Випромінювання електромагнітних хвиль

Розглянемо особливості електромагнітного поля, яке утворюється системою зарядів, що рухаються в обмеженій частині простору зі швидкостями, значно меншими від швидкості розповсюдження електромагнітних хвиль. На першому кроці розглянемо поле, утворене одним рухомим зарядом. Тривіальне застосування отримані результати знайдуть в подальшому аналізі електромагнітного поля осцилятора Герца. Насамкінець, ми розглянемо поле випромінювання довільної системи зарядів.

7.1. Поле випромінювання одного рухомого заряду

Нехай точковий заряд рухається в обмеженій області так, що його радіус-вектор і швидкість задовольняють нерівностям:

(1)

Електричне і магнітне поля, утворені цим зарядом, описується потенціалами Лієнара-Віхерта:

, (2)

де , а є коренем рівняння:

. (3)

а) Електричне і магнітне поля заряду на відстанях

Давайте розглянемо потенціал і напруженість електричного поля на відстанях . З (2) випливає, що домінуючий внесок в визначається виразом:

, (4)

де . З урахуванням другої з нерівностей (1) формулу (4) можна спростити наступним чином:

, (5)

де - одиничний вектор, який задає напрямок розташування точки спостереження.

З такою ж точністю, тобто з урахуванням тільки лінійних за і внесків, векторний потенціал магнітного поля дорівнює

. (6)

Напруженості електричного і магнітного полів знаходимо за стандартними формулами

, . (7)

Можна впевнитись, що

,

,

.

Далі, врахуємо, що , де - дипольний момент заряду. Розташовуючи всі виписані внески за порядком їх малості, для і знаходимо:

, (8)

. (9)

Зазначимо, що третій додаток в (8) і другий в (9) виникають внаслідок залежності від відстані . Неважко бачити, що напруженість електричного поля можна переписати у вигляді:

. (10)

Найважливіший висновок, який безпосередньо випливає з формул (9) і (10), полягає в тому, що домінуючий внесок в напруженість електричного поля

, (11)

на великих відстанях від місцезнаходження заряду суттєво відрізняється від кулонівської складової за законом спадання від відстані. Ми бачимо, що , в той час як для кулонівського поля, тобто для поля нерухомого точкового заряду, модуль напруженості поля спадає за оберненим квадратичним законом:. Саме за таким законом спадають другий і третій додатки в (10). Причому, другий додаток в точності співпадає з напруженістю електричного поля точкового заряду, а третій додаток відповідає додатковому внеску, який виникає при русі заряду з постійною швидкістю.

Теж саме можна сказати і про домінуючий внесок у напруженість магнітного поля:

(12)

Закон спадання його модуля напруженості відрізняється від поведінки модуля напруженості магнітного поля, утвореного зарядом, який рухається з постійною швидкістю, цілком аналогічно тому, як це має місце для напруженості електричного поля.

З вигляду (11) і (12) випливає, що напруженості і електричного і магнітного полів є перпендикулярними до одиничного вектора :

і . (13)

Порівнюючи (11) і (12), ми бачимо, що

, (14)

або, з урахуванням (13),

, (15)

тобто домінуючі внески у напруженості електричного і магнітного полів пов’язані між собою у такий самий спосіб, як і для плоскої електромагнітної хвилі.

Всі ці аргументи дозволяють нам зробити висновок, що внески (11) і (12) описують поле випромінювання точкового заряду. Оскільки , а є пропорційним прискоренню заряду , то можна стверджувати, що випромінювання електромагнітного поля виникає внаслідок прискореного руху заряду.

Часова залежність напруженостей електричного і магнітного полів визначається комбінацією , яка має смисл фази. Вона приймає одні й ті ж значення на сукупності сферичних поверхонь радіуса , де - постійна відліку часу, яка є пов’язаною з особливостями руху заряду. Таким чином, поверхня рівних значень фази зсувається зі швидкістю розповсюдження електромагнітних хвиль , що є ще одним аргументом на користь виникнення поля випромінювання.

б) Інтенсивність випромінювання

Густина потоку енергії поля випромінювання визначається вектором Пойнтінга . У згоді з (12) і (14)

, . (16)

Потік енергії електромагнітного поля через елемент сферичної поверхні радіуса , який відповідає тілесному куту , очевидно, дорівнює:

. (17)

Величину прийнято називати диференціальною інтенсивністю випромінювання. Потік енергії в одиничний тілесний кут

(18)

називають інтенсивністю. Як бачимо, вона залишається постійною на різних відстанях від заряду і залежить тільки від кута між векторами прискорення () і .

Повна, або інтегральна інтенсивність випромінювання визначається інтегралом:

. Підставляючи сюди (17), знаходимо:

. (19)

Тут було враховано, що

. (20)

в) Спектральний склад інтенсивності випромінювання

В загальному випадку дипольний момент заряду змінюється з часом довільним чином. Скористаємось перетворенням Фур’є і представимо у вигляді суперпозиції гармонійних внесків:

, (21)

де амплітуда Фур’є-гармоніки дорівнює

. (22)

Ми будемо користуватись комплексним перетворенням Фур’є, оскільки в багатьох випадках це дає значні переваги у розрахунках. Оскільки є дійсною функцією часу, то з (22) випливає:

. (23)

Виходячи з (21), знаходимо:

. (24)

Всі фізичні величини, які вимірюються експериментально, є дійсними. Саме такими є дипольний момент системи і інтенсивність випромінювання. У згоді з цим і (24), дійсна складова внеску у другу похідну дипольного моменту на частоті дорівнює:

Середнє значення за періодом коливань визначається співвідношенням і дорівнює:

. (25)

Тут ми скористались тим, що

і , (26)

а також

.

Підставляючи (25) у формулу (18), ми знаходимо, що інтенсивність випромінювання на частоті , усереднена по періоду коливань, дорівнює:

. (27)

Cума всіх спектральних внесків (27), тобто

, (28)

визначає повну енергію, яка випромінюється зарядом за увесь час його руху. Дійсно, величина обчислюється більш прямим шляхом за допомогою формули (18):

.

Підставимо сюди значення з (24):

.

Тут доцільно змінити порядок інтегрування і врахувати, що

,

де = дельта-функція. Використовуючи її властивості, знаходимо:

. (29)

Оскільки згідно (23) , то формула (29) переходить у

, (30)

яка є тотожною (28). Тут ми врахували, що .

Зазначимо, що негативні частоти не мають фізичного смислу, в той час як у Фур’є-аналізі позитивні і негативні частоти є цілком рівноправними.

г) Поле заряду на малих відстанях від нього

Для того, щоб краще зрозуміти як формується поле випромінювання, розглянемо поле заряду на малих відстанях від нього: . В цьому випадку можна ігнорувати ефекти запізнення і в (2) можна покласти . В лінійному за наближенні, потенціали електромагнітного поля дорівнюють:

, (29)

де . Вводячи, як і вище, дипольний момент заряду , для похідних, які визначають і , знаходимо:

,

,

,

Домінуючі внески в напруженості електричного і магнітного полів мають кулонівське походження і дорівнюють:

(30)

Порівняємо між собою порядки модулів напруженості електричних полів, одне з яких існує поблизу заряду і має квазістатичне (кулонівське) походження, а друге – представляє поле випромінювання на далеких відстанях від нього. З (11) і (30) випливає, що

,

де є характерне значення прискорення заряду. Фактично, цим співвідношенням визначається характерна відстань:

, (31)

яка розділяє простір навколо заряду на зони з різними типами поведінки напруженості електричного і магнітного полів. Зазначимо, що таку ж саму оцінку можна отримати із порівняння модулів напруженості магнітного поля.

За означенням, області, в яких 1) , 2) і 2) називають квазістатичною, індукційною і зоною випромінювання відповідно. Таким чином, саме в індукційній зоні відбувається перехід від квазістатичного поля до поля випромінювання.

Зокрема, якщо заряд рухається по круговій орбіті навколо початку координат, в закріплено заряд протилежного знаку, то слід ототожнити з доцентровим прискоренням:

.

Тоді

.

Підставляючи сюди значення маси і заряду електрона, а також значення радіусу його орбіти в атомі водню: , ми отримуємо

,

що на чотири порядки перевищує розмір атома водню.