Для студентов / Методички / (2)Методичка - СТО-УКР / (6)СТО(укр)
.docЗадача 17. Використовуючи попередні результати, знайти силу взаємодії між двома точковими зарядами в ЛСВ, якщо обоє зарядів рухаються вздовж вісі з однаковою швидкістю і є віддаленими один від одного на відстань в ССВ.
Розв’язок:
Взаємодія двох точкових зарядів, які рухаються відносно ЛСВ складається з 1) електричної і 2) магнітної взаємодій між ними.
Для розрахунку сили, з якої один заряд діє на другий скористаємось загальною формулою Лоренца:
, (146)
в якій перший доданок описує силу електричної взаємодії, а другий – магнітної.
Нехай и будуть напруженостями електричного і магнітного полів, утворених зарядом 1. Тоді сила, яка діє на заряд 2 з боку заряда 1 дорівнюватиме:
, (147)
де значення векторів и беруться в точці знаходження заряду 2. Підставимо в (147) їх значення, які задаються формулами (135) і (144). У такий спосіб отримуємо:
, (148)
де
-
радіус-вектор відносного розташування зарядів 2 і 1, а є кут між радіус-вектором і швидкістю . Спрощуючи подвійний векторний добуток в (148) за стандартною формулою векторної алгебри
, (149)
отримуємо
. (150)
Розглянемо тепер два найважливіших граничних випадки:
а) заряди розташовані у площині, перпендикулярній їх швидкості і
б) заряди розташовані на прямій, паралельній їх швидкості.
Рис. 7. Два окремих випадка взаємного розташування рухаючихся зарядів.
В першому з цих випадків вектор
є перпендикулярним швидкості і . Внаслідок цього формула (150) суттєво спрощується:
. (153)
Тут враховано, що .
В другому випадку , тому і . Підставляючи ці значення в формулу (150), отримуємо:
. (154)
Співвідношення відстаней між точками в ЛСВ і ССВ є таким самим, як і співвідношення між довжинами стержня (), зорієнтованого паралельно швидкості: . Тому остаточно (154) переходить в
. (155)
Різний характер взаємодії між зарядами 1 і 2 у випадках а) і б) має просте фізичне тлумачення. Заряд 1 породжує електричне і магнітне поля. В випадку а) напруженість магнітного поля в точці знаходження заряду 1 є перпендикулярною швидкості заряду 2. Неважко впевнитись, що магнітна складова сил взаємодії між зарядами є паралельною прямій, на якій розташовані заряди, і направленою протилежно силам електричної взаємодії. У випадку б) магнітна взаємодія між зарядами є відсутньою.
4-х вимірна форма законів збереження електромагнітного поля
Закон збереження енергії електромагнітного поля має структуру:
, (1)
де
- (2)
4-х вектор Пойнтінга-Умова, - тривимірний вектор Пойнтінга-Умова, - густина енергії.
Закони збереження енергії і імпульсу електромагнітного поля об’єднуються в чотири рівняння для компонентів тензора енергії-імпульсу:
, , (3)
де
. (4)
Тут - компоненти густини імпульсу, а , , є компонентами Максвелівського тензору натягів (МТН), який визначається наступним чином:
. (5)
Йому можна надати символічного вигляду:
, (5)
де – одиничний тензор.
Густини енергії і імпульсу утворюють 4-х вектор імпульсу:
. (6)
Задача 18. Найти МТН електромагнітного поля лінійно поляризованої плоскої хвилі.
Розв’язок:
Введемо допоміжну систему координат (СК) , вісь якої спрямована вздовж напрямку розповсюдження хвилі, а вісі та – вздовж взаємно перпендикулярних векторів напруженості електричного та магнітного полів відповідно (див. Рис 8).
Рис. 8. Взаємна орієнтація ЛСВ і допоміжної СК
У допоміжній СК вектори та мають компоненти:
, , . (157)
З цього і густини енергії в плоскій хвилі випливає, що
. (158)
де – густина енергії у плоскій хвилі.
У відповідності до (155), (157) та (158) компоненти МТН у допоміжній СК дорівнюють:
. (159)
Оскільки діада в допоміжній СК має такі ж самі компоненти:
рівняння (159) можна переписати також у вигляді:
(160)
або
. (161)
Фактично, формула (161) задає інваріантну форму МТН, тому і в довільній лабораторній СК можна написати:
. (162)
Зокрема, якщо одиничний вектор в ЛСВ задається компонентами , то в ЛСВ МТН і тензор єнергії імпульсу мають структуру:
(163)
і
. (164)
Задача 19. Знайти закони перетворення густин енергії, імпульсу та компонент МТН плоскої хвилі при переході від однієї ІСВ до іншої.
Розв’зок:
Для знаходження закону перетворення густини енергії поля плоскої хвилі скористаємось тим, що , і звернемось до закону перетворення компонентів 4-х вектора Пойнтінга-Умова:
.
Для плоскої хвилі , тому
.
Звідси зразу ж випливає шуканий закон перетворення густини енергії:
, (163)
де - кут між хвильовим вектором і віссю .
Закон перетворення компонентів густини імпульсу знаходиться цілком аналогічно. Виходячи зі стандартного співвідношення
, ,
отримуємо:
(164)
де враховано, що .
Для побудови закону перетворення компонентів МТН ми виходимо з того, що , при . Спираючись на це співвідношення і загальний закон перетворення компонентів тензора єнергії-імпульсу:
, ,
для компонентів МТН в системі відліку знаходимо:
, . (168)
Для подальших кроків врахуємо, що
, , , .
Підставляючи ці значення матричних елементів в (168), знаходимо:
Неважко впевнитись, що
, , .
Таким чином, компоненти МТН в ІСВ матимуть наступний вигляд:
. (169)
Зовні МТН має досить заплутану структуру. Зокрема, якщо в ІСВ ми візьмемо МТН плоскої хвилі
,
то
. (170)
Для інтерпретації різних внесків в (170) поглянемо на проблему з дещо іншого боку. З принципу еквівалентності різних ІСВ випливає, що загальний вигляд МТН в ІСВ повинен бути таким самим, як і в ЛСВ, тобто
.
Підставляючи сюди значення і як функції і , ми і отримуємо співвідношення (170).
Задача 20. Компоненти МТН плоскої хвилі в ЛСВ мають структуру:
. Знайти компоненти МТН в ІСВ .
Розв’зок:
З принципу еквівалентності різних ІСВ випливає, що шуканий МТН має структуру:
. (173)
Кут , який утворює одиничний вектор , направлений вздовж напрямку розповсюдження хвилі в ІСВ , перетворюється за законом (див.()):
.
Густина енергії хвилі пов’язана з її значенням в ЛСВ співвідношенням:
.
Підставляючи ці значення в (173), ми і знаходимо остаточний вигляд компонентів МТН в .
, ,
(171)
, .
виділимо в (168) внески 4-го стовпців і рядків:
(169)
і врахуємо, що
, ,
(170)
і ,
а також
, ,
(171)
, .
Підставимо (170) і (171) в (169) і зробимо послідовні елементарні сумування за індексами. Неважко впевнитись, що різні доданки дорівнюють:
,
,
.
Остаточно, компоненти МТН плоскої хвилі в ІСВ дорівнюють:
=. (172)