Для студентов / Лекции / (2)ВЕД / Эквипотенциальные поверхности вблизи особых точек
.docЭквипотенциальные поверхности двух зарядов вблизи особых точек
-
Заряды , , находятся в точках и . Описать их эквипотенциальные поверхности.
Решение. Нетрудно видеть, что точка является особой. Это единственная точка, в которой напряженность электрического поля , так что на произвольный заряд, помещенный в эту точку, действующая сила будет равна нулю .
Рассмотрим потенциал поля в ближайшей окрестности этой точки: . Эквипотенциальные поверхности описываются уравнениями:
(1)
Фактически, достаточно описать форму эквипотенциальных линий в плоскости . Они описываются уравнением:
. (2)
Эквипотенциальной поверхности (1) образуются вращением эквипотенциальных линий (2) вокруг оси х-ов.
При уравнение (2) упрощается и принимает вид:
. (3)
Значение потенциала в самой точке равно . Поэтому целесообразно представить: . Тогда уравнение (3) естественно представляется в виде:
, если ,
и (4)
, если .
Здесь: , . Уравнениями (4) описываются гиперболы, имеющие асимптоты:
. (5)
Области между асимптотами, расположенные справа и слева от оси ординат, соответствуют значениям , а расположенные выше и ниже оси абсцисс - .
-
Заряды находятся в точках и . Описать их эквипотенциальные поверхности окрестности эквипотенциальной плоскости .
Решение. Эквипотенциальные линии в окрестности прямой описываются уравнением:
. (6)
Нетрудно видеть, что в полуплоскости постоянная должна быть отрицательна: , , т.е.
. (7)
При формула (7) может быть упрощена путем разложения в ряд по степеням :
.
Отсюда следует, что
. (6)
Область применимости формулы (6) определяется неравенствами:
. (7)
Как и должно быть, производная функции в точке обращается в бесконечность.
Эквипотенциальные линии в области () могут быть получены путем зеркального отражения линий, описываемых уравнением (6), относительно линии .