Для студентов / (1)Векторы / 7Градиент
.docГрадиент
Пусть - скалярная функция переменных (), задающих положение точки в криволинейной ортогональной системе координат. При смещении из точки () в точку () функция получает приращение:
. (1)
Умножая приращения координат на коэффициенты Ламэ, выражение (1) можно переписать в виде:
, (2)
где и , Величины () являются компонентами вектора смещения:
, (3)
где - орты, удовлетворяющие условию ортогональности: . Благодаря этому (2) можно рассматривать как скалярное произведение вектора смещения и вектора :
. (4)
Приращение будет принимать максимальное значение, если вектор направлен вдоль вектора . В этом случае:
. (5)
Вектор, задающий направление наибольшего роста функции и равный скорости ее изменения вдоль этого направления, называется градиентом функции и обозначается как .
В соответствии с этим определением, в криволинейных ортогональных координатах () оказывается равным:
. (6)
Пример. Найти градиент функции , где - постоянный вектор.
Очевидно, что приращение этой функции равно:
. (7)
Из непосредственного сравнения (7) и (4) следует, что
. (8)
К такому же результату приводит и прямое вычисление по формуле (6).