РОЗДІЛ 6. ВИПРОМІНЮВАННЯ ЕЛЕКТРО-МАГНІТНИХ ХВИЛЬ

6.1 Основні положення та означення

Диференціальна інтенсивність випромінювання системи визначається потоком енергії електромагнітного поля через елемент поверхні сфери з площиною за одиницю часу:

, , (6.1)

де - радіус-вектор, який з’єднує систему, що випромінює, з точкою спостереження. Потік енергії в одиничний тілесний кут за одиницю часу прийнято називати інтенсивністю випромінювання: .

У дипольному наближенні напруженості полів і у хвильовій зоні дорівнюють:

, , (6.2)

тобто вони задовольняють таким же співвідношенням, що і у випадку плоскої хвилі: або .

В цьому ж наближенні інтенсивність випромінювання дорівнює:

, (6.3)

Зазначимо, що інтенсивність випромінювання, так само як і диференціальна інтенсивність випромінювання , не залежать від відстані між точкою спостереження і центром системи зарядів (приймається, що останній співпадає з початком координат).

Диференціальний переріз розсіяння електромагнітного випромінювання визначається співвідношенням:

, (6.4)

де - диференціальна інтенсивність розсіяного випромінювання, - вектор Пойнтінга падаючого випромінювання.

Коли розсіяння відбувається без зміни частоти падаючого випромінювання, то відповідний переріз розсіяння називають когерентним.

6.2 Інтенсивність випромінювання систем зарядів

В цьому розділі ми розглянемо розрахунки інтенсивності випромінювання для кількох найпростіших задач, які зводяться до одного або кількох осциляторів Герца.

а) Фізична розмірність інтенсивності випромінювання

1) За фізичним смислом інтенсивність випромінювання є потоком енергії через певну площину за одиницю часу. Це дозволяє зразу ж написати:

.

Розмірність нормальної складової густини потоку енергії дорівнює добутку розмірності густини енергії на розмірність нормальної складової швидкості розповсюдження випромінюваня :

.

Розмірності густини енергії та швидкості визначаються стандартним чином:

і .

На другому кроці враховується, що розмірність енергії співпадає з розмірністю кінетичної енергії. Як наслідок, розмірності та інтенсивності дорівнюють:

. (6.5)

Бачимо, що розмірність інтенсивності співпадає з розмірністю потужності ().

2) Визначимо тепер розмірність інтенсивності випромінювання електромагнітного поля безпосередньо за формулою (6.1). У згоді з нею

.

Враховується, що орт є безрозмірним. Напруженості електричного і магнітного полів дорівнюють (див. ()):

.

З цього випливає, що розмірність інтенсивності дорівнює:

і повністю співпадає з розмірністю вище написаного виразу (6.5).

3) Переконаємось, що формула (6.3) призводить до тієї самої розмірності. Дійсно, згідно (6.3),

. (6.6)

Очевидно, що

.

Оскільки , то

.

Підставляючи в (6.6), знову приходимо до тієї ж розмірності інтенсивності.

4) Метод розмінностей можна використовувати, зокрема, для встановлення всіх розмірних множників у формулі. Так, ми знаємо, що випромінювання електромагнітних хвиль виникає тільки внаслідок прискореного руху зарядів. Воно є тим інтенсивнішим, чим більшою є величина заряду. Суттєво, що інтенсивність випромінювання не повинна залежати від знаку заряду і направлення прискорення. Тобто, інтенсивність випромінювання є пропорційною:

.

Для більш прийнятного врахування кутової залежності потрібно розглянути різні комбінації другої похідної за часом від дипольного моменту та одиничного вектора , який задає напрямок радіус-вектора точки спостереження. Але введення не змінює розмірності відповідної величини. Для того, щоб узгодити розмірність () з розмірністю інтенсивності (), потрібно звернутись ще до однієї характеристики випромінювання, а саме до швидкості його розповсюдження . Тобто ми сподіваємось, що розмірність випромінювання визначається розмірністю комбінації

з певним значенням показника . Значення природно знаходиться із порівняння розмінностей інтенсивності, визначених нами із загальних міркувань і за написаною формулою:

.

Бачимо, що розмірності лівої і правої частин рівняння співпадають, якщо .

Так само можна використовувати метод розмірностей і в усіх інших випадках.

б) Інтенсивність випромінювання осцилятора Герца

Задача 1. Знайти інтенсивність випромінювання осцилятора Герца, орієнтованого вздовж вісі .

Розв’язок:

Диполь Герца представляє собою систему двох зарядів однакової величини і протилежного знаку, відстань між якими змінюється за гармонічним законом: . Вважається, що центр мас цієї системи співпадає з початком координат. Її дипольний момент дорівнює: , де і , - орт, який задає напрямок вісі . Неважко бачити, що

.

Тепер звернемось до означення інтенсивності випромінювання. Згідно (6.3), вона дорівнює:

, (6.5)

де кут між ортами і , тобто полярний кут радіус-вектора , який задає положення точки спостереження.

Повна інтенсивність випромінювання осцилятора Герца, очевидно, визначається інтегруванням за повним тілесним кутом:

.

Кутова залежність інтенсивності визначається тільки . Відповідний інтеграл дорівнює:

.

Таким чином,

. (6.6)

Цей вираз можна усереднити також за періодом коливань осцилятора Герца. Оскільки і , то .

Остаточно,

. (6.7)

Формулі (6.5) можна переписати, максимально використовуючи векторні позначення. Так можна подати у вигляді: . Тоді

. (6.8)

Тут вже, фактично, втрачає властивість одного з ортів лабораторної системи координат, а позначає напрямок дипольного моменту осцилятора Герца. Інтенсивності випромінювання у такому вигляді є повністю інваріантною величиною і для її розрахунку можна використовувати будь-яку систему координат.

Із формул (6.2) випливає, що напруженості електричного і магнітного полів осцилятора Герца в довільній точці спостереження дорівнюють:

. (6.9)

Комбінації ортів і мають однакові модулі: . Скалярні добутки орта з цими комбінаціями дорівнюють нулю: і . Тобто, обидві комбінації утворюють вектори, які лежать у площині, дотичній до поверхні сфери. За напрямками, вектор є направленим вздовж паралелі і протилежним орту сферичної системи координат, тобто . Вектор лежить також у меридіональній площині, утвореній ортами і . Але напрямок є протилежним орту , внаслідок чого має місце співвідношення: . Таким чином, напрямки напруженостей електричного і магнітного полів випромінювання осцилятора Герца співпадають з напрямками ортів сферичної системи координат:

(6.10)

Рівняння (6.10), переписані у векторному вигляді:

(6.11)

також мають інваріантний характер, що значно полегшує їх використання.

в) Інтенсивність випромінювання довільно орієнтованого осцилятора Герца

Задача 2. Знайти інтенсивність випромінювання довільно орієнтованого осцилятора Герца.