Для студентов / Методички / (2)Методичка - СТО-УКР / (5)СТО(укр)
.doc
Розглянемо асимптотичний характер залежності частоти хвилі від при . Скористаємось відомою формулою (перевірте її справедливість):
З точністю до з () отримуємо
, (111)
що еквівалентно зміні частоти на величину:
. (112)
Тобто, зростання частоти при поперечному ефекті Доплера є ефектом другого порядку малості по .
Задача 14. Дзеркало рухається вздовж вісі зі швидкістю . Його площина перпендикулярна вісі , а напрямок власної нормалі є протилежним вісі . На дзеркало під кутом падає промінь світла з частотою (Рис. 6). Визначити напрямок та частоту відбитого проміня.
Рис. 6. Відбиття світла від дзеркала, рухаючогося вздовж вісі .
Розв’язок:
У випадку, коли дзеркало є нерухомим, задача має дуже просте рішення:
і ,
тобто, кут відбиття дорівнює куту падіння, а частота хвилі залишається незмінною.
Коли дзеркало рухається, можна стверджувати, що подібні співвідношення між кутами і частотою мають місце тільки в ССВ дзеркала:
і . (112)
Скористаємось ними для знаходження законів відбиття світла в ЛСВ. Згідно () компоненти 4-х хвильових векторів в ССВ і ЛСВ пов’язані між собою перетвореннями:
. (113)
де і . Для падаючої і відбитої хвиль формула (113) переходить у співвідношення:
(114)
і
(115)
де і - відповідні хвильові вектори.
В ССВ рівняння (112) для кутів можна переписати у вигляді рівнянь для компонентів хвильових векторів:
, (116)
оскільки при відбитті хвилі змінюється знак тільки -компоненти хвильово-го вектора. Комбінуючи (116) з (114) і (115), знаходимо сукупність рівнянь, яким задовольняють частоти і компоненти хвильових векторів і в ЛСВ:
(117)
Скористаємось тепер стандартними співвідношеннями між компонентами хвильових векторів і частотами хвилі (, де - одиничний вектор, який задає напрямок руху хвилі), а також допоміжними кутами і (див. Рис.6):
(118)
Підставляючи їх у (117) і виконуючи тривіальні перетворення, знаходимо наступне рівняння між косинусами допоміжних кутів:
. (121)
Оскільки
, , (122)
зв'язок між кутами падіння і відбиття в ЛСВ приймає остаточний вигляд:
. (123)
Для нерухомого відносно ЛСВ дзеркала ( і ) формула (123) приводить до рівності кутів падіння і відбиття: , як це і повинно бути.
Простим комбінуванням формул (117) і (118), а також врахуванням (122), знаходиться і зв'язок між частотами падаючої і відбитої хвилі:
. (126)
У граничному випадку () частоти співпадають між собою: .
Задача 15. Заряд рухається вздовж вісі ЛСВ зі швидкістю . Знайти скалярний та векторний потенціали електромагнітного поля в ЛСВ.
Розв’язок:
Для знаходження скалярного і векторного потенціалів електромагнітного поля заряду варто звернутись до стандартного підходу в рамках СТВ:
-
знайти і в в ІСВ , де розв'язок задачі є простим або тривіальним, і
-
скористатись законами перетворення скалярного і векторного потенціалів при переході від до ЛСВ .
В нашому конкретному випадку знаходження потенціалів є тривіальним в ССВ заряду , де
і . (127)
Перейдемо тепер від і до 4-х потенціалу електромагнітного поля і скористаємось законами перетворення його компонентів:
,
які приймають наступний явний вигляд:
(128)
Підставляючи в (128) компоненти (127) 4-х потенціалу , знаходимо:
. (129)
Ця відповідь не є цілком задовільною, оскільки залежить від координат точки в ССВ . Таким чином, потрібно перейти від до координат ЛСВ. Цей перехід визначається формулами Лоренца (І.8):
Таким чином
і
,
(131)
.
Отримані значення скалярного і векторного потенціалів заряду, який рухається прямолінійно з постійною швидкістю, повністю співпадають з потенціалами Лієнара-Віхерта, знайденими вперше без притягнення ідей спеціальної теорії відносності.
Узагальнення: Якщо заряд рухається по прямій, що паралельна вісі , але не співпадає з нею, формула (131) узагальнюється тривіальним чином:
,
(132)
,
де і параметри площин і , пересічення яких задає вказану пряму. Формула (132) є результатом двох простих зсувів (які не залежить від часу) систем координат вздовж осей і на відрізки і відповідно.
Задача 16. Використовуючи результати задачі 15, знайти компоненти векторів напруженості електричного та магнітного полів.
Розв’язок:
Зв’язок векторів та з потенціалами та визначається загальними співвідношеннями:
(132)
Враховуючи, що вектор має тільки одну відмінну від нуля компоненту: , для складових вектора знаходимо:
(133)
Компоненти вектора напруженості можна представити у більш компактному вигляді, якщо ввести вектор з компонентами: , а квадрат його проекції на площину записати як:
.
Неважко зрозуміти, що вектор описує відносне розташування точки спостереження і заряду, а є кутом між і вектором швидкості , який саме і визначає просторову орієнтацію площини .
Завдяки цим нововведенням компоненти (133) вектора напруженості можна розглядати як компоненти вектора:
. (135)
Розглядаючи модуль напруженості поля як функцію кута , ми бачимо, що він приймає найменше значення:
або (137)
при . Воно є меншим від напруженості поля нерухомого заряду на відстані від нього в раз.
Найбільше значення напруженість поля має при :
або , (138)
тобто, в перпендикулярному напрямку поле посилюється у порівнянні з полем нерухомого заряду в раз.
Показовим є поведінка відношення при збільшенні швидкості:
. (139)
Напруженість магнітного поля розраховується за стандартними правилами:
(140)
і після обчислення похідних приймає вигляд:
. (141)
Неважко перевірити, що
, (142)
тому формулу (141) можна переписати наступним чином:
(143)
або
. (144)
Порівнюючи значення напруженості електричного і магнітного полів, які задаються формулами (135) і (144) відповідно, ми знаходимо важливе співвідношення між ними:
. (145)
Таким чином, вектори напруженості електричного і магнітного полів заряду, який рухається з постійною за величиною і напрямком швидкістю, є взаємно перпендикулярними, а , крім того, лежить у площині, перпендикулярній до вектора швидкості заряду.
Узагальнення: Якщо заряд рухається по прямій, що є паралельною вісі , але не співпадає з нею, структура формул (135) і (144) залишається незмінною. Відбувається тільки модифікація вектора :
(146 )