Для студентов / Методички / (3)Методичка - ЕСС / (5)Провідність в СС
.docЗадача 1. Заряджена металічна сфера радіуса з’єднується з нейтральною металічною сферою радіуса провідником з опором . Знайти: 1) рівномірний розподіл зарядів між сферами, якщо початковий заряд однієї з них дорівнює ; 2) час встановлення рівноважного розподілу зарядів.
Розв’язок:
Характерною ознакою рівноважного розподілу зарядів і є однакові значення потенціалів на сферах. Якщо відстань між сферами задовольняє нерівності:
(1)
То взаємним впливом сфер можна знехтувати. Умова рівності потенціалів приймає вигляд:
(2)
Крім того, потрібно врахувати закон збереження заряду:
(3)
З (2) і (3) безпосередньо знаходимо:
, (4)
Якщо нерівність (1) послаблюється, треба врахувати взаємний вплив заряджених металічних сфер. Зробимо це в першому наближенні за відношенням і . В цьому випадку до потенціалу першої сфери треба додати складову , яка утворюється другою зарядженою сферою, і навпаки. Тому рівняння (2) переходить у
(5)
З цього і (3) випливає, що
(6)
Оскільки рівняння (5) виконується з точністю до і , то таку ж точність повинно мати і рівняння (6). Розкладаючи його в ряд за степенями і і зберігаючи тільки лінійні внески, знаходимо:
(7)
Для знаходження заряду достатньо в (7) виконати перестановку . У такий спосіб отримуємо:
(8)
Неважко впевнитись, що .
Для знаходження часу встановлення рівноважного розподілу заряду встановимо диференційне рівняння для зміни зарядів на сферах. Для простоти будемо нехтувати взаємним впливом металічних сфер. Тут вихідним є закон Ома для провідника, який з’єднує сфери:
, () (9)
Оскільки ток дорівнює , то рівняння (9) переходить у диференційне для :
(10)
Тут позначено: , , тобто співпадає з рівноважним зарядом на сфері радіуса . Параметр має розмірність часу і повинен інтерпретуватися, як характерний час встановлення рівноваги в системі. Неважко бачити, що рівняння (10) має наступній розв’язок:
(11)
Для знаходження константи скористаємося тим, що в початковий момент часу , тобто
Таким чином, заряди металічних сфер змінюються за законом:
, (12)
В початковий момент часу, як і повинно бути, заряди дорівнюють: , . При заряди і прямують до своїх рівноважних значень: , . Характерний час встановлення рівноваги в системі дорівнює , хоча залишкові явища, як випливає з (12), будуть спостерігатися до .
Задача 2. Опишіть процес розсмоктування заряду в провідному середовищі. Визначте час встановлення рівноважного розподілу зарядів.
Розв’язок:
В загальному випадку розсмоктування заряду описується повною системою рівнянь Максвела в провідному середовищі:
,
, (5.1)
,
.
Тут враховано, що 1) вектор електричної індукції , де - діелектрична проникненість провідного середовища, яка формується внаслідок поляризації електронних оболонок іонів; 2) вектор магнітної індукції і 3) густина току вільних зарядів задовольняє закону Ома: , де - коефіцієнт провідності.
Вектор напруженості електричного поля завжди представляється сумою потенціальної () і соленоїдальної () складових:
. (5.2)
Згідно означення, вони задовольняють рівнянням:
і . (5.3)
Вектор напруженості магнітного поля завжди залишається соленоїдальним.
Оскільки рівняння Максвела (5.1) є лінійними, вони легко розбиваються на сукупності рівнянь для потенціальних і соленоїдальних векторних полів:
: . (5.4)
і
: . (5.5)
Як бачимо, розсмоктування заряду пов’язано тільки з потенціальною складовою напруженості електричного поля. З другого з рівнянь (5.4) зразу ж випливає, що
, (5.6)
де час спадання дорівнює:
. (5.7)
Підставляючи (5.7) в (5.4), знаходимо і закон розсмоктування заряду:
, (5.8)
де - початковий розподіл заряду всередині провідника. За порядком величини для типових провідників. Тобто, заряд розсмоктується за час одного оберту електрона навколо ядра. Саме такий час і потрібен провіднику для екранізації зовнішнього електричного поля.
Але тут виникає і інша проблема. В рівняннях Максвела фігурує статична провідність речовини. Зрозуміло, що її не можна використовувати для опису швидкозмінного процесу розсмоктування заряду. Для врахування цієї обставини перейдемо в другому з рівнянь (5.4) до Фур’є представлення за часом. Неважко бачити, що задовольняє рівнянню:
. (5.9)
Тепер врахуємо частотну залежність (частотну дисперсію) провідності, вважаючи що діелектрична проникненість залишається незмінною:
. (5.10)
Комбінуючи (5.9) і (5.10), отримуємо наступне рівняння:
. (5.11)
Рівняння (5.11) має нетривіальні розв’язки () тільки за умови:
=0. (5.12)
Це є так зване дисперсійне рівняння. Воно має розв’язки:
. (5.13)
Якщо обидва розв’язки є уявними. В протилежному випадку, коли
і , (5.14)
обидва корені стають позитивними:
. (5.15)
Перехід від уявних коренів дисперсійного рівняння (5.12) до дійсних коренів приводить до докорінної зміни поведінки системи. Дійсно,