Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
7
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
68.61 Кб
Скачать

Градиент

Пусть - скалярная функция переменных (), задающих положение точки в криволинейной ортогональной системе координат. При смещении из точки () в точку () функция получает приращение:

. (1)

Умножая приращения координат на коэффициенты Ламэ, выражение (1) можно переписать в виде:

, (2)

где и , Величины () являются компонентами вектора смещения:

, (3)

где - орты, удовлетворяющие условию ортогональности: . Благодаря этому (2) можно рассматривать как скалярное произведение вектора смещения и вектора :

. (4)

Приращение будет принимать максимальное значение, если вектор направлен вдоль вектора . В этом случае:

. (5)

Вектор, задающий направление наибольшего роста функции и равный скорости ее изменения вдоль этого направления, называется градиентом функции и обозначается как .

В соответствии с этим определением, в криволинейных ортогональных координатах () оказывается равным:

. (6)

Пример. Найти градиент функции , где - постоянный вектор.

Очевидно, что приращение этой функции равно:

. (7)

Из непосредственного сравнения (7) и (4) следует, что

. (8)

К такому же результату приводит и прямое вычисление по формуле (6).