Задача 1. Межею розділу двох діелектриків з проникненостями та є нескінчена площина. Задано модуль вектору напруженості електричного поля поблизу поверхні розділу у першому середовищі та кут , який вектор напруженості утворює з нормаллю до площини розділу. Знайти:

1. модуль вектора напруженості електричного поля поблизу межі розділу двох середовищ, та кут між та нормаллю до площини розділу;

2. поверхневу густину поляризаційних зарядів на межі розділу двох діелектриків.

Розв’язок:

1. Для знаходження і скористаємось граничними умовами:

,

,

для векторів напруженості та індукції електричного поля. Врахуємо, що густина поверхневих вільних зарядів , за умовами задачі, дорівнює нулю.

Нехай, осі декартової системи координат обрані таким чином, що заданий вектор поблизу площини має компоненти:

.

Тоді з системи граничних умов (0.15) випливає, що

. (1.1)

З (1.1) зразу ж випливає, що , тобто вектор є розташованим в тій самій площині , що вектор . З другого і першого рівнянь (1.1) знаходимо:

,

або

.

Таким чином, шуканий кут дорівнює:

. (1.2)

Для визначення будемо виходити з того, що . З граничних умов (1.1) випливає, що і . Далі (див. рис.):

, . (1.3)

Остаточно, отримуємо наступний результат:

. (1.4)

2. Для знаходження густини зв’язаних (поляризаційних) зарядів скористаємось граничною умовою (0.16)

.

Оскільки вектор поляризації є пов’язаним з вектором напруженості електричного поля співвідношенням (0.8), то

.

Комбінуючи це рівняння з першим зі співвідношень (1.1), отримуємо

. (1.5)

Виражаючи з другого рівняння системи (1) та підставляючи у (5), отримаємо

, (1.6)

або

. (1.7)

Задача 2. Шар, об’єм якого дорівнює , є однорідно поляризованим. Його вектор поляризації дорівнює . Шар знаходиться у вакуумі. Знайти потенціал та напруженість електричного поля, утвореного шаром в довільній точці зовні і всередині нього.

Розв’язок:

Розглянемо розв’язок задачі, який максимально спирається на фізичні міркування.

1. Для забезпечення сталості вектора поляризації всередині шара, необхідно щоб 1) зсув позитивних зарядів відносно негативних був однаковим у кожній молекулі, або 2) незбурені дипольні моменти різних молекул однаково орієнтовані. В обох випадках однорідно поляризований шар можна розглядати як результат зсуву один від одного однорідно заряджених шарів, один з яких є зарядженим позитивно, а другий – негативно. Нехай центри таких шарів зсунуті на відстань один від одного. Дипольний момент такої системи дорівнює , де - заряд позитивно зарядженого шара. Вектор поляризації є усереднене значення дипольного моменту одиниці об’єму, тому , де є об’єм шару.

Потенціал електричного поля зовні шара є полем диполя:

, (1.8)

де є радіус-вектор точки спостереження відносно центру шара. Дійсно, потенціал дорівнює сумі потенціалів позитивно і негативно заряджених сфер:

Вираз для напруженості поля отримаємо з допомогою формули:

, (1.9)

Вибираючи сферичні координати таким чином, щоб вісь була направленою за вектором , формулу (1.9) можна представити у вигляді:

. (1.10)

Тут враховується, що і .

Якщо точка спостереження знаходиться всередині сфери, , то напруженість поля, утвореного позитивними зарядами дорівнює:

,

де - заряд шару радіуса , а . Таким чином,

. Негативно зарядженій сфері відповідає напруженість (див.Рис.):

.

Сумарна напруженість, таким чином, дорівнює:

. (1.11)

Їй відповідає наступне значення потенціалу:

. (1.12)

Задача 3. В однорідне зовнішнє поле напруженості внесено діелектричний шар радіуса . Діелектричні проникненості зовнішнього середовища і шару дорівнюють і відповідно. Знайти потенціал і напруженість результуючого електричного поля.

Зауваження. В цій задача поляризація речовини шару відбувається під впливом зовнішнього поля. В попередній задачі шар поляризується внаслідок причин неелектричного походження.