Для студентов / Методички / (1)Методичка - ВЕД / ЧI_Р4
.docРОЗДІЛ 4. ЕЛЕКТРОСТАТИКА
4.1 Загальні положення
У загальному випадку рівняння Максвела у вакуумі мають вигляд:
(4.1)
У випадку, коли поля не залежать від часу система розпадається на дві підсистеми. Перша з них описує постійне електричне поле (електростатика):
(4.2)
.
Друга - постійне магнітне поле (магнітостатика):
(4.3)
Друге з рівнянь (4.2) можна тотожно задовільнити, якщо покласти:
. (4.4)
Тоді маємо одне рівняння, загальний розв’язок якого включає довільні константи. Для визначення цих констант треба використовувати граничні умови. Для нормальних та тангенціальних складових вектора :
;
(4.5)
,
де -поверхнева густина заряду.
Враховуючи (4.4), першому рівнянню системи (4.2) можна придати вигляд:
. (4.6)
Це є рівняння Пуасона. Його розв’язок включає довільні константи. Граничні умови:
(4.7)
,
де - похідна за напрямком, який перпендикулярний до границі.
4.2 Методи розв’язування задач электростатики
До методів точного розв’язування задач електростатики належать такі методи:
-
безпосереднє підсумування;
-
використання теореми Остроградського-Гауса;
-
інтегрування рівняння Пуассона;
-
інтегрування рівнянь Максвела;
Задача. Сфера радіуса рівномірно заряджена. Густина поверхневого заряду . Визначити потенціал і напруженість електричного поля, яке утворюється сферою. Одержати розв’язок усіма методами.
1) безпосереднє підсумування.
а) для просторового розподілу заряду:
(4.8)
де -просторова густина заряду.
б) для поверхневого розподілу заряду:
, (4.9)
де -поверхнева густина заряду.
в) для лінійних зарядів:
, (4.10)
де - лінійна густина зарядів.
г) для точкових зарядів:
. (4.11)
В даній задачі реалізується випадок (б).
Інтегрування виконується по всій поверхні сфери. Відповідно з симетрією задачі інтегрування слід виконувати в сферичних координатах. Справедливі співвідношення:
;
.
Безпосереднім інтегруванням одержуємо:
.
Враховуючи, що , остаточно одержуємо:
. (4.12)
Використовуючи (4.4), та співвідношення: , знаходимо напруженість електричного поля . Вона дорівнює:
. (4.13)
2) використання теореми Остроградського-Гауса:
, (4.14)
де - заряд, якій охоплюється поверхнєю : , .
В нашій задачі розподіл заряду має сферичну симетрію. Тому модуль вектора напруженості електричного поля в точці , може залежити тільки від модуля радіус-вектора :
.
Вектор напруженості може бути направленим тільки вздовж единого характерного напрямку - напрямку радіус-вектора :
.
Поверхню вибираємо у вигляді сфери радіуса (Рис.7). Тоді
.
Якщо , то та . Якщо , то , що приводить до .
3) інтегрування рівняння Пуассона: .
В задачі, яка розглядається є дві області:
-
, (у сфері),
-
, (поза сферою).
Границєю між ними є заряджена сфера і на ній повинні виконуватись граничні умови (4.7), які в даній задачі мають вигляд:
(4.15)
Об'ємна густина заряду в обох цих областях дорівнює нулеві. Тому потенціали і задовольняють рівнянням Лапласса:
, . (4.16)
Оскільки і є функцією тільки відстані, то
,
де -радіальна частина оператора Лапласа.
Рівнянням Лапласа (4.16) відповідають розв'язки:
;
.
Вони включають в себе чотири невідомі константи, для визнячення яких ми маємо дві граничні умови. Два додаткових співвідношення можуть бути вибрані у такій спосіб. Оскільки заряд розташований в обмеженій області простору, то при значення потенціала має бути прирівняним нулеві. Звідци випливає, що .
При , . Оскільки в точці відсутні точкові та лінійні заряди, потенціал у цій точці повинен бути обмеженим. Це можливо тільки при умові, що .
Константи і знаходяться з рівнянь (див.(4.15)):
; ,
і дорівнюють
;
.
Таким чином,
4) Інтегрування рівнянь Максвела.
Рівняння Максвелла (4.2) і граничні умови (4.5) приймають таку конкретну форму:
1) ;
2) ;
3) ;
;;
Завдяки сферичної симетрії у розподілі зарядів
.
Як наслідок, рівняння для ротора напруженості в областях 1 і 2 та граничні умови для тангенціальних складових задовольняються тотожно. Рівняння для дивергенції напруженості
в областях 1 і 2 мають розв’язки:
, .
При напруженість поля повинна бути обмеженою, тому і . Із граничної умови для нормальних складових знаходимо, що, , так що
.
Задача. Сфера радіусарівномірно заряджена з поверхневою густиною . Визначити енергію електричного поля і тиск кулонівських сил на поверхню сфери. Визначимо енергію двома способами.
а) Перший спосіб: , де визначається формулою (54).
Завдяки сферичній симетрії електричного поля інтегрування доцільно виконувати по сферичним слоям для яких . У такий спосіб одержуємо
. (4.17)
б) Другий спосіб: .
Потенціал поля, напруженість якого змінюється згідно (4.13), визначається виразом (4.12), і при приймає значення .
Тоді
.
Для визначення тиску на поверхню сфери розглянемо роботу кулонівських сил при збільшенні радіуса сфери:
,
де - тиск на поверхню сфери. Знак (-) враховує зменшення енергії сфери при зростанні її радіуса.
Звідки
.
Задачі для самостійного розв’язування.
-
Нескінченно протяжний циліндр радіуса заряджений: а) по об’єму;
б) по поверхні. Заряд, який приходиться на одиницю довжини циліндра дорівнює . Визначити: потенціал і напруженість поля та енергію електричного поля (на одиницю довжини циліндра).Розглянути граничний випадок (заряджена нитка).
2) В середині рівномірно зарядженої кулі радіуса вирізана сферична порожнина радіуса , . Сумарний початковий заряд кулі дорівнює . Визначити характеристики електричного поля (і ) та його енергію.
3) Площина заряджена з густиною
,
де ,, - сталі. Знайдіть потенціал цієї системи зарядів поблизу площини.
4) Об'єм між двома концентричними сферами з радіусами і заряджений з об’ємною густиною:
а) , б) , в) .
Знайти параметри поля (, ), повний заряд і енергію електростатичного поля.
5) На відстані від зарядженої нитки знаходиться рівномірно заряджена сфера радіуса . Густина заряду на сфері та заряд одиниці довжини нитки сталі. Знайти параметри поля (, ) і силу взаємодії між ниткою та сферою.
6) Яким повинен бути розподіл зарядів, щоб потенціал, який вони утворюють мав вигляд:
7) Заряд електрона розподілений в атомі водню, який знаходиться в нормальному стані, з густиною
,
де - боровський радіус атома,
-заряд електрона.
Знайти потенціал і напруженість поля в атомі, вважаючи, що протон знаходиться на початку координат.
8) Потенціал електричного поля дається формулою (потенціал Юкави). Знайти розподіл заряду .
4.3 Мультипольний розклад в електростатиці
Якщо відстань до точки, в якій потрібно визначити електричне поле значно перебільшує розмір системи, яка утворює поле, можна використовувати мультипольний розклад:
, (4.18)
де -повний заряд системи (скаляр);
-дипольний момент системи (вектор);
-квадрупольний момент системи (симетричний, безслідовий тензор другого рангу),
-декартові компоненти радіуса-вектора .
Для системи точкових зарядів:
; , (4.19)
де -декартові координати радіуса-вектора -го заряду.
Для просторового розподілу заряду:
; , (4.20)
де - декартові координати радіуса-вектора .
Задача. Знайти потенціал поля, яке утворюється трьома точковими зарядами: ; ; , розташованими у точках ; ; .
Повний заряд системи:
.
Компоненти вектора дипольного момента:
; ; .
Очевидно, що всі недіагональні компоненти тензора квадрупольного момента дорівнюють нулеві. Напроти:
;
.
Оскільки тензор безслідовий, то
Таким чином, маємо:
Задачі.
1) В попередній задачі визначити напруженість поля .
2) Довести, що при , не залежить від вибору початку координат.
3) Знайти потенціал поля, яке утворюється чотирма точковими зарядами, розташованими у вершинах квадрата. Значення зарядів:
; .
4) Використовуючи мультипольний розклад знайти потенціал поля, яке утворюється відрізком нескінчено тонкої нитки, одиниця довжини якої має заряд . Довжина відрізка .
5) Використовуючи мультипольний розклад знайти потенціал поля, яке утворюється нескінченно тонким кільцем, радіуса .
6) Сфера радіуса заряджена за законом:
а) ; б) .
Знайти мультипольні моменти такого розподілу зарядів.
Знайти характеристики поля (,,).
7) Знайти силу та обертальний момент , які діють на електричний диполь :
а) у зовнішньому полі з напруженостю ;
б) у полі точкового заряду.
8) Диполь закріплений на початку координат. Другий диполь знаходиться у точці і може вільно обертатися. Визначити:
а) енергію взаємодії диполів;
б) рівноважну орієнтацію.
9) Визначити квадрупольний момент еліпсоїда, який рівноважно заряджений з об’ємною густиною .