Для студентов / Методички / (3)Методичка - ЕСС / Оператор Лапласа / (4)Решение уравнения Лапласа в цилиндрических координатах

4. Розв’язок рівняння Лапласа в циліндричних координатах

Розглянемо характер розв’язків рівняння Лапласа

(1)

в тому випадку, коли функція не залежить від змінної . Нехай функція є власною функцією диференціального оператора

, (2)

який визначається кутовою складовою оператора Лапласа. Легко бачити, що . Функція повинна задовольняти природній граничній умові:

, (3)

що є можливим при

. (4)

Сукупність власних функцій при утворює ортогональний базис, яким доцільно скористатись для розкладу функції в нескінчений ряд:

(5)

Він є повністю еквівалентним розкладу в ряд за синусами і косинусами::

(6)

Якщо функція є дійсною, коефіцієнти ряду (5) повинні задовольняти умові:

або . (7)

Підставляючи (5) в (1), для коефіцієнтних функцій отримуємо наступне диференціальне рівняння:

(8)

Оскільки воно є лінійним рівнянням з сингулярними при коефіцієнтами, його розв’язки потрібно шукати у вигляді: . Неважко впевнитись, що показник приймає значення::

. (9)

Якщо , то (8) переходить у рівняння:

,

яке крім константи, має другий незалежний розв’язок .

Як наслідок, функція як розв’язок рівняння Лапласа в циліндричних координатах набуває наступного загального вигляду:

. (10)