Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
9
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
430.08 Кб
Скачать

Задача 12. Довести, що квадрат 4-х вектора є інваріантним відносно перетворень Лоренца.

Розв’язок:

За означенням вектора, його компоненти при переході від однієї системи координат до другої перетворюються так само, як і компоненти 4-х радіус-вектора . Оскільки є інваріантним відносно перетворень Лоренца, можна зразу ж стверджувати, що інваріантним відносно останніх буде і квадрат довільного 4-х вектора .

Більш формально ця обставина може бути встановлена наступним чином. У відповідності до означення скалярного добутку

. (83)

Компоненти при перетвореннях Лоренца змінюються за законом (3.76):

, (84)

тому

. (85)

Оскільки матриця задовольняє умові ортогональності (див. (3.81)):

,

то з (84) зразу ж випливає, що

. (86)

Таким чином, інваріантність квадрату довільного 4-х вектора повністю доведена.

Разом з тим з (84) випливає, що компоненти в системах відліку та пов’язані співвідношеннями:

, , , .

Утворюючи суму їх квадратів, ми знову отримуємо результат (86):

.

Прикладом такого 4-х-вектора може служити різниця двох 4-х радіус-векторів, тому квадрат її модуля є скаляром:

.

Цілком аналогічно встановлюється, що інваріантним відносно перетворень Лоренца є і скалярний добуток двох довільних 4-х векторів .

Разом з тим, скалярний добуток двох довільних 3-х векторів не є інваріантною величиною.

Задача 13. Знайти закон перетворення скалярного добутку двох довільних 3-х векторів при переході від однієї ІСВ до другої.

Розв’язок:

Для розв’язання поставленої задачі вектори і потрібно розкласти на поздовжню (відносно швидкості ) і поперечну складові:

, .

Кожна з них перетворюється так само, як відповідні складові радіус-вектора точки , визначені в один і той же момент часу. Будемо вважати відомими компоненти векторів і в системі відліку . Згідно з законом перетворення довжин відрізків (див. задачу 1 в розділі І) можна написати:

,

і аналогічно для складових вектора . Утворюючи скалярний добуток, отримуємо:

(87)

Враховуючи, що , де - орт, направлений вздовж швидкості , можемо (87) подати в остаточному вигляді:

. (88)

Зокрема, якщо і , з (88) випливає, що модуль вектора перетворюється за законом:

. (89)

Модуль вектора має смисл довжини відрізка, який ставиться у відповідність вектору . Тому формула (89) повністю співпадає за своєю структурою з формулою (І.14), яка описує зв'язок між довжинами відрізка в різних ІСВ.

в) чотиривимірна швидкість (4-х швидкість). За означенням, сукупність чотирьох величин

(91)

називається чотиривимірною швидкістю точки або 4-х швидкістю. Оскільки інтервал є скаляром, то похідні так само, як і диференціали координат точки, утворюють компоненти нового 4-х вектора .

У згоді з (І.16) , тому можна зробити висновок, що 4-х швидкість є безрозмірною величиною.

Компоненти чотиривимірної і тривимірної швидкостей пов’язані між собою співвідношеннями:

,

,

(92)

,

,

що більш стислій формі записується у вигляді:

. (93)

Компоненти 4-х швидкості не є незалежними, а задовольняють рівнянню

. (94)

Це безпосередньо випливає з (93), а також є наслідком означення 4-х швидкості. Дійсно,

, (95)

оскільки .

Сукупність чотирьох величин

, (95)

утворює компоненти 4-х вектора, який називають 4-х прискоренням.

З (94) випливає, що 4-х вектори швидкості і прискорення є ортогональними:

. (96)

Завдання для самостійного розвязку:

1. Знайдіть закон перетворення тривимірної швидкості при переході від однієї ІСВ до другої, використовуючи закон перетворення компонент 4-х швидкості.

2. Знайдіть зв'язок між кутами, які утворює швидкість точки в різних ІСВ, які рухаються одна відносно другої вздовж осей і .

3. Знайдіть компоненти 4-х прискорення в ССВ, вважаючи що точка рухається вздовж вісі ЛСВ.

РОЗДІЛ 2. РЕЛЯТИВІСТСЬКА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА

Чотиривимірні хвильовий вектор та чотиривимірний потенціал

а) чотиривимірний хвильовий вектор. Фаза плоскої монохроматичної електромагнітної хвилі , де – хвильовий вектор, а - частота хвилі, є інваріантом відносно перетворень Лоренца:

. (97)

Таке твердження випливає з того, що число осциляцій , де , хвилі на певному відрізку в напрямку її розповсюдження в фіксований момент часу або в деякій фіксованій точці простору ЛСВ за якийсь проміжок часу буде таким самим і в іншій ІСВ.

Фаза хвилі (97) може бути представлена у вигляді згортки

(98)

компонентів 4-х радіус-вектора з набором чотирьох

величин .

Інваріантність згортки чотиривимірного вектора з сукупністю чотирьох величин гарантується тільки в тому випадку, коли ці величини утворюють чотиривимірний вектор. Звідси випливає, що є чотиривимірним вектором, який називають 4-х хвильовим вектором.

Перші три компоненти співпадають зі звичайним хвильовим вектором , а четверта компонента визначається виразом

(99)

Задача 14. В ССВ джерело випромінює електромагнітну хвилю з частотою . Знайти частоту та довжину цієї хвилі в ЛСВ, а також зв'язок між кутами між кутами розповсюдження хвилі в ССВ і ЛСВ.

Розв’язок:

Нехай в ССВ, де джерело світла є нерухомим, плоска монохроматична хвиля має вигляд:

,

де , де є одиничний вектор в напрямку розповсюдження хвилі. В ЛСВ хвиля буде мати аналогічну структуру:

Компоненти хвильового вектора в ЛСВ пов’язані з стандартними співвідношеннями:

.

Зокрема , або в розгорнутому вигляді

. (100)

Оскільки , і , то з формули (100) випливає:

. (102)

Для знаходження зв’язку між кутами, які утворюють хвильовий вектор з віссю і вектор з віссю скористаємось явним виглядом закону перетворення компонентів 4-х хвильових векторів для :

або . (103)

Комбінуючи (102) і (103), знаходимо:

або . (104)

Завдання. Переконайтесь, що формули (104) і (ІІ.46) є тотожними. Це важливо, оскільки вони отримані з різних міркувань.

Рис. 5. Взаємне розташування джерела (1) та приймача (2) електромагнітних хвиль.

Проаналізуємо окремі ситуації:

1) джерело, рухаючись вздовж вісі , наближується до точки спостереження (вона розташована на вісі перед джерелом). В цьому випадку хвилі в ССВ і ЛСВ розповсюджуються вздовж вісі : . Тоді з формули (102) випливає:

. (106)

Зв'язок між довжинами хвиль () є оберненим по відношенню до (106):

. (107)

2) джерело, рухаючись вздовж вісі , віддаляється від точки спостереження (вона розташована на вісі за джерелом). В цьому випадку в обох ІСВ хвилі розповсюджуються в зворотному по відношенню до вісі напрямку: і . Як наслідок, формула (102) приводить до результату:

, (108)

і

. (109)

3) джерело, рухаючись вздовж вісі , проходить через початок кординат, а спостерігач знаходиться на вісі , тобто над джерелом (це так званий поперечний ефект Доплера). В цьому випадку і формула (102) приймає вигляд

. (110)

а також

. (111)

Соседние файлы в папке (2)Методичка - СТО-УКР