Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
9
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
328.19 Кб
Скачать

Розглянемо асимптотичний характер залежності частоти хвилі від при . Скористаємось відомою формулою (перевірте її справедливість):

З точністю до з () отримуємо

, (111)

що еквівалентно зміні частоти на величину:

. (112)

Тобто, зростання частоти при поперечному ефекті Доплера є ефектом другого порядку малості по .

Задача 14. Дзеркало рухається вздовж вісі зі швидкістю . Його площина перпендикулярна вісі , а напрямок власної нормалі є протилежним вісі . На дзеркало під кутом падає промінь світла з частотою (Рис. 6). Визначити напрямок та частоту відбитого проміня.

Рис. 6. Відбиття світла від дзеркала, рухаючогося вздовж вісі .

Розвязок:

У випадку, коли дзеркало є нерухомим, задача має дуже просте рішення:

і ,

тобто, кут відбиття дорівнює куту падіння, а частота хвилі залишається незмінною.

Коли дзеркало рухається, можна стверджувати, що подібні співвідношення між кутами і частотою мають місце тільки в ССВ дзеркала:

і . (112)

Скористаємось ними для знаходження законів відбиття світла в ЛСВ. Згідно () компоненти 4-х хвильових векторів в ССВ і ЛСВ пов’язані між собою перетвореннями:

. (113)

де і . Для падаючої і відбитої хвиль формула (113) переходить у співвідношення:

(114)

і

(115)

де і - відповідні хвильові вектори.

В ССВ рівняння (112) для кутів можна переписати у вигляді рівнянь для компонентів хвильових векторів:

, (116)

оскільки при відбитті хвилі змінюється знак тільки -компоненти хвильово-го вектора. Комбінуючи (116) з (114) і (115), знаходимо сукупність рівнянь, яким задовольняють частоти і компоненти хвильових векторів і в ЛСВ:

(117)

Скористаємось тепер стандартними співвідношеннями між компонентами хвильових векторів і частотами хвилі (, де - одиничний вектор, який задає напрямок руху хвилі), а також допоміжними кутами і (див. Рис.6):

(118)

Підставляючи їх у (117) і виконуючи тривіальні перетворення, знаходимо наступне рівняння між косинусами допоміжних кутів:

. (121)

Оскільки

, , (122)

зв'язок між кутами падіння і відбиття в ЛСВ приймає остаточний вигляд:

. (123)

Для нерухомого відносно ЛСВ дзеркала ( і ) формула (123) приводить до рівності кутів падіння і відбиття: , як це і повинно бути.

Простим комбінуванням формул (117) і (118), а також врахуванням (122), знаходиться і зв'язок між частотами падаючої і відбитої хвилі:

. (126)

У граничному випадку () частоти співпадають між собою: .

Задача 15. Заряд рухається вздовж вісі ЛСВ зі швидкістю . Знайти скалярний та векторний потенціали електромагнітного поля в ЛСВ.

Розвязок:

Для знаходження скалярного і векторного потенціалів електромагнітного поля заряду варто звернутись до стандартного підходу в рамках СТВ:

  1. знайти і в в ІСВ , де розв'язок задачі є простим або тривіальним, і

  2. скористатись законами перетворення скалярного і векторного потенціалів при переході від до ЛСВ .

В нашому конкретному випадку знаходження потенціалів є тривіальним в ССВ заряду , де

і . (127)

Перейдемо тепер від і до 4-х потенціалу електромагнітного поля і скористаємось законами перетворення його компонентів:

,

які приймають наступний явний вигляд:

(128)

Підставляючи в (128) компоненти (127) 4-х потенціалу , знаходимо:

. (129)

Ця відповідь не є цілком задовільною, оскільки залежить від координат точки в ССВ . Таким чином, потрібно перейти від до координат ЛСВ. Цей перехід визначається формулами Лоренца (І.8):

Таким чином

і

,

(131)

.

Отримані значення скалярного і векторного потенціалів заряду, який рухається прямолінійно з постійною швидкістю, повністю співпадають з потенціалами Лієнара-Віхерта, знайденими вперше без притягнення ідей спеціальної теорії відносності.

Узагальнення: Якщо заряд рухається по прямій, що паралельна вісі , але не співпадає з нею, формула (131) узагальнюється тривіальним чином:

,

(132)

,

де і параметри площин і , пересічення яких задає вказану пряму. Формула (132) є результатом двох простих зсувів (які не залежить від часу) систем координат вздовж осей і на відрізки і відповідно.

Задача 16. Використовуючи результати задачі 15, знайти компоненти векторів напруженості електричного та магнітного полів.

Розвязок:

Зв’язок векторів та з потенціалами та визначається загальними співвідношеннями:

(132)

Враховуючи, що вектор має тільки одну відмінну від нуля компоненту: , для складових вектора знаходимо:

(133)

Компоненти вектора напруженості можна представити у більш компактному вигляді, якщо ввести вектор з компонентами: , а квадрат його проекції на площину записати як:

.

Неважко зрозуміти, що вектор описує відносне розташування точки спостереження і заряду, а є кутом між і вектором швидкості , який саме і визначає просторову орієнтацію площини .

Завдяки цим нововведенням компоненти (133) вектора напруженості можна розглядати як компоненти вектора:

. (135)

Розглядаючи модуль напруженості поля як функцію кута , ми бачимо, що він приймає найменше значення:

або (137)

при . Воно є меншим від напруженості поля нерухомого заряду на відстані від нього в раз.

Найбільше значення напруженість поля має при :

або , (138)

тобто, в перпендикулярному напрямку поле посилюється у порівнянні з полем нерухомого заряду в раз.

Показовим є поведінка відношення при збільшенні швидкості:

. (139)

Напруженість магнітного поля розраховується за стандартними правилами:

(140)

і після обчислення похідних приймає вигляд:

. (141)

Неважко перевірити, що

, (142)

тому формулу (141) можна переписати наступним чином:

(143)

або

. (144)

Порівнюючи значення напруженості електричного і магнітного полів, які задаються формулами (135) і (144) відповідно, ми знаходимо важливе співвідношення між ними:

. (145)

Таким чином, вектори напруженості електричного і магнітного полів заряду, який рухається з постійною за величиною і напрямком швидкістю, є взаємно перпендикулярними, а , крім того, лежить у площині, перпендикулярній до вектора швидкості заряду.

Узагальнення: Якщо заряд рухається по прямій, що є паралельною вісі , але не співпадає з нею, структура формул (135) і (144) залишається незмінною. Відбувається тільки модифікація вектора :

(146 )

Соседние файлы в папке (2)Методичка - СТО-УКР