Для студентов / Методички / (3)Методичка - ЕСС / (0)Основні рівняння в ЕСС
.docОсновні рівняння ЕСС
Електромагнітне поле в суцільному середовищі описується чотирма векторними полями:
-
- напруженістю електричного поля, яка, за своїм змістом, є усередненим значенням електричного мікрополя , утвореного всіма атомарними зарядами (електронами і ядрами): ;
-
- індукцією магнітного поля, яка, за своїм змістом, є усередненим значенням магнітного мікрополя , утвореного всіма атомарними токами: . Вектор відіграє роль напруженості магнітного поля в ЕСС;
-
- індукцією електричного поля, яка, за означенням, є лінійною комбінацією векторів напруженості електричного поля і вектора поляризації :
.
-
Вектор поляризації визначається як середнє значення електричного дипольного моменту всіх атомарних зарядів в одиниці об’єму :
.
Оскільки середовище в цілому вважається електронейтральним: ,
то значення не залежать від вибору початку системи координат;
-
- напруженістю магнітного поля, яка за означенням, є лінійною комбінацією векторів індукції магнітного поля і вектора намагніченості :
.
-
Вектор намагніченості визначається як середнє значення магнітного дипольного моменту всіх атомарних токів в одиниці об’єму :
,
де - вектор швидкості го атомарного заряду. Для електронейтрального середовища величина не залежать від вибору початку системи координат.
Векторні поля , , , задовольняють системі рівнянь Максвела в СС:
,
, (1)
,
,
де і - густини вільних зарядів і об’ємного току вільних зарядів відповідно.
В багатьох випадках приймається, що вектори , , , задовольняють системі матеріальних співвідношень:
, , (2)
де і - тензори діелектричної і магнітної проникненостей.
Якщо СС є ізотропним, тензори і стають пропорційними ізотропному тензору : і , внаслідок чого рівняння (2) спрощуються:
, . (3)
На поверхнях, які відокремлюють середовища з різними значеннями діелектричних і магнітних проникненостей, повинні виконуватись граничні умови:
,
, (4)
,
,
де і є густини поверхневих зарядів і поверхневих токів, індекси і
позначають нормальні () і дотичні () до поверхні складові , , , . Одиничні вектори і пов’язані між собою співвідношенням:
. (5)
Об’ємні і поверхневі густини зв’язаних зарядів і токів визначаються рівняннями:
. (6)
і
. (7)
Вектори поляризації і намагніченості пов’язані з напруженостями електричного і магнітного поля співвідношеннями:
, . (8)
Величини і називають електричною і магнітною сприйнятливостями середовища.
Середнє значення сили, яка діє на електричний заряд в СС дорівнює:
, (9)
де - швидкість заряду.
Густина вільної енергії електромагнітного поля в СС визначається співвідношенням:
. (10)
Задача 1: Нехай поверхня розділу двох середовищ є частиною сфери. Написати граничні умови для нормальних і дотичних складових векторів , , , .
Розв’язок:
В загальному випадку відповідні граничні умови задаються рівняннями (4).
Напрямок нормалі до поверхні сфери співпадає з напрямком орта . Тому перші два рівняння з (4) приймають вигляд:
. (11)
Вектор можна вибрати двома незалежними способами: і . В першому випадку орт буде співпадати з . Дійсно, . Тоді третє і четверте рівняння (4) переходять у
. (12)
В другому випадку орт повинен співпадати з . Внаслідок цього третє і четверте рівняння (4) переписуються наступним чином:
. (13)
Знак мінус з’являється завдяки тому, що . Рівняння (11), (12) і (13) утворюють повну сукупність граничних рівнянь для векторів , , , .
Дійсно, замість векторів і в (11) можна використовувати вектори і . У згоді з (3) рівняння (11) переходять у
. ()
Так само можна перетворювати і всі інші граничні співвідношення.
Граничні умови для густин поверхневих зв’язаних зарядів і поверхневих токів зв’язаних зарядів на сферичній поверхні розділу середовищ будуються аналогічним чином:
. (14)
Окремим випадком сферичної поверхні розділу двох середовищ можна вважати плоску поверхню. Вона утворюється зі сферичного сегменту, коли радіус сфери прямує до нескінченості. Будемо вважати, що між ортами ССК і ДСК існує наступна відповідність:
.
Тоді рівняння (11)-(13) перетворюються в сукупність граничних умов в ДСК:
. (15)
Граничні умови (14) переходять у
. (16)
Задача 2: Нехай поверхня розділу двох середовищ є частиною циліндричної поверхні. Написати граничні умови для нормальних і дотичних складових векторів , , , .
Розв’язок:
В загальних рисах підхід до побудови сукупності граничних умов залишається таким самим, як і у випадку ССК. Встановимо відповідність між векторами , і ортами ЦСК і :
.
Як результат, граничні умови для векторів , , , набувають вигляду:
. (17)
Граничні умови для зв’язаних зарядів будуються аналогічно (14) і (16):
. (18)
Задача: Шар є однорідно а) поляризованим і б) намагніченим. Знайти а) густину зв’язаних зарядів в його об’ємі і на поверхні; б) густину токів зв’язаних зарядів в його об’ємі і на поверхні.
Розв’язок:
а) Густина зв’язаних зарядів в об’ємі шару обчислюється за формулою (6) і оскільки вектор поляризації приймає постійне значення, то . Густина поверхневих зв’язаних зарядів обчислюється за першою з формул (14):
.
Згідно просторової орієнтації сферичних ортів, область (1) – це область зовні шара. Тому . З внутрішнього боку поверхні шара , де - полярний кут. Таким чином,
.
б) Оскільки вектор намагніченості шара є постійним, то густина токів зв’язаних зарядів в його об’ємі дорівнює нулю (див. (6), друга строчка). Для визначення поверхневої густини токів зв’язаних зарядів скористаємось формулою (14):
.
Нехай полярна вісь є направленою вздовж вектора намагніченості. Тоді його компонента дорівнюватиме нулю, так само як і (в зовнішній області шара). Далі, , де , оскільки . Таким чином
, 0,
або
. (19)