Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Для студентов / Лекции / (3)СТВ / (6)Чотиривимірна форма законів збереження е.-м. поля

.doc
Скачиваний:
10
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
368.64 Кб
Скачать

6. Чотиривимірна форма законів збереження електромагнітного поля

В розділах (І.15) і (І.16) було показано, що динаміка електромагнітного поля узгоджується із законами збереження енергії, імпульсу і моменту імпульсу. Було показано, що закони збереження енергії і імпульсу мають структуру:

, або (6.1)

, або (6.2)

Тут - густина енергії електромагнітного поля, - густина її потоку (інакше, вектор Пойнтінга-Умова), - густина імпульсу електромагнітного поля, - густина його потоку (інакше, максвелівський тензор напружень).

Надамо цим рівнянням чотиривимірний вигляд, а також розглянемо закон збереження моменту імпульсу.

а) Чотиривимірна форма закону збереження енергії

Диференціальна форма закону збереження енергії електромагнітного поля є повністю еквівалентною закону збереження заряду, розглянутому в підрозділі (4(а)). У згоді з отриманими в ньому результатами, рівняння (6.1) набуває вигляду:

, (6.3)

де - чотиривектор, який називають чотиривектором Пойнтінга-Умова. При переході до якоїсь іншої ІСВ структура рівняння (6.3) зберігається незмінною:

,

а компоненти перетворюються за стандартним законом:

. (6.4)

В тривимірних позначеннях, коли відносна швидкість ІСВ є направленою вздовж осей і , формула (6.4) породжує систему співвідношень:

. (6.5)

В загальному випадку, коли відносна швидкість є направленою довільним чином,

, (6.6)

де - одиничний вектор, який задає напрямок руху.

Проілюструємо застосування отриманих формул на прикладі плоскої хвилі. В цьому випадку , де - одиничний вектор, який задає напрямок розповсюдження хвилі. Згідно (6.6), ми отримуємо наступні закони перетворення густини енергії і вектора :

, (6.7)

. (6.8)

Якщо напрямки розповсюдження хвилі і відносного руху ІСВ співпадають (), то (6.7) і (6.8) значно спрощуються:

. (6.9)

б) Чотиривимірна форма закону збереження імпульсу

Чотиривимірну форму закону збереження енергії (6.3) можна також переписати у вигляді:

, (6.10)

де

(6.11)

має смисл чотириімпульсу електромагнітного поля. Підкреслимо, що структура (6.11) повністю співпадає зі структурою імпульсу матеріальної точки ().

Просторові компоненти імпульсу, крім того, задовольняють рівнянню

,

яке відрізняється від (6.2) тільки заміною . Якщо використати позначення:

,

його можна переписати наступним чином:

. (6.12)

Рівняння (6.10) і (6.12) природним чином об’єднуються в одне рівняння:

, (6.13)

якщо матрицю рангу доповнити четвертою строчкою :

. (6.14)

Цей об’єкт називають чотиритензором енергії-імпульсу. Як бачимо, він поєднує в собі густини енергії і компонентів імпульсу, а також компоненти максвелівського тензору напружень.

Компоненти чотиритензора енергії імпульсу в різних ІСВ пов’язані між собою стандартним чином:

. (6.15)

Приймаючи до уваги структуру , останній вираз можна представити у вигляді:

(6.16)

в) Закон перетворення компонентів максвелівського тензору напружень

Зокрема, компоненти максвелівського тензору напружень перетворюються за законом:

, . (6.17)

Якщо відносна швидкість двох ІСВ є направленою вздовж їхніх і осей, то і формула (6.17) помітно спрощується:

. (6.18)

Подальше спрощення (6.18) обумовлюється використанням співвідношення , завдяки якому

. (6.19)

Звідси випливають наступні формули:

,

, , (6.20)

, .

Закони перетворення компонентів густини імпульсу є цілком подібними до законів перетворення чотиривектора Пойнтінга-Умова (див. (6.4) і (6.5)), оскільки .

Застосуємо тепер формули (6.20) до електромагнітного поля, утвореного плоскою хвилею, яка розповсюджується вздовж вісі . Згідно (), тензор максвелівських напружень в ЛІСВ дорівнює:

.

В рухомій ІСВ тензор напружень має аналогічну структуру:

.

Враховуючи, що і , знаходимо:

г) Закон збереження моменту імпульсу

Почнемо з аналізу тривимірної форми закону збереження моменту імпульсу.

За означенням, густина моменту імпульсу визначається стандартним співвід-ношенням:

.

В подальших перетвореннях, одначе, більш зручними є компоненти дуального тензору моменту імпульсу:

.

Тут - повністю антисиметричний тензор третього рангу. Зміна з часом описується рівнянням:

.

Підставляючи сюди часові похідні від компонентів імпульсу, які задаються рівнянням (6.2), отримуємо:

.

Після перетворення Лежандра це рівняння набуває вигляду:

.

Воно буде приводити до стандартної форми закону збереження імпульсу

при умові, що різниця компонентів максвелівського тензору напружень в правій частині рівняння () буде дорівнювати нулю:

.

Таким чином, закон збереження моменту імпульсу електромагнітного поля є тісно пов’язаним з симетрією максвелівського тензору напружень. Рівняння Максвела приводять до симетричного тензору напружень, тому закон збереження моменту імпульсу виконується автоматично. Але проблема узгодженості вимоги симетрії тензору напружень з виконанням закону збереження моменту імпульсу має загально-фізичне значення.

В чотиривимірній формі рівняння () переписується наступним чином:

,

де

=().

7. Функція Лагранжа і дія електромагнітного поля

Лагранжев формалізм відіграє велику роль в класичній механіці. Він дозволяє надати рівнянням руху частинок максимально загальну форму, яка дозволяє, зокрема, максимально загальним чином встановлювати зв'язок між законами збереження і властивостями симетрії простору і часу, а також менш загальними, але не менш важливими властивостями симетрії системи. У зв’язку з цим, важливого значення набувають теореми Нетер, які дозволяють за заданими перетвореннями симетрії безпосередньо побудувати величини, які зберігаються з часом. В цьому розділі планується побудувати функцію Лагранжа електромагнітного поля, детально обговорити властивості її просторово-часової симетрії і побудувати величини, що зберігаються.

а) Густина функції Лагранжа електромагнітного поля

Рівняння Лагранжа механічної системи в загальному випадку мають вигляд:

, , ()

де - узагальнена координата, а - число незалежних ступенів свободи.

Якщо системою є одновимірне поле, то , а і система звичайних диференціальних рівнянь () переходить в одне рівняння з частковими похідними:

. ()

В більш загальному випадку, коли польова змінна є функцією всіх координат чотиривимірного комплексного простору СТВ, то рівняння () переписується наступним чином:

. ()

Порівняємо тепер це рівняння з одним із рівнянь Максвела у чотиривимірній формі:

В електромагнітному полі роль польової змінної належить чотирипотенціалу , або його компонентам , тобто

,

.

Порівнюючи польове рівняння Лагранжа

з рівнянням Максвела, знаходимо наступну форму функції Лагранжа, точніше густину функції Лагранжа електромагнітного поля:

.

Дійсно, відповідні похідні від функції Лагранжа дорівнюють:

, .

Тут ми скористались ланцюжком тотожних перетворень:

,

а також значенням функціональної похідної:

.

В тривимірних позначеннях густина функції Лагранжа і функція Лагранжа електромагнітного поля описуються формулами:

і

.

Дія системи електромагнітне поле + тік зарядів дорівнює:

. ()

Найбільш загальний вираз для дії системи, що складається з системи заряджених частинок і електромагнітного поля повинен також включати внесок, який описує дію вільних частинок:

. ()

Як завжди, динаміці системи відповідає мінімум її дії. Проте в типових ситуаціях ми розшукуємо мінімум дії при певних обмеженнях: 1) руху заряджених частинок відповідає мінімум дії при фіксованих значеннях електромагнітного поля, а 2) рівняння руху електромагнітного поля розшукуються при заданій поведінці токів зарядів.

б) Властивості дії системи

З фізичної точки зору дія системи, утвореної зарядженими частинками і електромагнітним полем, повинна задовольняти певному набору загальних вимог. Перш за все, дія повинна бути інваріантною відносно

1) довільних зсувів і просторових поворотів системи координат;

2) перетворень Лоренца, які можна розглядати як повороти системи координат у чотиривимірному просторі;

3) операції інверсії у чотиривимірному просторі;

4) неоднозначності у виборі електромагнітних потенціалів.

Крім того, для забезпечення принципу суперпозиції електромагнітного поля відповідна складова дії системи повинна бути квадратичною за електромагнітними потенціалами. Тільки в цьому випадку рівняння Лагранжа електромагнітного поля будуть лінійними і будуть узгоджуватись з принципом суперпозиції. Додатково вимагається, щоб взаємодія між електромагнітним полем і токами, які їх утворюють, була локальною.

Неважко бачити, що повна дія системи () повністю узгоджується з усіма цими вимогами. Більш того, можна впевнитись, що ніякі інші внески у дію системи є неможливими.

Дійсно, розглянемо можливу структуру густини функції Лагранжа електромагнітного поля. В якості вихідного будівельного матеріалу тут потрібно взяти потенціали електромагнітного поля. У згоді з принципом суперпозиції з них можна побудувати тільки одну квадратичну комбінацію, інваріантну відносно вимог 1) і 2). Це буде . Але вона не задовольняє вимозі 4), в чому можна переконатись переходячи від до . Відповідний внесок у дію системи трансформується наступним чином:

.

Скориставшись перетворенням Лежандра, другий доданок можна представити у вигляді:

.

Тут є чотиривимірною поверхнею, яка охоплює чотириоб’єм, зайнятий полем. Є цілком прийнятним вважати, що електромагнітне поле на такій поверхні дорівнює нулю. Вважаючи також, що електромагнітні потенціали задовольняють Лоренцевій калібровці (=0), робимо висновок, що =0. Таким чином, складова дії, яка описує взаємодію електромагнітного поля із зарядами та токами, є неінваріантною відносно перенормування потенціалів:

.

На відміну від електромагнітного потенціалу, використання антисиметрично-го тензору електромагнітного поля , який утворюється похідними від , дозволяє повністю задовольнити всім сформульованим вище умовам. З компонентів можна утворити дві підходящі комбінації: і . Проте, внесок другої комбінації в дію дорівнює нулю. Дійсно,

.

Поверхневий інтеграл дорівнює нулю, оскільки поверхню завжди можна вибрати за межами існування електромагнітного поля. Об’ємний інтеграл теж дорівнює нулю, оскільки комбінації типу зводяться до тотожностей Якобі (див. ()):. Таким чином, залишається тільки один внесок: .

Взаємодії зарядів і токів з електромагнітним полем відповідає тільки одна їх комбінація: , яка є лінійною за густинами токів і потенціалами поля, а також очевидно задовольняє всім іншим загально-фізичним вимогам, крім однієї. Її незалежність від вибору потенціалу потребує додаткового встановлення. Складова дії, яка відповідає потенціалу , завдяки перетворенню Лежандра набуває вигляду:

. ()

Як і раніше, поверхневий інтеграл відкидається, оскільки він дорівнює нулю. Завдяки закону збереження заряду , дорівнюватиме нулю також і об’ємний інтеграл. Таким чином, і незалежність від свавілля у визначенні чотирипотенціалу є доведеною.

Що стосується складової дії , яка відповідає вільному руху частинки, то її побудові ми керуємось дещо іншими міркуваннями. Найпростішою комбінацією кінематичних змінних частинки, інваріантною відносно вимог 1) і 2) є її інтервал руху:

.

З другого боку дія вільної частинки повинна відтворювати також існування інертності частинки. Для точкової, тобто безструктурної, частинки мірою її інертності може бути тільки один скалярний параметр – її маса . З цих двох засад випливає, що найпростішим кандидатом на дію вільної частинки є інтеграл:

,

до якого додано множник із міркувань розмірності. Із двох значень інтегралу в дусі принципу найменшої дії потрібно вибрати інтеграл зі знаком мінус:

.

При малих швидкостях руху дія вільної матеріальної точки апроксимується виразом:

,

в якому перший доданок ніяким чином не впливає на положення екстремумів дії і може бути відкинутим. Що стосується другого доданку, то він повністю співпадає з класичним виразом для дії.

г) Теореми Нетер і фундаментальні закони збереження

Цей розділ буде присвячено дослідженню наслідків інваріантності повної дії системи відносно 1) чотиривимірних зсувів системи; 2) чотиривимірних поворотів системи і 3) перенормувань електромагнітних потенціалів. Оскільки останній тим симетрії є найпростішим, з нього і почнемо.

Варіація повної дії (), яка відповідає перенормуванню потенціалу , згідно () дорівнює:

.

За рахунок вибору поверхні перший інтеграл завжди можна обернути до нуля. Тому

.

Вимагаючи обернення варіації дії до нуля, знаходимо:

,

тобто, з інваріантності дії відносно перенормування електромагнітних потенціалів випливає закон збереження заряду у чотиривимірній формі.

Розглянемо тепер варіацію дії, яка відповідає зсуву системи на нескінчено малий вектор . Будемо виходити із Лагранжіану загального вигляду: . Варіація дії складається із двох незалежних внесків: і , перший з яких відповідає зміні дії внаслідок зміни області інтегрування при фіксованій підінтегральній функції, а другий – зміні значень польової змінної внаслідок зсуву системи при фіксованій області інтегрування. Варіація дії першого типу дорівнює різниці об’ємних інтегралів від функції Лагранжа по новій і вихідній областях інтегрування. Очевидно, що ця різниця зводиться до поверхневого інтегралу по області, яка є різницею нової і вихідної областей інтегрування:

.

Для побудови варіації дії другого типу врахуємо, що польова змінна внаслідок зсуву системи змінюється на величину:

.

Так само будується і варіація від похідної:

.

Як наслідок,

.

Після виконання перетворення Лежандра варіація приймає вигляд:

Приймаючи до уваги рівняння Лагранжа, другий додаток в об’ємному інтегралі перетворюється наступним чином:

.

Як бачимо, об’ємні внески скорочуються і варіація дорівнює:

Сумарна варіація, таким чином, дорівнює:

Звідси випливає, що комбінація

повинна зберігатись з часом.