Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Для студентов / Лекции / (2)ВЕД / (3)Основні експериментальні закони і принципи електродинаміки.doc
Скачиваний:
12
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
272.9 Кб
Скачать

3. Основні експериментальні закони

В основі електродинаміки, розвинутої Дж. Максвелом, лежать наступні експериментально встановлені закони:

1. Закон Кулона взаємодії двох точкових зарядів;

2. Закон Біо-Савара взаємодії двох елементів струму;

3. Закон Гауса про відсутність магнітних зарядів;

4. Закон електромагнітної індукції Фарадея.

Розглянемо тут ці закони детальніше і зробимо необхідні узагальнення.

а) Закони взаємодії точкових зарядів і елементів току

Закон Кулона встановлює силу, з якою один з точкових зарядів діє на другий. Так, сила , з якою заряд діє на заряд , який знаходиться на відстані , де , дорівнює

, (3.1)

де - одиничний вектор, направлений вздовж прямої, на якій лежать точки і , від точки до точки . Модуль сили взаємодії зменшується обернено пропорційно квадрату відстані між точковими зарядами. Сила, з якою другий заряд діє на перший відрізняється тільки знаком:

, (2)

що узгоджується із третім законом Ньютона.

Закон Біо-Савара визначає силу, з якою один з елементів току діє на другий. Згідно нього,

(3.3)

є сила, яка діє на елемент току з боку елементу току (). Як і для зарядів, модуль сили взаємодії двох елементів току спадає обернено пропорційно квадрату відстані між ними. Але тут ситуація суттєво ускладнюється тим, що сила взаємодії суттєво залежить від орієнтацій елементів току. Сила, з якою діє на визначається аналогічною формулою:

. (4)

Розкриваючи векторні добутки, отримуємо

,

.

Оскільки , то

,

тобто третій закон Ньютона для сил взаємодії між двома елементами току не виконується. Причина полягає в тому, що третій закон Ньютона формулюється для фізичних тіл, а елемент току є частиною відповідного замкнутого току. Можна впевнитись, що сили взаємодії між двома замкнутими токами знаходяться у згоді з третім законом Ньютона.

Насамкінець зробимо корисне зауваження відносно коефіцієнту пропорційності у формулі, яка походить з (3.3) після явного виділення в ній струмів у провідниках:

, . (3.5)

Коефіцієнт пропорційності часто називають електродинамічною константою взаємодії. Пізніше з’ясується, що величина визначає швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль. Саме тому замість ми використовуємо в формулах, які описують магнітну взаємодію, коефіцієнти або . Згодом, при обговоренні постулатів відносності ми зіткнемося з важким сприйняттям того факту, що швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль в різних інерціальних системах відліку приймає одне і те ж саме значення. Це різко суперечить класичному закону додавання швидкостей і нашій інтуїції. В той час, інваріантність електродинамічної константи взаємодії сприймається значно легше і цілком погоджується з нашим світосприйняттям. Більш детально це питання буде розглянуто у главі, присвяченій спеціальній теорії відносності.

Б)Напруженості і потенціали електричного поля точкового заряду і магнітного поля елемента току

Порівнюючи формули (3.1) і (3.3), з формулами (2.1) і (2.3), ми бачимо, що напруженості електричного точкового заряду і магнітного поля, утвореного елементом току, визначаються формулами:

, (3.6)

. (3.7)

Тут радіус-вектор вказує місцезнаходження точкового заряду або елемента току. Напруженість магнітного поля замкнутого току, як показує дослід, є сумою напруженостей його елементів:

. (3.8)

Оскільки,

,

то (3.6) зразу ж можна переписати у вигляді:

, (3.9)

де

(3.10)

за визначенням, є потенціалом електричного поля точкового заряду. Таким чином, електростатичне поле точкового заряду має потенціальний характер. Формула (3.7) також спрощується:

,

тобто, напруженість магнітного поля елементу току приймає вигляд:

, (3.11)

де

- (3.12)

прийнято називати векторним потенціалом магнітного поля елемента току. З (3.11) випливає, що магнітне поле елементу току є вихровим.

Якщо заряд є розмазаним по малому об’єму , то формула (3.10) перетворюється наступним чином:

. (3.13)

Аналогічно,

, (3.14)

де прийнято до уваги, що .

в) Закон Гауса про відсутність магнітних зарядів

Аналізуючи природу магнітного поля в різних експериментальних випадках, Гаус дійшов до висновку, що магнітні заряди в природі відсутні. Існування магнітних зарядів повинно було приводити до точок (полюсів), з яких виходили б силові лінії магнітного поля, чи входили до них. В цьому випадку була б повна аналогія з електростатичним полем. Проте, досвід показує, що ізольовані північний і південний магнітні полюси, або інакше, монополі в природі не існують.

Цьому твердженню можна надати еквівалентну форму: силові лінії магнітного поля є замкнутими, або приходять з нескінченості і знову прямують до неї. В цій ситуації потік магнітного поля через довільну замкнуту поверхню повинен дорівнювати нулю (тобто, всередину області , яка охоплюється поверхнею , входить стільки ж силових ліній, скільки і виходить з неї):

. (3.15)

За допомогою теореми Гауса-Остроградського рівняння (3.15) трансформується в

.

Внаслідок довільності з останнього рівняння випливає, що

. (3.16)

Диференціальне рівняння (3.16) можна було написати зразу ж, оскільки полюси, в околі яких спостерігається розбіжність магнітних силових ліній, в природі відсутні. Магнітне поле елементу току (3.11), для якого виконується тотожньо, повністю узгоджується з (3.16).

г) Закон електромагнітної індукції Фарадея

Фарадей помітив, що якщо потік магнітного поля через замкнуте електричне коло змінюється з часом, то в ньому виникає електро-рушійна сила (е.р.с.). Ретельні досліди показали, що

, (3.17)

де є магнітний потік через довільну поверхню, яка спирається на електричне коло. Коефіцієнт пропорційності є характерним для системи одиниць СГС.

За означенням, е.р.с. є робота по переміщенню одиничного позитивного точкового заряду вздовж замкнутого електричного кола, тобто

. (3.18)

Тут треба зазначити, що магнітні сили є перпендикулярними до швидкості зарядів і тому вони роботу не виконують. Саме через це вони і не входять до формули (3.18).

Магнітний потік через довільну поверхню , яка спирається на електричне коло , визначається формулою:

. (3.19)

Неважко зрозуміти, що потік замкнутих силових ліній магнітного поля через різні поверхні, які спираються на один і той же контур, буде однаковим. Тому в подальшому вибір поверхні не буде уточнюватись.

Дуже важливо, що величина е.р.с. в електричному колі на залежала від матеріалу провідників, які його утворювали. З цього Фарадей зробив висновок, що провідники потрібні тільки для того, щоб зафіксувати появу е.р.с. Інакше кажучи, е.р.с. буде виникати в довільному замкнутому контурі, якщо буде змінюватись магнітний потік через нього:

. (3.20)

4. Основні принципи електродинаміки

Закони просторово-часової еволюції електромагнітного поля, встановлені експериментально і наведені вище, потрібно доповнити принципами. Принципи електродинаміки – це якісні твердження, які встановлюють найбільш загальні властивості електромагнітного поля. На відміну від них, закони електродинаміки встановлюють кількісні співвідношення між певними спостережуваними величинами. Прикладом тут можуть служити всі закони, сформульовані вище.

Найбільш відомими принципами електродинаміки є наступні:

  1. принцип суперпозиції;

  2. принцип причинності;

  3. принцип інваріантності рівнянь електродинаміки відносно перетворень

просторової і часової інверсії;

  1. принцип локальності рівнянь електродинаміки;

  2. принцип відносності.

Всі основні принципи, як і закони фізики, встановлюються експериментальним шляхом.

Розглянемо коротко фізичний смисл кожного з цих принципів.

1) Принцип суперпозиції

Принцип суперпозиції стверджує, що напруженості електромагнітних полів, утворених кількома джерелами, дорівнюють сумі напруженостей полів, утворених кожним з джерел:

. (4.1)

Такі ж співвідношення мають місце між потенціалами електро-статичного і магніто-статичного полів:

. (4.2)

Застосовуючи принцип суперпозиції, потенціал електростатичного поля, утвореного розподіленими по об’єму зарядами з густиною (див.(3.13)), представляється у вигляді:

. (4.3)

Так само, векторний потенціал магнітного поля, утвореного розподіленими по об’єму токами з густиною (див.(3.14)), описується формулою:

. (4.4)

Треба додати, що формули (4.3) і (4.4) коректно описують поведінку потенціалів електричного і магнітного полів тільки у випадку, коли заряди і токи розподілені у нескінченому просторі. Границі приводять до появи додаткових внесків (див. далі).

Дуже важливим наслідком принципу суперпозиції є вимога лінійності рівнянь електродинаміки за напруженостями полів і , або потенціалів і . Тільки в цьому випадку рівнянням задовольнятимуть якісь два розв’язки,

а також їх сума. Підкреслимо, що ми ще не знаємо самих рівнянь електродинаміки, але вже вимагаємо від них бути лінійними. Це є дуже важливе обмеження на шляху їх побудови.