Задача 1: Знайти незвідну двохчастинкову поляризуємість сферично симетричних молекул.
Розв’язок:
За
означенням, двохчастинкова поляризуємість
пари молекул визначається як коефіцієнт
пропорційності між їх дипольним моментом
і напруженістю зовнішнього поля
:
,
(1)
де
і
позначають радіус-вектори частинок. В
загальному випадку напрямок дипольного
моменту пару не співпадає з напрямком
зовнішнього поля, тому поляризуємість
повинна бути тензором другого рангу.
Якщо
відстань між молекулами значно перевищує
їх розмір,
,
то взаємним впливом молекул можна
нехтувати. В цьому випадку дипольний
момент пари буде сумою дипольних моментів
окремих
молекул:
,
тобто
,
(2)
де
- ізотропний тензор другого рангу.
При наближенні молекул одна до одної слід враховувати, що дипольний момент кожної з них формується як зовнішнім полем, так і електричним полем другої молекули. Тобто, дипольні моменти частинок представляються у вигляді:
,
(3)
,
де
є напруженість поля, діючого на другу
частинку з боку першої частинки, і
-
навпаки. Оскільки поля
і
утворюються диполями
і
відповідно, то неважко бачити, що
,
(4)
де
.
Для знаходження
і
розглянемо два найпростіші випадки,
коли: 1) одиничний вектор
є паралельним вектору напруженості
зовнішнього поля
і 2)
є перпендикулярним вектору
.
В
першому випадку вектори
і
є однаково направленими з
і рівняння (3) і (4) можна переписати у
вигляді:
.
(5)
Звідси знаходимо, що
.
Дипольний момент пари, таким чином, за напрямком співпадає з напрямком зовнішнього поля і дорівнює:
.
(6)
Порівнюючи (6) з (1), для поляризуємості пари молекул, отримуємо
.
(7)
Величину
будемо
називати поздовжньою складовою
поляризуємості пари молекул, оскільки
вона відповідає розташуванню молекул
на лінії, паралельній напруженості
зовнішнього поля
.
Незвідна
складова
поздовжньої поляризуємості відрізняється
від (7) внеском
пари ізольованих молекул (див.(2)):
.
(8)
На
відміну від поляризуємості молекул,
яка задовольняє умові (2) при
,
незвідна складова поляризуємості при
прямує до нуля:
.
(9)
У другому випадку, коли частинки розташовані на лінії, перпендикулярній напруженості зовнішнього поля, дипольні моменти молекул задовольняють рівнянням:
(10)
Слід
зазначити, що і при такому розташуванні
частинок, дипольні моменти
і
залишаються паралельними
,
оскільки напруженості полів, створених
диполями в їх екваторіальній плоскості,
направлені паралельно їх дипольним
моментам. З міркувань симетрії і написаних
рівнянь випливає, що дипольні моменти
молекул є однаковими і дорівнюють:
.
Звідси випливає, що поперечна складова двочастинкової поляризуємості дорівнює:
.
(11)
Для
обчислення незвідної двохчастинкової
поляризуємості молекул
потрібно
в
(11) відокремити асимптотичне значення
(2) поляризує- мості молекул при
.
У такий спосіб знаходимо:
.
(12)
Узагальнимо
отримані результати на довільний
випадок, коли молекули розташовані на
лінії, яка не співпадає з напрямком
напруженості зовнішнього поля. Враховуючи
принцип суперпозиції, розкладемо вектор
на складові
і
,
які є паралельними і перпендикулярними
до вказаної лінії. Очевидно, що
(13)
В
поздовжньому (
)
і поперечному (
)
полях пара молекул набуває наступні
значення дипольних моментів:
.
Сумарний дипольний момент пари дорівнює:
,
(14)
де
- прямий добуток
одиничного вектора
.
Нагадуємо тут, що
,
.
Порівнюючи (14) і (1), для тензора поляризуємості пари молекул знаходимо:
.
(15)
Компоненти тензора поляризуємості дорівнюють:
,
(16)
або
.
(17)
Відокремлюючи в (17) незвідні складові поздовжньої і поперечної поляризуємостей, отримуємо:
.
(18)
В
багатьох випадках, зокрема при розрахунку
діелектричної проникненості системи,
потрібно знати значення поляризуємості
пари молекул, усереднене за орієнтаціями
вектора
.
Враховуючи, що
,
з (18) знаходимо:
.
(19)
Неважко впевнитись, що
.
(20)
Як
бачимо, знаменник в формулі (20) прямує
до нескінченості при
.
Оскільки поляризуємість частинки
пропорційна її об’єму, то область
застосування отриманих результатів
порушується тільки при максимальному
пакуванні молекул в системі.
Наведемо
також значення
в
наближенні середнього
поля, тобто коли
можна замінити на
,
де
є
середня відстань між молекулами. Оскільки
,
де
- густина системи, в середньопольовому
наближенні отримуємо:
.
(21)
Задача 2: Визначити діелектричну проникненість системи сферично-симетричних молекул з урахуванням незвідних двохчастинкових ефектів.