Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Для студентов / Лекции / (3)СТВ / Законы преобразований в СТО

.doc
Скачиваний:
13
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
155.65 Кб
Скачать

Законы преобразований в СТО

  1. Найти закон преобразования компонент радиус-вектора точки при переходе от одной ИСО к другой, относительная скорость которых направлена произвольным образом.

При движении двух ИСО вдоль оси -ов, закон преобразования компонент радиус вектора точки имеет вид:

где

и , - скорость относительного движения.

Из и следует, что компоненты радиус-вектора, перпендикулярные скорости относительного движения, при переходе от одной ИСО к другой, остаются неизменными.

Поэтому, если направлен произвольным образом относительно координатных осей обоих ИСО, радиус-вектор точки необходимо разложить на продольную и перпендикулярную скорости составляющие:

Продольная составляющая преобразуется подобно :

Поперечные составляющие остаются неизменными:

Комбинируя - можно убедиться, что компоненты радиус-вектора в общем случае преобразуются согласно , где

здесь в соответствии с определением

  1. Найти закон преобразования

  1. плотности энергии

  2. плотности импульса

  3. компонент МТН

плоской волны при переходе от одной ИСО к другой.

Рассмотрим решение задачи в общем случае, когда скорость относительного движения и направление распространения волны направлены произвольным образом относительно координатных осей.

Для решения поставленной задачи необходимо учесть, что все характеристики электромагнитного поля, оговоренные в условии задачи, являются составляющими 4-х мерного тензора энергии импульса

где левый верхний угол матрицы заполнен компонентами МТН, а - компоненты вектора плотности импульса и плотность энергии. Для плоской волны:

где - единичный вектор, задающий распространение плоской волны.

В общем случае компоненты тензора энергии-импульса в двух ИСО связаны преобразованием:

где матрица преобразования задается формулой . В соответствии с и плотность энергии преобразуется по закону:

Компоненты вектора плотности импульса в движущейся ИСО определяются аналогичным образом и

Подобный вид имеет и закон преобразования компонент МТН:

Важно отметить, что для нахождения законов преобразования плотностей энергии и вектора импульса можно воспользоваться и более простыми соображениями. Известно, что и компоненты образуют 4-х вектор

компоненты которого связаны преобразованием:

Из следует, что

и

При произвольных направлениях и законы преобразования всех указанных в условии задачи величин являются очень громоздкими. Поэтому в качестве иллюстрации рассмотрим случай, когда координатные оси лабораторной и движущейся СК имеют компоненты:

Компоненты плотности импульса согласно , и равны:

Используя и , для плотности энергии находим:

Для трехмерных компонент плотности импульса имеет место соотношение:

МТН в лабораторной СК имеет структуру:

В движущейся системе отсчета МТН имеет полностью аналогичную структуру:

Значение угла может быть найдено из . Поскольку , то

и вместе с приводит к результату:

Формулы , и позволяют получить все компоненты МТН в движущейся ИСО.

Те же значения компонентов могут быть получены и с помощью .

В рассматриваемом случае

Матрица преобразования задается . Можно убедится в частности, что

Таким же путем могут быть найдены и все другие компоненты МТН в движущейся ИСО.

  1. Плоская волна падает на

    1. покоящуюся

    2. движущуюся

стенки. Считая, что при отражении фаза волны изменяется хаотически, определить значения и

  1. Пусть СК выбрана таким образом, что стенка совпадает с плоскостью , а волновой вектор падающей волны имеет компоненты (см. рисунок)

Так как углы падения и отражения равны, а лучи лежат в одной плоскости, то

Вследствие хаотического изменения фазы волны при отражении, МТН электромагнитного поля будет равен сумме МТН падающей и отраженной волн:

где

и

Плотность энергии в падающей и отраженной волнах связан соотношением:

где - коэффициент отражения.

Давление электромагнитной волны на стену, в согласии с определением тензора натяжений, равно

Отсюда из - следует, что

  1. В этом случае СК целесообразно выбрать так, чтобы ось была направлена вдоль скорости движения стенки, а волновой вектор падающей волны в лабораторной СК имел компоненты . При таком выборе направления осей положение стенки совпадает с плоскостью движущейся ИСО.

Положение стенки, движущейся со скоростью вдоль оси -ов в лабораторной СО, задается уравнением:

соответствующим плоскости, проходящей при через начало координат лабораторной СО. Единичный вектор , перпендикулярный движущейся стенке, задается формулой:

В движущейся ИСО положение стенки и нормали к ней описывается уравнениями:

Пусть и - МТН падающей электромагнитной волны в лабораторной и движущейся ИСО. Значения из компонент описывается формулами и . Давление падающей волны на неподвижную стенку, задаваемую уравнением с и движущуюся стенки , определяются уравнениями

Производя свертку по индексам и используя и , находим:

а также

где

Вклад отраженных волн в давление отличается от выписанных выражений только коэффициентом , поэтому окончательные выражения для давления в лабораторной и движущейся ИСО имеют вид:

При (стенка совпадает с плоскостью ) формула , как и должно быть, переходит в . Давление электромагнитной волны на движущуюся стенку, совпадающую с плоскостью , как видно из , равно

где и определяются формулами и .

Если (стенка совпадает с плоскостью ):