Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Для студентов / Методички / (3)Методичка - ЕСС / (0)Основні рівняння в ЕСС

.doc
Скачиваний:
8
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
255.49 Кб
Скачать

Основні рівняння ЕСС

Електромагнітне поле в суцільному середовищі описується чотирма векторними полями:

  • - напруженістю електричного поля, яка, за своїм змістом, є усередненим значенням електричного мікрополя , утвореного всіма атомарними зарядами (електронами і ядрами): ;

  • - індукцією магнітного поля, яка, за своїм змістом, є усередненим значенням магнітного мікрополя , утвореного всіма атомарними токами: . Вектор відіграє роль напруженості магнітного поля в ЕСС;

  • - індукцією електричного поля, яка, за означенням, є лінійною комбінацією векторів напруженості електричного поля і вектора поляризації :

.

  • Вектор поляризації визначається як середнє значення електричного дипольного моменту всіх атомарних зарядів в одиниці об’єму :

.

Оскільки середовище в цілому вважається електронейтральним: ,

то значення не залежать від вибору початку системи координат;

  • - напруженістю магнітного поля, яка за означенням, є лінійною комбінацією векторів індукції магнітного поля і вектора намагніченості :

.

  • Вектор намагніченості визначається як середнє значення магнітного дипольного моменту всіх атомарних токів в одиниці об’єму :

,

де - вектор швидкості го атомарного заряду. Для електронейтрального середовища величина не залежать від вибору початку системи координат.

Векторні поля , , , задовольняють системі рівнянь Максвела в СС:

,

, (1)

,

,

де і - густини вільних зарядів і об’ємного току вільних зарядів відповідно.

В багатьох випадках приймається, що вектори , , , задовольняють системі матеріальних співвідношень:

, , (2)

де і - тензори діелектричної і магнітної проникненостей.

Якщо СС є ізотропним, тензори і стають пропорційними ізотропному тензору : і , внаслідок чого рівняння (2) спрощуються:

, . (3)

На поверхнях, які відокремлюють середовища з різними значеннями діелектричних і магнітних проникненостей, повинні виконуватись граничні умови:

,

, (4)

,

,

де і є густини поверхневих зарядів і поверхневих токів, індекси і

позначають нормальні () і дотичні () до поверхні складові , , , . Одиничні вектори і пов’язані між собою співвідношенням:

. (5)

Об’ємні і поверхневі густини зв’язаних зарядів і токів визначаються рівняннями:

. (6)

і

. (7)

Вектори поляризації і намагніченості пов’язані з напруженостями електричного і магнітного поля співвідношеннями:

, . (8)

Величини і називають електричною і магнітною сприйнятливостями середовища.

Середнє значення сили, яка діє на електричний заряд в СС дорівнює:

, (9)

де - швидкість заряду.

Густина вільної енергії електромагнітного поля в СС визначається співвідношенням:

. (10)

Задача 1: Нехай поверхня розділу двох середовищ є частиною сфери. Написати граничні умови для нормальних і дотичних складових векторів , , , .

Розвязок:

В загальному випадку відповідні граничні умови задаються рівняннями (4).

Напрямок нормалі до поверхні сфери співпадає з напрямком орта . Тому перші два рівняння з (4) приймають вигляд:

. (11)

Вектор можна вибрати двома незалежними способами: і . В першому випадку орт буде співпадати з . Дійсно, . Тоді третє і четверте рівняння (4) переходять у

. (12)

В другому випадку орт повинен співпадати з . Внаслідок цього третє і четверте рівняння (4) переписуються наступним чином:

. (13)

Знак мінус з’являється завдяки тому, що . Рівняння (11), (12) і (13) утворюють повну сукупність граничних рівнянь для векторів , , , .

Дійсно, замість векторів і в (11) можна використовувати вектори і . У згоді з (3) рівняння (11) переходять у

. ()

Так само можна перетворювати і всі інші граничні співвідношення.

Граничні умови для густин поверхневих зв’язаних зарядів і поверхневих токів зв’язаних зарядів на сферичній поверхні розділу середовищ будуються аналогічним чином:

. (14)

Окремим випадком сферичної поверхні розділу двох середовищ можна вважати плоску поверхню. Вона утворюється зі сферичного сегменту, коли радіус сфери прямує до нескінченості. Будемо вважати, що між ортами ССК і ДСК існує наступна відповідність:

.

Тоді рівняння (11)-(13) перетворюються в сукупність граничних умов в ДСК:

. (15)

Граничні умови (14) переходять у

. (16)

Задача 2: Нехай поверхня розділу двох середовищ є частиною циліндричної поверхні. Написати граничні умови для нормальних і дотичних складових векторів , , , .

Розвязок:

В загальних рисах підхід до побудови сукупності граничних умов залишається таким самим, як і у випадку ССК. Встановимо відповідність між векторами , і ортами ЦСК і :

.

Як результат, граничні умови для векторів , , , набувають вигляду:

. (17)

Граничні умови для зв’язаних зарядів будуються аналогічно (14) і (16):

. (18)

Задача: Шар є однорідно а) поляризованим і б) намагніченим. Знайти а) густину зв’язаних зарядів в його об’ємі і на поверхні; б) густину токів зв’язаних зарядів в його об’ємі і на поверхні.

Розвязок:

а) Густина зв’язаних зарядів в об’ємі шару обчислюється за формулою (6) і оскільки вектор поляризації приймає постійне значення, то . Густина поверхневих зв’язаних зарядів обчислюється за першою з формул (14):

.

Згідно просторової орієнтації сферичних ортів, область (1) – це область зовні шара. Тому . З внутрішнього боку поверхні шара , де - полярний кут. Таким чином,

.

б) Оскільки вектор намагніченості шара є постійним, то густина токів зв’язаних зарядів в його об’ємі дорівнює нулю (див. (6), друга строчка). Для визначення поверхневої густини токів зв’язаних зарядів скористаємось формулою (14):

.

Нехай полярна вісь є направленою вздовж вектора намагніченості. Тоді його компонента дорівнюватиме нулю, так само як і (в зовнішній області шара). Далі, , де , оскільки . Таким чином

, 0,

або

. (19)