Для студентов / Лекции / (2)ВЕД / (16)Закон збереження імпульсу електромагнітного поля
.doc15. Закон збереження імпульсу електромагнітного поля
Цей розділ буде присвячено
-
виведенню закону збереження імпульсу електромагнітного поля на основі рівнянь Максвела;
-
фізичній інтерпретації усіх величин, які входять до рівняння, що описує просторово-часову зміну імпульсу;
-
аналізу властивостей максвелівського тензору напружень електромагнітного поля і його застосуванням.
Для того, щоб впевнитись в існуванні закону збереження імпульсу і знайти явні вирази для густин імпульсу та потоку імпульсу, будемо виходити, як і в попередньому розділі, з рівнянь Максвела у тій самій формі:
(15.1)
Виконаємо тепер наступні дії: 1) помножимо з правого боку обидві частини рівняння (3) векторним чином на , а рівняння (4) – з лівого боку на і 2) просумуємо отримані векторні добутки. Як наслідок, ми отримаємо наступне рівняння:
(15.2)
де
, (15.3)
. (15.4)
Тут комбінація типу позначає прямий добуток векторів, тобто, це є тензор, якому відповідають компоненти , а - одиничний тензор, компоненти якого дорівнюють: . Крім того, враховується, що величина є вектором, компоненти якого дорівнюють: .
Дійсно, мають місце наступні співвідношення:
, (15.5)
. (15.6)
Щоб переконатись у справедливості (15.6), скористаємось наступним перетворенням:
.
Похідна від скалярного добутку , в якому слід вважати постійним вектором, очевидно, дорівнює половині від , в якому диференціюються обидва множники в дужках. Тобто:
.
Далі,
.
На останньому кроці ми скористались означенням скалярного добутку оператора набла і діади: (див. ()), а також першим з рівнянь Максвела.
а) Фізичний смисл рівняння (15.2)
Комбінація , яка знаходиться в правій частині рівняння (15.2), представляє собою силу, яка діє на всі заряджені частинки в одиниці об’єму. У згоді з другим законом Ньютона, часова похідна від імпульсу частинок, повинна дорівнювати інтегралу від в межах об’єму системи:
. (15.7)
Це дозволяє інтегральному аналогу рівняння (15.2) надати вигляд:
, (15.8)
де . Спрямуємо тепер радіус поверхні , яка охоплює об’єм , до нескінченості. З причин, які мають той самий характер, що і по відношенню до інтеграла в попередньому розділі, можна стверджувати, що
.
Як наслідок, ми приходимо до закону збереження:
, (15.9)
де . Звідси випливає, що величина має смисл сумарного імпульсу електромагнітного поля, а - густини імпульсу електромагнітного поля. До такого ж самого висновку приводить обчислення фізичних розмірностей і : []= і . Це дає нам підстави тлумачити (15.9) як закон збереження імпульсу електромагнітного поля.
У згоді з другим законом Ньютона, величина в рівнянні (15.8) повинна інтерпретуватись як сила , яка діє на поверхню , що обмежує об’єм . Компоненти цієї сили дорівнюють:
.
Звідси випливає, що
-
є та компонента сили, яка діє на елемент поверхні , просторова орієнтація якого задається ортом : ;
-
є сила, яка діє на одиничну площадку, просторова орієнтація якої задається ортом ;
-
є сила, яка діє на одиничну площадку, перпендикулярну до вісі, якій відповідає індекс (в цьому випадку ).
У згоді з цим, тензор прийнято називати тензором напружень електромагнітного поля, або максвелівським тензором напружень електромагнітного поля. Оскільки тензор напружень є симетричним: , то можна також сказати, що є а компонента сили, яка діє на одиничну площадку, перпендикулярну до ї вісі.
Оскільки , то величину
або , (15.10)
можна тлумачити як густину об’ємних сил, які діють на систему зарядів і токів з боку електромагнітного поля.
Якщо в певному об’ємі заряди і токи є відсутніми, з (15.2) випливає, що електромагнітне поле задовольняє рівнянню:
, (15.11)
яке є цілком подібним до тих, що описують закони збереження заряду та енергії (див. попередній розділ (15)). Інтегруючи (15.7) в межах об’єму , знаходимо:
. (15.12)
Звідси випливає, що тензор може також тлумачитись як густина потоку імпульсу через поверхню, яка обмежує об’єм . Діючи у такий самий спосіб, як і при опису сил, діючих на поверхню , можна стверджувати, що
-
є та компонента густини імпульсу, що протікає через одиничну площадку, перпендикулярну вісі . Завдяки його симетрії, можна також стверджувати, що є та компонента густини імпульсу, що протікає через одиничну площадку, перпендикулярну вісі .