Для студентов / Методички / (3)Методичка - ЕСС / Оператор Лапласа / (1)Визначення оператора Лапласа

1. Визначення оператора Лапласа

За визначенням, оператором Лапласа називають скалярний добуток операторів набла _:

(1)

Розглянемо по черзі явний вигляд оператора Лапласа в декартовій, циліндричній і сферичній системах координат. Наприкінці цього розділу побудуємо оператор Лапласа в довільній криволінійній системі координат.

1. В декартовій системі координат (ДСК) оператор набла має структуру: . Утворюючи згідно (1) скалярний добуток, знаходимо:

(2)

2. В циліндричній системі координат (ЦСК) оператор набла дорівнює . Тут орти і є функціями кута , що потрібно враховувати при побудові оператора Лапласа. З цієї причини потрібно більш детально розглянути комбінації і , які включають диференціювання по . Вирази, які стоять в дужках, потрібно диференціювати як добутки двох функцій. У такий спосіб знаходимо:

.

Враховуємо ортогональність ортів циліндричної системи координат , а також співвідношення

,

знаходимо:

. (3)

Так само, враховуючи, що , отримуємо

. (4)

Всі інші скалярні комбінації є більш простими і в сукупності приводять до результату:

.

Оскільки

,

то оператору Лапласа в ЦСК можна надати наступного остаточного вигляду:

. (5)

Складову називають радіальною складовою оператора Лапласа.

3. В сферичній системі координат (ССК) оператор набла має структуру

. Всі орти ССК залежать від полярного і азимутального кутів . Оператор Лапласа будується за схемою, цілком подібною до тієї, що була використана для ЦСК. Похідні від ортів за кутами і визначаються співвідношеннями:

(6)

З цих співвідношень і умови ортогональності , , отримуємо:

Сумуючі останні три строчки, остаточно знаходимо:

. (7)

Оператор Лапласа представляють також у вигляді:

(8)

де

(9)

називають радіальною складовою, а

(10)

кутовою складовою оператора Лапласа.

d) В довільній криволінійній системі координат для побудови оператора Лапласа скористаємось наступним співвідношенням:

, (11)

яке встановлює зв'язок між і операцією дивергенції від градієнта довільної скалярної функції . Дивергенція векторного поля , як відомо, дорівнює

. (12)

Тут є детермінантом від матриці , утвореної компонентами метричного тензора , , де базисні вектори. Контраваріантні компоненти вектора є пов’язаними з його коваріантними компонентами стандартним чином:

, (13)

де контраваріантні компоненти метричного тензора пов’язані з співвідношенням:

,

в якому є алгебраїчними доповненнями до елементів матриці . Поєднуючи (12) і (13), знаходимо наступний вигляд оператора Лапласа в криволінійній системі координат:

або

(14)

Можна впевнитись, що застосування (14) до циліндричної чи сферичної систем координат призводить до вже отриманих вище співвідношень (5) і (8).

Розглянемо тепер кілька прикладів застосування оператора Лапласа.

Задача 1. Векторне поле описується формулою . Знайти результат дії на нього оператора Лапласа, тобто .

Розв’язок:

Оскільки поле задається за допомогою змінних ЦСК, скористаємось формулою (5) для оператора Лапласа. У такий спосіб знаходимо:

.

Перший доданок перетворюється тривіальним чином, оскільки орт не залежить від :

.

Враховуючи, що

, а ,

знаходимо

. Таким чином,

. (15)

Задача 2. Векторне поле описується формулою . Знайти результат дії на нього оператора Лапласа, тобто .

Розв’язок:

Неважко бачити, що

.

Згідно (6), перша строчка,

тому

.

Ще раз диференціюючи за кутовими змінними і використовуючи значення похідних від ортів (див. (6)):

, ,

знаходимо:

. (16)