Для студентов / Методички / (2)Методичка - СТО-УКР / (2)СТО(укр)

Задача 3. Визначити закон перетворення компонентів прискорення точки при переході віл однієї ІСВ до іншої.

Розв’язок:

За означенням, компоненти прискорення точки визначаються похідними:

- в ІСВ і

- в ІСВ

Диференціали часу, як ми бачили у вступній частині цього параграфу, пов’язані співвідношеннями:

. (37)

Диференціали компонентів швидкостей знаходяться з формул (14) і дорівнюють:

, (38)

, (39)

. (40)

Поділивши (38)-(40) на (37) і виконуючи елементарні спрощення, знаходимо:

, (41)

, (42)

. (43)

В ССВ всі компоненти швидкості дорівнюють нулю, тому переходу від ССВ до ЛСВ відповідають суттєво більш прості формули:

, , . (44)

Задача 4. В ІСВ координати точки змінюються за законом: та . Знайти траекторію руху точки в ІСВ .

Розв’язок:

Наведений закон руху точки в ІСВ є повністю подібним до закону руху матеріальної точки в полі тяжіння Землі. Ми знаємо, що в цьому випадку траєкторією її руху є парабола. Оскільки характер руху точки не змінюється при переході від однієї ІСВ до другої ІСВ , ми повинні зробити висновок, що шуканою траєкторією руху також є парабола. Переходимо тепер до визначення параметрів цієї параболи.

Побудуємо закон руху точки в ІСВ , для чого значення та підставимо у перетворення Лоренца (5):

,

, (33)

.

Виключаючи з них , знаходимо:

,

, (34)

де коефіцієнти приймають значення:

,

, (35)

,

.

Вони мають смисл компонентів швидкості й прискорення точки в ІСВ (у цьому неважко переконатися звичайним шляхом). Зазначимо, що рівняння (34) є повністю подібними до вихідних рівнянь руху точки в системі відліку .

Траєкторія руху точки знаходиться з рівняннь (34) виключенням часу і приймає форму параболи, у згоді з нашими очікуваннями:

. (36)

де і .

Задача 5. В ЛСВ вздовж вісі двоє однакових стержнів летять назустріч один одному зі швидкостями . Довжина нерухомого стержня дорівнює . Знайдіть довжину одного зі стержнів в системі відліку, яка пов’язана з другим стержнем.

Розв’язок:

Шукана довжина стержня є пов’язаною з його власною довжиною

Рис. 4. Взаємний рух стержнів.

стандартним співвідношенням (див. (11)):

, (41)

де - швидкість одного стержня відносно другого.

Перейдемо в ССВ лівого зі стержнів. Тоді, ЛСВ буде рухатись вздовж вісі зі швидкістю (Рис.4). Швидкість другого стержня відносно ЛСВ має такі самі величину і напрямок руху: . Скориставшись тепер формулами (14), знаходимо наступні величину і знак відносної швидкості:

.

Підставляючи її значення в (41) знаходимо остаточну відповідь на поставлене в задачі питання:

.

Перетворення кутів. Аберація.

Задача 6. ІСВ рухається відносно ІСВ зі швидкістью . Точка рухається таким чином, що в системі її швидкість складає кут з віссю . Визначити відповідний кут у системі .

Розв’язок.

Для знаходження кута , який утворює швидкість точки з віссю в системі , будемо виходити з означення: . Оскільки, згідно (14), і , то виявляється пов’язаним з компонентами і в системі співвідношенням:

. (44)

Оскільки та , вираз (44) приймає наступний вигляд:

. (45)

Це і шуканий закон перетворення кутів.

Задача 7. ІСВ рухається відносно ІСВ із швидкістю . Світловой промінь у системі утворює кут з вісью . Визначити відповідний кут у системі та вивести вираз для змінення кута при переході від однієї ІСВ до іншої.

Розв’язок:

Ця задача, в принципі, не відрізняється від попередньої задачі, оскільки допустимі значення швидкості точки знаходяться в межах: . Внаслідок цього можна скористатись формулою (45), в якій треба покласти . Таким чином,

, , . (46)

При малих швидкостях відносного руху систем відліку може виконуватись умова , яка дозволяє значно спростити формулу (46). Неважко впевнитись, що в лінійному за наближенні (46) переходить в

. (47)

Якщо величину вважати заданою, то кут , який підлягає визначенню, буду відрізнятись від на величину порядку . В цій ситуації і доцільно розкласти в ряди за степенями :

, .

Підставимо їх у (47) і будемо нехтувати квадратичними внесками, які є пропорційні і , а також внесками більш високого порядку. У такий спосіб отримуємо рівняння:

,

з якого і випливає остаточний результат:

.