Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
8
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
234.5 Кб
Скачать

Задача 1. Заряджена металічна сфера радіуса з’єднується з нейтральною металічною сферою радіуса провідником з опором . Знайти: 1) рівномірний розподіл зарядів між сферами, якщо початковий заряд однієї з них дорівнює ; 2) час встановлення рівноважного розподілу зарядів.

Розв’язок:

Характерною ознакою рівноважного розподілу зарядів і є однакові значення потенціалів на сферах. Якщо відстань між сферами задовольняє нерівності:

(1)

То взаємним впливом сфер можна знехтувати. Умова рівності потенціалів приймає вигляд:

(2)

Крім того, потрібно врахувати закон збереження заряду:

(3)

З (2) і (3) безпосередньо знаходимо:

, (4)

Якщо нерівність (1) послаблюється, треба врахувати взаємний вплив заряджених металічних сфер. Зробимо це в першому наближенні за відношенням і . В цьому випадку до потенціалу першої сфери треба додати складову , яка утворюється другою зарядженою сферою, і навпаки. Тому рівняння (2) переходить у

(5)

З цього і (3) випливає, що

(6)

Оскільки рівняння (5) виконується з точністю до і , то таку ж точність повинно мати і рівняння (6). Розкладаючи його в ряд за степенями і і зберігаючи тільки лінійні внески, знаходимо:

(7)

Для знаходження заряду достатньо в (7) виконати перестановку . У такий спосіб отримуємо:

(8)

Неважко впевнитись, що .

Для знаходження часу встановлення рівноважного розподілу заряду встановимо диференційне рівняння для зміни зарядів на сферах. Для простоти будемо нехтувати взаємним впливом металічних сфер. Тут вихідним є закон Ома для провідника, який з’єднує сфери:

, () (9)

Оскільки ток дорівнює , то рівняння (9) переходить у диференційне для :

(10)

Тут позначено: , , тобто співпадає з рівноважним зарядом на сфері радіуса . Параметр має розмірність часу і повинен інтерпретуватися, як характерний час встановлення рівноваги в системі. Неважко бачити, що рівняння (10) має наступній розв’язок:

(11)

Для знаходження константи скористаємося тим, що в початковий момент часу , тобто

Таким чином, заряди металічних сфер змінюються за законом:

, (12)

В початковий момент часу, як і повинно бути, заряди дорівнюють: , . При заряди і прямують до своїх рівноважних значень: , . Характерний час встановлення рівноваги в системі дорівнює , хоча залишкові явища, як випливає з (12), будуть спостерігатися до .

Задача 2. Опишіть процес розсмоктування заряду в провідному середовищі. Визначте час встановлення рівноважного розподілу зарядів.

Розв’язок:

В загальному випадку розсмоктування заряду описується повною системою рівнянь Максвела в провідному середовищі:

,

, (5.1)

,

.

Тут враховано, що 1) вектор електричної індукції , де - діелектрична проникненість провідного середовища, яка формується внаслідок поляризації електронних оболонок іонів; 2) вектор магнітної індукції і 3) густина току вільних зарядів задовольняє закону Ома: , де - коефіцієнт провідності.

Вектор напруженості електричного поля завжди представляється сумою потенціальної () і соленоїдальної () складових:

. (5.2)

Згідно означення, вони задовольняють рівнянням:

і . (5.3)

Вектор напруженості магнітного поля завжди залишається соленоїдальним.

Оскільки рівняння Максвела (5.1) є лінійними, вони легко розбиваються на сукупності рівнянь для потенціальних і соленоїдальних векторних полів:

: . (5.4)

і

: . (5.5)

Як бачимо, розсмоктування заряду пов’язано тільки з потенціальною складовою напруженості електричного поля. З другого з рівнянь (5.4) зразу ж випливає, що

, (5.6)

де час спадання дорівнює:

. (5.7)

Підставляючи (5.7) в (5.4), знаходимо і закон розсмоктування заряду:

, (5.8)

де - початковий розподіл заряду всередині провідника. За порядком величини для типових провідників. Тобто, заряд розсмоктується за час одного оберту електрона навколо ядра. Саме такий час і потрібен провіднику для екранізації зовнішнього електричного поля.

Але тут виникає і інша проблема. В рівняннях Максвела фігурує статична провідність речовини. Зрозуміло, що її не можна використовувати для опису швидкозмінного процесу розсмоктування заряду. Для врахування цієї обставини перейдемо в другому з рівнянь (5.4) до Фур’є представлення за часом. Неважко бачити, що задовольняє рівнянню:

. (5.9)

Тепер врахуємо частотну залежність (частотну дисперсію) провідності, вважаючи що діелектрична проникненість залишається незмінною:

. (5.10)

Комбінуючи (5.9) і (5.10), отримуємо наступне рівняння:

. (5.11)

Рівняння (5.11) має нетривіальні розв’язки () тільки за умови:

=0. (5.12)

Це є так зване дисперсійне рівняння. Воно має розв’язки:

. (5.13)

Якщо обидва розв’язки є уявними. В протилежному випадку, коли

і , (5.14)

обидва корені стають позитивними:

. (5.15)

Перехід від уявних коренів дисперсійного рівняння (5.12) до дійсних коренів приводить до докорінної зміни поведінки системи. Дійсно,

Соседние файлы в папке (3)Методичка - ЕСС