Для студентов / Методички / (2)Методичка - СТО-УКР / (4)CTO(укр)
.docЗадача 12. Довести, що квадрат 4-х вектора є інваріантним відносно перетворень Лоренца.
Розв’язок:
За означенням вектора, його компоненти при переході від однієї системи координат до другої перетворюються так само, як і компоненти 4-х радіус-вектора . Оскільки є інваріантним відносно перетворень Лоренца, можна зразу ж стверджувати, що інваріантним відносно останніх буде і квадрат довільного 4-х вектора .
Більш формально ця обставина може бути встановлена наступним чином. У відповідності до означення скалярного добутку
. (83)
Компоненти при перетвореннях Лоренца змінюються за законом (3.76):
, (84)
тому
. (85)
Оскільки матриця задовольняє умові ортогональності (див. (3.81)):
,
то з (84) зразу ж випливає, що
. (86)
Таким чином, інваріантність квадрату довільного 4-х вектора повністю доведена.
Разом з тим з (84) випливає, що компоненти в системах відліку та пов’язані співвідношеннями:
, , , .
Утворюючи суму їх квадратів, ми знову отримуємо результат (86):
.
Прикладом такого 4-х-вектора може служити різниця двох 4-х радіус-векторів, тому квадрат її модуля є скаляром:
.
Цілком аналогічно встановлюється, що інваріантним відносно перетворень Лоренца є і скалярний добуток двох довільних 4-х векторів .
Разом з тим, скалярний добуток двох довільних 3-х векторів не є інваріантною величиною.
Задача 13. Знайти закон перетворення скалярного добутку двох довільних 3-х векторів при переході від однієї ІСВ до другої.
Розв’язок:
Для розв’язання поставленої задачі вектори і потрібно розкласти на поздовжню (відносно швидкості ) і поперечну складові:
, .
Кожна з них перетворюється так само, як відповідні складові радіус-вектора точки , визначені в один і той же момент часу. Будемо вважати відомими компоненти векторів і в системі відліку . Згідно з законом перетворення довжин відрізків (див. задачу 1 в розділі І) можна написати:
,
і аналогічно для складових вектора . Утворюючи скалярний добуток, отримуємо:
(87)
Враховуючи, що , де - орт, направлений вздовж швидкості , можемо (87) подати в остаточному вигляді:
. (88)
Зокрема, якщо і , з (88) випливає, що модуль вектора перетворюється за законом:
. (89)
Модуль вектора має смисл довжини відрізка, який ставиться у відповідність вектору . Тому формула (89) повністю співпадає за своєю структурою з формулою (І.14), яка описує зв'язок між довжинами відрізка в різних ІСВ.
в) чотиривимірна швидкість (4-х швидкість). За означенням, сукупність чотирьох величин
(91)
називається чотиривимірною швидкістю точки або 4-х швидкістю. Оскільки інтервал є скаляром, то похідні так само, як і диференціали координат точки, утворюють компоненти нового 4-х вектора .
У згоді з (І.16) , тому можна зробити висновок, що 4-х швидкість є безрозмірною величиною.
Компоненти чотиривимірної і тривимірної швидкостей пов’язані між собою співвідношеннями:
,
,
(92)
,
,
що більш стислій формі записується у вигляді:
. (93)
Компоненти 4-х швидкості не є незалежними, а задовольняють рівнянню
. (94)
Це безпосередньо випливає з (93), а також є наслідком означення 4-х швидкості. Дійсно,
, (95)
оскільки .
Сукупність чотирьох величин
, (95)
утворює компоненти 4-х вектора, який називають 4-х прискоренням.
З (94) випливає, що 4-х вектори швидкості і прискорення є ортогональними:
. (96)
Завдання для самостійного розв’язку:
1. Знайдіть закон перетворення тривимірної швидкості при переході від однієї ІСВ до другої, використовуючи закон перетворення компонент 4-х швидкості.
2. Знайдіть зв'язок між кутами, які утворює швидкість точки в різних ІСВ, які рухаються одна відносно другої вздовж осей і .
3. Знайдіть компоненти 4-х прискорення в ССВ, вважаючи що точка рухається вздовж вісі ЛСВ.
РОЗДІЛ 2. РЕЛЯТИВІСТСЬКА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА
Чотиривимірні хвильовий вектор та чотиривимірний потенціал
а) чотиривимірний хвильовий вектор. Фаза плоскої монохроматичної електромагнітної хвилі , де – хвильовий вектор, а - частота хвилі, є інваріантом відносно перетворень Лоренца:
. (97)
Таке твердження випливає з того, що число осциляцій , де , хвилі на певному відрізку в напрямку її розповсюдження в фіксований момент часу або в деякій фіксованій точці простору ЛСВ за якийсь проміжок часу буде таким самим і в іншій ІСВ.
Фаза хвилі (97) може бути представлена у вигляді згортки
(98)
компонентів 4-х радіус-вектора з набором чотирьох
величин .
Інваріантність згортки чотиривимірного вектора з сукупністю чотирьох величин гарантується тільки в тому випадку, коли ці величини утворюють чотиривимірний вектор. Звідси випливає, що є чотиривимірним вектором, який називають 4-х хвильовим вектором.
Перші три компоненти співпадають зі звичайним хвильовим вектором , а четверта компонента визначається виразом
(99)
Задача 14. В ССВ джерело випромінює електромагнітну хвилю з частотою . Знайти частоту та довжину цієї хвилі в ЛСВ, а також зв'язок між кутами між кутами розповсюдження хвилі в ССВ і ЛСВ.
Розв’язок:
Нехай в ССВ, де джерело світла є нерухомим, плоска монохроматична хвиля має вигляд:
,
де , де є одиничний вектор в напрямку розповсюдження хвилі. В ЛСВ хвиля буде мати аналогічну структуру:
Компоненти хвильового вектора в ЛСВ пов’язані з стандартними співвідношеннями:
.
Зокрема , або в розгорнутому вигляді
. (100)
Оскільки , і , то з формули (100) випливає:
. (102)
Для знаходження зв’язку між кутами, які утворюють хвильовий вектор з віссю і вектор з віссю скористаємось явним виглядом закону перетворення компонентів 4-х хвильових векторів для :
або . (103)
Комбінуючи (102) і (103), знаходимо:
або . (104)
Завдання. Переконайтесь, що формули (104) і (ІІ.46) є тотожними. Це важливо, оскільки вони отримані з різних міркувань.
Рис. 5. Взаємне розташування джерела (1) та приймача (2) електромагнітних хвиль.
Проаналізуємо окремі ситуації:
1) джерело, рухаючись вздовж вісі , наближується до точки спостереження (вона розташована на вісі перед джерелом). В цьому випадку хвилі в ССВ і ЛСВ розповсюджуються вздовж вісі : . Тоді з формули (102) випливає:
. (106)
Зв'язок між довжинами хвиль () є оберненим по відношенню до (106):
. (107)
2) джерело, рухаючись вздовж вісі , віддаляється від точки спостереження (вона розташована на вісі за джерелом). В цьому випадку в обох ІСВ хвилі розповсюджуються в зворотному по відношенню до вісі напрямку: і . Як наслідок, формула (102) приводить до результату:
, (108)
і
. (109)
3) джерело, рухаючись вздовж вісі , проходить через початок кординат, а спостерігач знаходиться на вісі , тобто над джерелом (це так званий поперечний ефект Доплера). В цьому випадку і формула (102) приймає вигляд
. (110)
а також
. (111)