Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Для студентов / Лекции / (2)ВЕД / Эквипотенциальные поверхности вблизи особых точек

.doc
Скачиваний:
10
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
94.21 Кб
Скачать

Эквипотенциальные поверхности двух зарядов вблизи особых точек

  1. Заряды , , находятся в точках и . Описать их эквипотенциальные поверхности.

Решение. Нетрудно видеть, что точка является особой. Это единственная точка, в которой напряженность электрического поля , так что на произвольный заряд, помещенный в эту точку, действующая сила будет равна нулю .

Рассмотрим потенциал поля в ближайшей окрестности этой точки: . Эквипотенциальные поверхности описываются уравнениями:

(1)

Фактически, достаточно описать форму эквипотенциальных линий в плоскости . Они описываются уравнением:

. (2)

Эквипотенциальной поверхности (1) образуются вращением эквипотенциальных линий (2) вокруг оси х-ов.

При уравнение (2) упрощается и принимает вид:

. (3)

Значение потенциала в самой точке равно . Поэтому целесообразно представить: . Тогда уравнение (3) естественно представляется в виде:

, если ,

и (4)

, если .

Здесь: , . Уравнениями (4) описываются гиперболы, имеющие асимптоты:

. (5)

Области между асимптотами, расположенные справа и слева от оси ординат, соответствуют значениям , а расположенные выше и ниже оси абсцисс - .

  1. Заряды находятся в точках и . Описать их эквипотенциальные поверхности окрестности эквипотенциальной плоскости .

Решение. Эквипотенциальные линии в окрестности прямой описываются уравнением:

. (6)

Нетрудно видеть, что в полуплоскости постоянная должна быть отрицательна: , , т.е.

. (7)

При формула (7) может быть упрощена путем разложения в ряд по степеням :

.

Отсюда следует, что

. (6)

Область применимости формулы (6) определяется неравенствами:

. (7)

Как и должно быть, производная функции в точке обращается в бесконечность.

Эквипотенциальные линии в области () могут быть получены путем зеркального отражения линий, описываемых уравнением (6), относительно линии .