Задача 1. Знайти потенціали поля, утвореного сферою радиуса , яка заряджена за законом .

Розв’язок :

Нехай і є потенціали електричного поля зовні () і всередині () сфери. Вони задовольняють рівнянням Лапласа:

(1.1)

На поверхні сфери () потенціали повинні задовольнити граничним умовам:

(1.2)

Тут вже потенціали розглядаються як функціі сферичних координат в тій самій ССК, в якій є заданою густина заряду на поверхні сфери.

Розв’язки рівнянь Лапласа (1.1), які прямують до нуля при і мають регулярну (тобто залишаються обмеженими) поведінку при , представляються рядами:

(1.4)

Такий самий вигляд можна надати і поверхневому розподілу зарядів:

, (1.5)

де

(1.6)

і - елемент тілесного кута. Підставляючи (1.4) і (1.5) в граничні умови (1.2), знаходимо наступні рівняння для коефіцієнтів і :

(1.7)

З них випливає, що

(1.8)

Остаточно, для потенціалу електричного поля довільно зарядженої сфери знаходимо:

(1.9)

Якщо розподіл поверхневого заряду є вісесиметричним (відносно полярної осі), то формула (1.9) суттєво спрощується. Дійсно, в цьому випадку . Так само,

.

Підставляючи значення в (1.9), приходимо до виразу:

(1.10)

Альтернативна побудова (1.10):

Згідно закону Кулона, потенціал сфери, зарядженої за законом , представляється інтегралом:

, (1.11)

де - радіус-вектор, який задає положення елемента площини , . Тут доречно звернутись до твірної функції поліномів Лежандра:

(1.12)

Підставимо (1.12) в (1.11) і врахуємо, що

.

Неважко бачити, що формула (1.11) зразу ж переходить до (1.10).

Застосуємо цей результат для визначення потенціалу електричного поля в кількох важливих випадках.

а) Сфера з сумарним зарядом однорідно заряджена. В цьому випадку, , а

, (1.13)

що безпосередньо випливає з (1.5), умов ортонормованості і явного вигляду функції . Комбінуючи (1.9) і (1.13), знаходимо:

Такий самий результат випливає і з формули (1.10).

б) Сфера заряджена за законом . В цьому випадку скористаємось формулою (1.10), в яку підставимо , де

.

Неважко бачити, що

. (1.14)

Для інтерпретації отриманого результату, розрахуємо дипольний момент

зарядженої сфери:

Таким чином, формулу (1.14) можна переписати у вигляді:

(1.15)

Задача 2. Знайти функцію Гріна рівняння Пуассона електростатичного поля в необмеженому просторі в ССК.