Для студентов / Лекции / (3)СТВ / Законы преобразований в СТО
.docЗаконы преобразований в СТО
-
Найти закон преобразования компонент радиус-вектора точки при переходе от одной ИСО к другой, относительная скорость которых направлена произвольным образом.
При движении двух ИСО вдоль оси -ов, закон преобразования компонент радиус вектора точки имеет вид:
где
и , - скорость относительного движения.
Из и следует, что компоненты радиус-вектора, перпендикулярные скорости относительного движения, при переходе от одной ИСО к другой, остаются неизменными.
Поэтому, если направлен произвольным образом относительно координатных осей обоих ИСО, радиус-вектор точки необходимо разложить на продольную и перпендикулярную скорости составляющие:
Продольная составляющая преобразуется подобно :
Поперечные составляющие остаются неизменными:
Комбинируя - можно убедиться, что компоненты радиус-вектора в общем случае преобразуются согласно , где
здесь в соответствии с определением
-
Найти закон преобразования
-
плотности энергии
-
плотности импульса
-
компонент МТН
плоской волны при переходе от одной ИСО к другой.
Рассмотрим решение задачи в общем случае, когда скорость относительного движения и направление распространения волны направлены произвольным образом относительно координатных осей.
Для решения поставленной задачи необходимо учесть, что все характеристики электромагнитного поля, оговоренные в условии задачи, являются составляющими 4-х мерного тензора энергии импульса
где левый верхний угол матрицы заполнен компонентами МТН, а - компоненты вектора плотности импульса и плотность энергии. Для плоской волны:
где - единичный вектор, задающий распространение плоской волны.
В общем случае компоненты тензора энергии-импульса в двух ИСО связаны преобразованием:
где матрица преобразования задается формулой . В соответствии с и плотность энергии преобразуется по закону:
Компоненты вектора плотности импульса в движущейся ИСО определяются аналогичным образом и
Подобный вид имеет и закон преобразования компонент МТН:
Важно отметить, что для нахождения законов преобразования плотностей энергии и вектора импульса можно воспользоваться и более простыми соображениями. Известно, что и компоненты образуют 4-х вектор
компоненты которого связаны преобразованием:
Из следует, что
и
При произвольных направлениях и законы преобразования всех указанных в условии задачи величин являются очень громоздкими. Поэтому в качестве иллюстрации рассмотрим случай, когда координатные оси лабораторной и движущейся СК имеют компоненты:
Компоненты плотности импульса согласно , и равны:
Используя и , для плотности энергии находим:
Для трехмерных компонент плотности импульса имеет место соотношение:
МТН в лабораторной СК имеет структуру:
В движущейся системе отсчета МТН имеет полностью аналогичную структуру:
Значение угла может быть найдено из . Поскольку , то
и вместе с приводит к результату:
Формулы , и позволяют получить все компоненты МТН в движущейся ИСО.
Те же значения компонентов могут быть получены и с помощью .
В рассматриваемом случае
Матрица преобразования задается . Можно убедится в частности, что
Таким же путем могут быть найдены и все другие компоненты МТН в движущейся ИСО.
-
Плоская волна падает на
-
покоящуюся
-
движущуюся
-
стенки. Считая, что при отражении фаза волны изменяется хаотически, определить значения и
-
Пусть СК выбрана таким образом, что стенка совпадает с плоскостью , а волновой вектор падающей волны имеет компоненты (см. рисунок)
Так как углы падения и отражения равны, а лучи лежат в одной плоскости, то
Вследствие хаотического изменения фазы волны при отражении, МТН электромагнитного поля будет равен сумме МТН падающей и отраженной волн:
где
и
Плотность энергии в падающей и отраженной волнах связан соотношением:
где - коэффициент отражения.
Давление электромагнитной волны на стену, в согласии с определением тензора натяжений, равно
Отсюда из - следует, что
-
В этом случае СК целесообразно выбрать так, чтобы ось была направлена вдоль скорости движения стенки, а волновой вектор падающей волны в лабораторной СК имел компоненты . При таком выборе направления осей положение стенки совпадает с плоскостью движущейся ИСО.
Положение стенки, движущейся со скоростью вдоль оси -ов в лабораторной СО, задается уравнением:
соответствующим плоскости, проходящей при через начало координат лабораторной СО. Единичный вектор , перпендикулярный движущейся стенке, задается формулой:
В движущейся ИСО положение стенки и нормали к ней описывается уравнениями:
Пусть и - МТН падающей электромагнитной волны в лабораторной и движущейся ИСО. Значения из компонент описывается формулами и . Давление падающей волны на неподвижную стенку, задаваемую уравнением с и движущуюся стенки , определяются уравнениями
Производя свертку по индексам и используя и , находим:
а также
где
Вклад отраженных волн в давление отличается от выписанных выражений только коэффициентом , поэтому окончательные выражения для давления в лабораторной и движущейся ИСО имеют вид:
При (стенка совпадает с плоскостью ) формула , как и должно быть, переходит в . Давление электромагнитной волны на движущуюся стенку, совпадающую с плоскостью , как видно из , равно
где и определяются формулами и .
Если (стенка совпадает с плоскостью ):