Для студентов / Лекции / (3)СТВ / (6)Чотиривимірна форма законів збереження е.-м. поля
.doc6. Чотиривимірна форма законів збереження електромагнітного поля
В розділах (І.15) і (І.16) було показано, що динаміка електромагнітного поля узгоджується із законами збереження енергії, імпульсу і моменту імпульсу. Було показано, що закони збереження енергії і імпульсу мають структуру:
, або (6.1)
, або (6.2)
Тут - густина енергії електромагнітного поля, - густина її потоку (інакше, вектор Пойнтінга-Умова), - густина імпульсу електромагнітного поля, - густина його потоку (інакше, максвелівський тензор напружень).
Надамо цим рівнянням чотиривимірний вигляд, а також розглянемо закон збереження моменту імпульсу.
а) Чотиривимірна форма закону збереження енергії
Диференціальна форма закону збереження енергії електромагнітного поля є повністю еквівалентною закону збереження заряду, розглянутому в підрозділі (4(а)). У згоді з отриманими в ньому результатами, рівняння (6.1) набуває вигляду:
, (6.3)
де - чотиривектор, який називають чотиривектором Пойнтінга-Умова. При переході до якоїсь іншої ІСВ структура рівняння (6.3) зберігається незмінною:
,
а компоненти перетворюються за стандартним законом:
. (6.4)
В тривимірних позначеннях, коли відносна швидкість ІСВ є направленою вздовж осей і , формула (6.4) породжує систему співвідношень:
. (6.5)
В загальному випадку, коли відносна швидкість є направленою довільним чином,
, (6.6)
де - одиничний вектор, який задає напрямок руху.
Проілюструємо застосування отриманих формул на прикладі плоскої хвилі. В цьому випадку , де - одиничний вектор, який задає напрямок розповсюдження хвилі. Згідно (6.6), ми отримуємо наступні закони перетворення густини енергії і вектора :
, (6.7)
. (6.8)
Якщо напрямки розповсюдження хвилі і відносного руху ІСВ співпадають (), то (6.7) і (6.8) значно спрощуються:
. (6.9)
б) Чотиривимірна форма закону збереження імпульсу
Чотиривимірну форму закону збереження енергії (6.3) можна також переписати у вигляді:
, (6.10)
де
(6.11)
має смисл чотириімпульсу електромагнітного поля. Підкреслимо, що структура (6.11) повністю співпадає зі структурою імпульсу матеріальної точки ().
Просторові компоненти імпульсу, крім того, задовольняють рівнянню
,
яке відрізняється від (6.2) тільки заміною . Якщо використати позначення:
,
його можна переписати наступним чином:
. (6.12)
Рівняння (6.10) і (6.12) природним чином об’єднуються в одне рівняння:
, (6.13)
якщо матрицю рангу доповнити четвертою строчкою :
. (6.14)
Цей об’єкт називають чотиритензором енергії-імпульсу. Як бачимо, він поєднує в собі густини енергії і компонентів імпульсу, а також компоненти максвелівського тензору напружень.
Компоненти чотиритензора енергії імпульсу в різних ІСВ пов’язані між собою стандартним чином:
. (6.15)
Приймаючи до уваги структуру , останній вираз можна представити у вигляді:
(6.16)
в) Закон перетворення компонентів максвелівського тензору напружень
Зокрема, компоненти максвелівського тензору напружень перетворюються за законом:
, . (6.17)
Якщо відносна швидкість двох ІСВ є направленою вздовж їхніх і осей, то і формула (6.17) помітно спрощується:
. (6.18)
Подальше спрощення (6.18) обумовлюється використанням співвідношення , завдяки якому
. (6.19)
Звідси випливають наступні формули:
,
, , (6.20)
, .
Закони перетворення компонентів густини імпульсу є цілком подібними до законів перетворення чотиривектора Пойнтінга-Умова (див. (6.4) і (6.5)), оскільки .
Застосуємо тепер формули (6.20) до електромагнітного поля, утвореного плоскою хвилею, яка розповсюджується вздовж вісі . Згідно (), тензор максвелівських напружень в ЛІСВ дорівнює:
.
В рухомій ІСВ тензор напружень має аналогічну структуру:
.
Враховуючи, що і , знаходимо:
г) Закон збереження моменту імпульсу
Почнемо з аналізу тривимірної форми закону збереження моменту імпульсу.
За означенням, густина моменту імпульсу визначається стандартним співвід-ношенням:
.
В подальших перетвореннях, одначе, більш зручними є компоненти дуального тензору моменту імпульсу:
.
Тут - повністю антисиметричний тензор третього рангу. Зміна з часом описується рівнянням:
.
Підставляючи сюди часові похідні від компонентів імпульсу, які задаються рівнянням (6.2), отримуємо:
.
Після перетворення Лежандра це рівняння набуває вигляду:
.
Воно буде приводити до стандартної форми закону збереження імпульсу
при умові, що різниця компонентів максвелівського тензору напружень в правій частині рівняння () буде дорівнювати нулю:
.
Таким чином, закон збереження моменту імпульсу електромагнітного поля є тісно пов’язаним з симетрією максвелівського тензору напружень. Рівняння Максвела приводять до симетричного тензору напружень, тому закон збереження моменту імпульсу виконується автоматично. Але проблема узгодженості вимоги симетрії тензору напружень з виконанням закону збереження моменту імпульсу має загально-фізичне значення.
В чотиривимірній формі рівняння () переписується наступним чином:
,
де
=().
7. Функція Лагранжа і дія електромагнітного поля
Лагранжев формалізм відіграє велику роль в класичній механіці. Він дозволяє надати рівнянням руху частинок максимально загальну форму, яка дозволяє, зокрема, максимально загальним чином встановлювати зв'язок між законами збереження і властивостями симетрії простору і часу, а також менш загальними, але не менш важливими властивостями симетрії системи. У зв’язку з цим, важливого значення набувають теореми Нетер, які дозволяють за заданими перетвореннями симетрії безпосередньо побудувати величини, які зберігаються з часом. В цьому розділі планується побудувати функцію Лагранжа електромагнітного поля, детально обговорити властивості її просторово-часової симетрії і побудувати величини, що зберігаються.
а) Густина функції Лагранжа електромагнітного поля
Рівняння Лагранжа механічної системи в загальному випадку мають вигляд:
, , ()
де - узагальнена координата, а - число незалежних ступенів свободи.
Якщо системою є одновимірне поле, то , а і система звичайних диференціальних рівнянь () переходить в одне рівняння з частковими похідними:
. ()
В більш загальному випадку, коли польова змінна є функцією всіх координат чотиривимірного комплексного простору СТВ, то рівняння () переписується наступним чином:
. ()
Порівняємо тепер це рівняння з одним із рівнянь Максвела у чотиривимірній формі:
В електромагнітному полі роль польової змінної належить чотирипотенціалу , або його компонентам , тобто
,
.
Порівнюючи польове рівняння Лагранжа
з рівнянням Максвела, знаходимо наступну форму функції Лагранжа, точніше густину функції Лагранжа електромагнітного поля:
.
Дійсно, відповідні похідні від функції Лагранжа дорівнюють:
, .
Тут ми скористались ланцюжком тотожних перетворень:
,
а також значенням функціональної похідної:
.
В тривимірних позначеннях густина функції Лагранжа і функція Лагранжа електромагнітного поля описуються формулами:
і
.
Дія системи електромагнітне поле + тік зарядів дорівнює:
. ()
Найбільш загальний вираз для дії системи, що складається з системи заряджених частинок і електромагнітного поля повинен також включати внесок, який описує дію вільних частинок:
. ()
Як завжди, динаміці системи відповідає мінімум її дії. Проте в типових ситуаціях ми розшукуємо мінімум дії при певних обмеженнях: 1) руху заряджених частинок відповідає мінімум дії при фіксованих значеннях електромагнітного поля, а 2) рівняння руху електромагнітного поля розшукуються при заданій поведінці токів зарядів.
б) Властивості дії системи
З фізичної точки зору дія системи, утвореної зарядженими частинками і електромагнітним полем, повинна задовольняти певному набору загальних вимог. Перш за все, дія повинна бути інваріантною відносно
1) довільних зсувів і просторових поворотів системи координат;
2) перетворень Лоренца, які можна розглядати як повороти системи координат у чотиривимірному просторі;
3) операції інверсії у чотиривимірному просторі;
4) неоднозначності у виборі електромагнітних потенціалів.
Крім того, для забезпечення принципу суперпозиції електромагнітного поля відповідна складова дії системи повинна бути квадратичною за електромагнітними потенціалами. Тільки в цьому випадку рівняння Лагранжа електромагнітного поля будуть лінійними і будуть узгоджуватись з принципом суперпозиції. Додатково вимагається, щоб взаємодія між електромагнітним полем і токами, які їх утворюють, була локальною.
Неважко бачити, що повна дія системи () повністю узгоджується з усіма цими вимогами. Більш того, можна впевнитись, що ніякі інші внески у дію системи є неможливими.
Дійсно, розглянемо можливу структуру густини функції Лагранжа електромагнітного поля. В якості вихідного будівельного матеріалу тут потрібно взяти потенціали електромагнітного поля. У згоді з принципом суперпозиції з них можна побудувати тільки одну квадратичну комбінацію, інваріантну відносно вимог 1) і 2). Це буде . Але вона не задовольняє вимозі 4), в чому можна переконатись переходячи від до . Відповідний внесок у дію системи трансформується наступним чином:
.
Скориставшись перетворенням Лежандра, другий доданок можна представити у вигляді:
.
Тут є чотиривимірною поверхнею, яка охоплює чотириоб’єм, зайнятий полем. Є цілком прийнятним вважати, що електромагнітне поле на такій поверхні дорівнює нулю. Вважаючи також, що електромагнітні потенціали задовольняють Лоренцевій калібровці (=0), робимо висновок, що =0. Таким чином, складова дії, яка описує взаємодію електромагнітного поля із зарядами та токами, є неінваріантною відносно перенормування потенціалів:
.
На відміну від електромагнітного потенціалу, використання антисиметрично-го тензору електромагнітного поля , який утворюється похідними від , дозволяє повністю задовольнити всім сформульованим вище умовам. З компонентів можна утворити дві підходящі комбінації: і . Проте, внесок другої комбінації в дію дорівнює нулю. Дійсно,
.
Поверхневий інтеграл дорівнює нулю, оскільки поверхню завжди можна вибрати за межами існування електромагнітного поля. Об’ємний інтеграл теж дорівнює нулю, оскільки комбінації типу зводяться до тотожностей Якобі (див. ()):. Таким чином, залишається тільки один внесок: .
Взаємодії зарядів і токів з електромагнітним полем відповідає тільки одна їх комбінація: , яка є лінійною за густинами токів і потенціалами поля, а також очевидно задовольняє всім іншим загально-фізичним вимогам, крім однієї. Її незалежність від вибору потенціалу потребує додаткового встановлення. Складова дії, яка відповідає потенціалу , завдяки перетворенню Лежандра набуває вигляду:
. ()
Як і раніше, поверхневий інтеграл відкидається, оскільки він дорівнює нулю. Завдяки закону збереження заряду , дорівнюватиме нулю також і об’ємний інтеграл. Таким чином, і незалежність від свавілля у визначенні чотирипотенціалу є доведеною.
Що стосується складової дії , яка відповідає вільному руху частинки, то її побудові ми керуємось дещо іншими міркуваннями. Найпростішою комбінацією кінематичних змінних частинки, інваріантною відносно вимог 1) і 2) є її інтервал руху:
.
З другого боку дія вільної частинки повинна відтворювати також існування інертності частинки. Для точкової, тобто безструктурної, частинки мірою її інертності може бути тільки один скалярний параметр – її маса . З цих двох засад випливає, що найпростішим кандидатом на дію вільної частинки є інтеграл:
,
до якого додано множник із міркувань розмірності. Із двох значень інтегралу в дусі принципу найменшої дії потрібно вибрати інтеграл зі знаком мінус:
.
При малих швидкостях руху дія вільної матеріальної точки апроксимується виразом:
,
в якому перший доданок ніяким чином не впливає на положення екстремумів дії і може бути відкинутим. Що стосується другого доданку, то він повністю співпадає з класичним виразом для дії.
г) Теореми Нетер і фундаментальні закони збереження
Цей розділ буде присвячено дослідженню наслідків інваріантності повної дії системи відносно 1) чотиривимірних зсувів системи; 2) чотиривимірних поворотів системи і 3) перенормувань електромагнітних потенціалів. Оскільки останній тим симетрії є найпростішим, з нього і почнемо.
Варіація повної дії (), яка відповідає перенормуванню потенціалу , згідно () дорівнює:
.
За рахунок вибору поверхні перший інтеграл завжди можна обернути до нуля. Тому
.
Вимагаючи обернення варіації дії до нуля, знаходимо:
,
тобто, з інваріантності дії відносно перенормування електромагнітних потенціалів випливає закон збереження заряду у чотиривимірній формі.
Розглянемо тепер варіацію дії, яка відповідає зсуву системи на нескінчено малий вектор . Будемо виходити із Лагранжіану загального вигляду: . Варіація дії складається із двох незалежних внесків: і , перший з яких відповідає зміні дії внаслідок зміни області інтегрування при фіксованій підінтегральній функції, а другий – зміні значень польової змінної внаслідок зсуву системи при фіксованій області інтегрування. Варіація дії першого типу дорівнює різниці об’ємних інтегралів від функції Лагранжа по новій і вихідній областях інтегрування. Очевидно, що ця різниця зводиться до поверхневого інтегралу по області, яка є різницею нової і вихідної областей інтегрування:
.
Для побудови варіації дії другого типу врахуємо, що польова змінна внаслідок зсуву системи змінюється на величину:
.
Так само будується і варіація від похідної:
.
Як наслідок,
.
Після виконання перетворення Лежандра варіація приймає вигляд:
Приймаючи до уваги рівняння Лагранжа, другий додаток в об’ємному інтегралі перетворюється наступним чином:
.
Як бачимо, об’ємні внески скорочуються і варіація дорівнює:
Сумарна варіація, таким чином, дорівнює:
Звідси випливає, що комбінація
повинна зберігатись з часом.