частинку з боку електромагнітного поля в ЛІСВ, дорівнюють:
. (5.10)
Комбінуючи (5.7), (5.8) і (5.10), знаходимо:
(5.11)
Разом з (5.9) ми приходимо до висновку, що релятивістське рівняння руху матеріальної точки у довільному електромагнітному полі приймає вигляд:
, (5.12)
який є цілком подібним до (5.6).
в) Лагранжева форма рівнянь Ньютона
Згідно класичної механіки рівнянню руху (5.12) матеріальної точки в електромагнітному полі можна надати вигляд:
, (5.14)
де - функція Лагранжа. Її вигляд можна знайти з порівняння цих обох рівнянь. Ця задача значно спрощується, якщо ми скористаємось адитивністю функції Лагранжа:
, (5.15) де перший доданок відповідає функції Лагранжа вільної частинки, а другий – її взаємодії із зовнішнім полем. Неважко зрозуміти, що з урахуванням такої структури функції Лагранжа, рівняння Лагранжа (5.14) переходить у наступне:
. (5.16)
Тут враховано, що функція Лагранжа вільної частинки не залежить від просторових координат. Співставлення (5.16) і (5.12) приводить до наступних рівнянь:
, (5.17)
. (5.18)
Перше з них тривіально інтегрується і ми знаходимо:
. (5.19)
Перед інтегруванням другого рівняння замінимо в ньому напруженості полів відповідними виразами через їх потенціали:
.
Третій доданок в правій частині останнього рівняння допускає подальше спрощення:
.
Як наслідок, рівняння (5.18) переписується у вигляді:
.
Інтегрування цього рівняння не буде викликати перешкод, якщо ми врахуємо зв'язок між повною і частковою похідними за часовою змінною від векторного потенціалу:
.
Тоді
.
Звідси ми бачимо, що складова функції Лагранжа, яка описує взаємодію зарядженої частинки з електромагнітним полем, дорівнює:
. (5.20)
Слід зазначити, що перший доданок в правій частині () має смисл потенціальної енергії зарядженої частинки в електромагнітному полі: = . Другий внесок, , який описує взаємодію зарядженої частинки з магнітним полем, не можна віднести ні до кінетичної, ні до потенціальної енергії частинки. Дійсно, сила, яка діє на частинку з боку магнітного поля, є перпендикулярною швидкості її руху і не виконує ніякої роботи над нею.
Остаточно, функція Лагранжа зарядженої матеріальної точки приймає вигляд:
. (5.21)
В граничному випадку, коли , функція Лагранжа
відрізняється від свого класичного аналогу тільки постійним внеском, ,
який не впливає на вигляд рівнянь руху і може бути відкинутим.
Побудуємо тепер, згідно означень, узагальнений імпульс матеріальної точки та її енергію :
(5.22)
. (5.23)
Як бачимо, узагальнений імпульс зарядженої частинки відрізняється від ньютонівської складової адитивним внеском, пропорційним векторному потенціалу: . Слід додати, що цей внесок не є специфічним для релятивістської механіки. Він виникає і в класичній механіці, коли заряджена частинка потрапляє в магнітне поле. Такий самий висновок залишається справедливим і для енергії зарядженої матеріальної точки в електромагнітному полі.
Неважко впевнитись, що в чотиривимірному комплексному просторі СТВ узагальнений імпульс і енергія зарядженої матеріальної точки об’єднуються в єдиний чотиривектор енергії-імпульсу. Дійсно, з виразу для чотиришвидкості точки: , випливає, що компоненти узагальненого імпульсу дорівнюють:
.
Енергія частинки приймає цілком подібний вигляд:
.
З порівняння двох останніх формул випливає, що узагальнений імпульс і енергія матеріальної точки природно об’єднуються в чотиривектор енергії-імпульсу:
. (5.24)
Оскільки (див. (3.22)), то
. (5.25)
Квадрат чотиривектора можна представити сумою квадратів його просторових і часової складових:
.
Переходячи остаточно до тривимірних позначень, знаходимо:
, (5.26)
або
. (5.27)
Останні дві формули і дають нам загальний зв'язок між енергією та імпульсом матеріальної точки, яка рухається з довільною швидкістю .
г) Чотиривимірна форма дії зарядженої матеріальної точки в електромагнітному полі
За означенням дія системи є пов’язаною з її функцією Лагранжа стандартним співвідношенням:
.
В нашому конкретному випадку дія дорівнює:
. (5.28)
Оскільки і , то
.
Далі, врахуємо, що і . Як наслідок, дію зарядженої матеріальної точки можна представити у вигляді:
. (5.29)
Тут цифри 1 і 2 позначають значення чотирьохвекторів, які задають положення частинки в початковий і кінцевий моменти часу: і .
Побудуємо тепер чотиривимірну форму рівнянь Лагранжа. Для цього побудуємо варіацію дії (5.29) і розглянемо умови, коли вона прямує до нуля.
У згоді з означенням варіації, операції варіювання і інтегрування є перестановочними: . Завдяки цьому,
. (5.30)
Далі, правила варіювання є подібними до правил диференціювання, тому
.
Тепер скористаємось комутативністю операцій варіювання і диференціювання: , а також перетворенням Лежандра: . Остаточно отримуємо:
. (5.31)
Так само будується і варіація :
. (5.32)
Диференціал від компонентів векторного потенціалу обчислюється стандартним чином:
.
Оскільки правила варіювання є такими ж самими, то
.
Підставляючи дві останні формули в (5.32), знаходимо:
. (5.33)
Тут ми скористались можливістю довільно позначати індекси, по яким виконується підсумовування, і переставили місцями німі індекси і (): .
Варіація дії матеріальної точки (5.30), після підстановки в неї виразів (5.31) і (5.33) для варіацій різних внесків, приймає вигляд:
.
Інтегруючи перші доданки в квадратних дужках, можна представити у вигляді:
. (5.34)
Рівняння Лагранжа відповідають екстремуму дії, для якого при умові, що початкова і кінцева точки траєкторії матеріальної точки залишаються фіксованими: . З (5.34) випливає, що цим умовам задовольняють рівняння:
або . (5.35)
Неважко переконатись, що при повернені до тривимірних змінних рівняння (5.35) повністю співпадає з (5.12).
Варіаційна похідна від дії системи за координатами кінцевої точки при умові, що система рухається згідно рівнянь Лагранжа, визначає компоненти чотириімпульсу системи:
. (5.36)
Отриманні значення також узгоджуються зі встановленими вище (див. (5.24)).
Для більш повного розуміння варіаційного методу побудови чотири -імпульсу згадаємо зв'язок між імпульсом і енергією системи та її дією в класичній механіці:
.
Тут кінцевий момент часу руху частинки позначається . При переході до координат чотиривимірного простору ми знаходимо:
,
тобто компоненти імпульсу і енергія частинки, дійсно, можна розглядати як складові чотириімпульсу:
. (5.37)