ФИЗИКА. Методичка и задания для КР 2 сем

ФИЗИКА

Методические указания и контрольное задание для студентов-заочников

	Настоящая "Методическая разработка" предназначается для
СОДЕРЖАНИЕ	студентов заочной формы обучения и имеет целью оказать по-
	мощь в изучении курса общей физики по разделам: "Колебания и
1. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ.	волны в упругой среде", "Волновая оптика", "Основы квантовой
	физики".
1.1. Колебания…………………………………………………...4	Методическая разработка составлена в соответствии с типовой
	программой.
1.2. Сложение колебаний……………………………………...16	Предполагается, что студенты помимо данной разработки при
	изучении учебного материала пользуются литературой, рекомен-
1.3. Волны в упругой среде……………………………………20	дованной для студентов технических вузов:
2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА.	1. И.В. Савельев "Курс общей физики" т. 1, 2, 3. М. Наука, 1982 г.
	(и все последующие годы издания).
2.1. Интерференция света……………………………………...24	2. Курс Фейнмановских лекций. Вып. 1 – 9. I977 – I979 г.
	3. Т.А. Трофимова "Курс физики". М. Высшая школа, 1985 г.
2.2. Дифракция света…………………………………………...36	4. Р. Спроул "Современная физика".(Квантовая физика атомов,
	твердого тела и ядер). М, Наука, 1974 г.
2.3. Поляризация света…………………………………………41	5. Э.А. Нерсесов "Основные законы атомной и ядерной физики".
	М. Высшая школа, 1988 г.
3. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ.	6. А.Г. Чертов, А.А. Воробьев "Задачник по физике", М. Высшая
	школа, 1988 г.
3.1. Тепловое излучение………………………………………..45	7. В.С. Волькенштейн "Сборник задач по курсу физики". М.
	Наука, 1986 г.
3.2 Фотоэффект. Эффект Комптона…………………………...49	8. Б.М. Яворский, А.А. Детлаф "Справочник по физике". М.
	Наука, 1985 г.
4. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
	Приведенные примеры решения задач и задачи для самостоя-
4.1. Волновые свойства микрочастиц.	тельной работы помогут уяснить физический смысл законов и
Соотношения неопределенностей………………………..57	явлений, будут способствовать закреплению изучаемых разделов
	курса общей физики.
4.2. Строение атома…………………………………………….61	При решении задач необходимо выполнять следующие прави-
	ла:
ЗАДАЧИ……………………………………………………………63	1. Записать полностью условие задачи. Выписать все величи-
	ны, входящие в условие, столбиком и выразить их в единицах
Таблица заданий для контрольной работы № 2………………...79	Международной системы единиц (СИ).

2

2.Дать чертеж, поясняющий содержание задачи (в тех случаях, когда это возможно); выполнить его надо аккуратно, при помощи чертежных принадлежностей.

3.Указать основные законы и формулы, на которых базируется решение задачи, дать словесную формулировку этих законов, разъяснить употребляемые буквенные обозначения

Если при решении задач применяется формула, полученная для частного случая, не выражающая физического закона, то ее следует вывести. Пояснения должны быть краткими, но исчерпывающими.

4.Решить задачу в общем виде, т.е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи и взятых из таблиц.

Таблицы физических величин находятся в сборниках задач и справочниках.

5.Подставить в рабочую формулу размерности или сокращенные обозначения единиц измерения величин и убедиться в правильности размерности искомой величины (см. примеры решения задач).

6.Подставить в окончательную формулу, полученную в результате решения задачи в общем виде, числовые значения, выраженные в единицах системы СИ.

Несоблюдение этого правила приводит к неверному результа-

ту.

7.Произвести вычисление величин, подставленных в формулу, руководствуясь правилами приближенных вычислений.

3

1 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. 1.1. Колебания.

Этот раздел рекомендуется изучить по §§ 49-54, 58-60 учебного пособия И.В. Савельева "Курс общей физики", т. 1. изд. 1982 г.

и §§ 88-92 т. 2, изд. 1982 г.

Рассмотрение этой темы предусматривает решение задач на колебательные движения, возникающие как при механических формах движения, так и в электрических цепях (контурах), а поэтому удобно сразу же при изучении теоретического материала провести и установить аналогию между механическими и электрическими величинами, характеризующими колебательные процессы (см. табл.).

Механическая система.

Электрическая цепь.

m – масса.

L – индуктивность.

k – коэффициент квазиупругой

1

–

величина

обратная

силы.

C

электроемкости.

r – коэффициент трения.

R – активное сопротивление.

F – сила.

Е(t) – электродвижущая сила.

x(t) – смещение.

q(t) – заряд.

v

dx

x(t )

– скорость.

i

dq

q

(t ) – сила тока.

dt

dt

a

dv

d 2 x

x(t ) –ускорение.

di

d 2q

q(t ) –

скорость

из-

dt

d 2 t

dt

d 2 t

менения силы тока.

W

kx 2

–

потенциальная

W

q 2

– энергия

электри-

ПОТ

ЭЛ

2

2C

энергия.

ческого поля заряженного

конденсатора.

W

mv 2

–

кинетическая

W

Li 2

– энергия магнит-

КИН

МАГ

2

2

энергия.

ного

поля

контура

с

током.

4

Динамическое уравнение гармонических колебаний:

Второй закон Ньютона	Правило Кирхгофа
	R·i L	di	.
ma kx .
		dt
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

x 2 x 0 .

q 2q 0 .

0

0

Собственная частота системы:

k

.

0

1

.

0

LC

m

Уравнение гармонических колебаний:

x A cos( 0t 0 ) .

q q m cos( 0t 0 ) .

Где А и q m – амплитуда колебаний, ( 0t 0 ) –фаза колебаний,

0 – начальная фаза,

0

– циклическая частота.

Динамическое уравнение затухающих колебаний:

Второй закон Ньютона

Правило Кирхгофа

R·i

q

L

di

.

ma kx rv .

C

dt

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

x 2 x 2 x 0 .

q 2 q 2q 0.

0

0

Коэффициент затухания:

r

.

R

.

2m

2L

Уравнение затухающих колебаний:

x A

e t cos( t ) .

q q

e t cos( t ) .

0

З

0

0

З

0

Амплитуда затухающих колебаний:

A A

e t .

q

m

q

0

e t .

0

Частота затухающих колебаний:

			2 2 .
	З		0
			5
Логарифмический декремент затухания:
ln			A 0 (t )		T .
			A 0 (t T )
	Добротность:
Q 2			W(t )						,
	W(t ) W(t T )

где W(t ) W e 2 t – полная энергия системы.
0
Динамическое уравнение вынужденных колебаний:
Второй закон Ньютона			Правило Кирхгофа
			R·i	q	L		di	e(t ) ,
ma kx rv F (t ) ,
				C			dt
F (t ) Fm cos( t ) – сила.			e(t ) E m cos( t ) – ЭДС.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:
x 2 x 2 x	Fm	cos( t ) .	q 2 q 2q			E m			cos( t ) .
0	m				0		L

Уравнение установившихся вынужденных колебаний:

x A cos( t ) .		q q m cos( t ) ,
		u C U m cos( t ) ,
где U			qm	– амплитуда
	m
			C

напряжения на конденсаторе.

Амплитуда вынужденных колебаний:

A		Fm		.	q m		E m		.
	m	20 2 2 4 2 2				L	20 2 2 4 2 2

Разность фаз между колебаниями и вынуждающей силой:

tg	2
			.
	2	2
	0

Резонансная частота:

рез

2 2 2 .

0

6

Скорость:

Сила тока:

v

dx

v

cos( t ) ,

i

dq

I

cos( t ) ,

m

m

dt

dt

где

v m A – амплитуда ско-

где I m q m – амплитуда тока,

рости,

– разность фаз

– разность фаз меж-

2

2

между скоростью и силой.

ду током и ЭДС.

Амплитуда силы тока:

I m

E m

.

2

L

1

2

R

C

Разность фаз:

L

1

tg

C

.

R

Если рез

0

1

, то

LC

амплитуда силы тока макси-

мальна:

I

E m

,

m ( рез )

R

а разность фаз:

рез

0 .

Ускорение:

dv

a

a m cos t

,

dt

2

где

a m vm 2 A

– ампли-

туда ускорения.

7

Пример 1. Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, равна 19,7мкДж, максимальная сила, действующая на тело, равна 0,8 мН. Написать уравнение движения тела, если период колебаний равен 2 с, а начальная фаза 60 .

Дано:						Решение:
W = 19,7·10–6	Уравнение гармонического колебания:
Дж						x Acos( t ),
Fmax = 0,8·10–3 Н	где A – амплитуда колебаний, t 0 –
Т = 2 с	фаза, 0					– начальная фаза, – циклическая
0 = π/3	частота.
x(t) = ?	Для определения амплитуды A учтем, что
	скорость v и ускорение колеблющегося тела
равны:
	v		dx		A sin( t			) ,
							0
			dt
	a	dv		2 A cos( t					) .
								0
		dt

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело равна:

F ma - m 2Acos( t 0).

Учтем, что F Fmax, если cos( t 0) 1, поэтому максимальное значение силы Fmax m 2A.

Полная энергия колеблющегося тела равна сумме кинетиче-

ской W

mv2

и потенциальной W

kx 2

энергий:

k

2

p

2

W Wk Wp Wk max = Wp max,

следовательно:

W W

mv2 max

m 2 A2

,

k max

2

2

т.к. vmax A.

Учтя выражение для Fmax, имеем:

W

FmaxA

,

2

8

откуда:

A 2W .

Fmax

Циклическая частота:

2T .

Проверка размерности:

A	Дж	м ,		рад	.
	Н			с

Вычисляя, получим: A 0,05 м, рад/с. Искомое уравнение гармонического колебания:

	t
x 0,05·cos			м.
		3

Ответ:	x 0,05·cos	t		м.
			3

Пример 2. Уравнение изменения силы тока в колебательном контуре со временем дается в виде i(t) – 0,02·sin(400 t) A. Индуктивность контура 1 Гн. Найти: 1) период колебаний; 2) емкость контура; 3) максимальное напряжение на конденсаторе; 4) максимальную энергию магнитного поля катушки индуктивности; 5) максимальную энергию электрического поля конденсатора.

Дано:		Решение:
i(t) – 0,02·sin(400t) A		Из уравнения колебаний силы то-
L = 1 Гн		ка:
		i(t) - 0,02·sin(400 t)
1) T = ?, 2) C = ?,
		следует, что максимальное (ампли-
3) Um = ?,
		тудное) значение силы тока:
4) WLmax = ?, 5) WCmax = ?
		Im 0,02 A,
частота колебаний:
	400 рад/с.

													9
1) Период колебаний T						2							2			5·10 3 (c) .
												400
2)	2	1	, следовательно C										1			.
		LC											2 L
	Проверим размерность:
				C	1									с2 ·А					Кл	Ф .
					с 2 ·Гн
														В·с					В
			C	1				6,3·10 7 (Ф) 0,63(мкФ) .
				(400 )	2 1

3) Напряжение на конденсаторе:

u(t) q(t)C .

Пусть q(t) qm cos( t 0 ) , тогда из определения силы тока

следует:

i dqdt qm sin( t 0 ) Im sin( t 0 ) ,

т.е. амплитуды колебаний заряда и тока связаны соотношением:

Im = qm

или q

Im

.

m

Уравнение колебаний напряжения:

u

q

qm

cos( t

) U

cos( t

) ,

m

C

C

0

0

где U

qm

Im

– максимальное напряжение на конденсаторе

m

C

C

(амплитуда напряжения).

Размерность:

[U ]

А

А·с·В

Кл·В

В .

с

1·Ф

Кл

Кл

m

Вычисления:

Um

0,02

25,2(В) .

400 6,310 7

10

4) Энергия магнитного поля WL Li22 , максимальная энергия

магнитного поля W

LImax2

.

L max

2

[W ] Гн·А2

В·с·А2

В·А·с Вт·с Дж

Lmax

А

1 0,022

W

2·10 4 (Дж) 0,2(мДж) .

L max

2

5) Энергия электрического поля

W

Cu2

, максимальная энер-

C

2

гия электрического поля

W

CU2 max

.

C max

2

[W

] Ф·В2

Кл·В2

Кл·В Дж .

C max

В

W

6,310 7

25,2

2

2·10 4 (Дж) 0,2(мДж) .

C max

2

Ответ: 1) Т = 5мс, 2) С = 0,63 мкФ, 3) Um = 25,2 В, 4) WL max = 0,2 мДж, 5) WC max = 0,2 мДж.

Пример 3. Собственная частота колебаний контура 0 = 8 кГц, добротность контура Q 72. В контуре возбуждаются затухающие колебания. Найти закон убывания запасенной в контуре энергии W со временем, если в начальный момент времени энергия, запасенная в контуре равна 50 мкДж.

Дано:					Решение:
0 = 8·103 Гц		Уравнение затухающих колебаний заряда
Q = 72		на конденсаторе:
			q(t) q0e t cos t 0 ,
W0 = 50·10–6 Дж
W(t) = ?
		где	2 2		– циклическая частота зату-
			0

хающих колебаний, 0 – собственная циклическая частота контура, – коэффициент затухания.

11

Получим уравнение затухающих колебаний силы тока. Для простоты положим начальную фазу равной нулю ( 0 = 0).

q(t) q0e t cos t ,

i	dq					d	q	e t cos t q												e t			cos t e t sin t
																			0
	dt				dt		0
			2			2 q e t																cos t													sin t
								0						2					2										2			2
											q	e t						cos t									sin t .
										0	0					0								0
Пусть sin										,	cos											, tg						, тогда:
								0									0
i q				e t sin ·cos t											cos ·sin t q																	e t sin t .
0		0																												0	0

Уравнение затухающих колебаний силы тока: i 0q0e t sin t .

Энергия, запасенная в конденсаторе:

q2

q

02

2 t

2

1

2 t

W

e

cos ( t)

W e

(1

cos(2 t)) .

C

2C

2C

2

0

Энергия, запасенная в катушке индуктивности:

				Li	2				L2q2			e 2 t sin 2 ( t )						1		W e 2 t (1			cos(2 t 2 )) ,
W								0		0
L			2					2										2	0
	L 2q				2				Lq 2				q2	W ,
где			0		0				0				0
			2						2LC				2C	0
т.к. собственная частота контура 0																			1			.
																				LC
Полная энергия контура:
			W WC WL										W0e 2 t				cos(2 t) cos(2 t 2 )
															1
																					2

W0e 2 t 1 sin ·sin(2 t ) .

12

Уравнение изменения полной энергии контура:

W W e 2 t 1				sin(2 t ) .
0			0

Если коэффициент затухания мал по сравнению с собственной

	частотой контура		1	, то запасенная в контуре энергия убы-
		0
	вает во времени по закону W W e 2 t				( при выполнении кон-
				0

трольной работы эту формулу можно брать за исходную ).

Найдем коэффициент затухания , предполагая что 0 >> . Добротность контура при малом затухании:

Q ,

где T - логарифмический декремент затухания, T - период затухающих колебаний.

T	2			2						2		2		1	,
												20
				0	2		2			0				0

где 0 20 – связь циклической и линейной частот. Добротность:

	Q					0	,
				T

Коэффициент затухания:

	β	πν0		3,14·8·103	349 .
		Q		72

Проверим выполняется ли условие 0 >> :

				0		1			1	0,007 1 .
0		2 0		2 0Q		2Q		144

Условие 0 >> выполняется.

Подставим числа в выражение для энергии:

W 50·10 6 ·e 700t (Дж) 50·e 700t (мкДж) .

Ответ: W 50·e 0,7 t мкДж .

13

Пример 4. Электрическая цепь состоит из активного сопротивления R, конденсатора емкостью C и катушки индуктивности L, соединенных последовательно с генератором переменного напряжения. ЭДС генератора изменяется по закону е = Еm·cos(ωt). Найти зависимость от времени силы тока i(t), напряжения на активном сопротивлении uR(t), напряжения на конденсаторе uC(t) и напряжения на катушке uL(t).

				Дано:			Решение:
						Пусть заряд конденсатора меня-
		R, C, L
						ется по закону:
		е = Еm·cos(ωt)
							q q m cos( t ) ,
		i(t), uR(t), uC(t), uL(t) = ?
						где qm – амплитуда заряда, ω – ча-
	стота ЭДС, φ – разность фаз между ЭДС и зарядом.
		Сила тока:
			dq
		i		q m sin( t ) I m cos			t		I m cos t ,
			dt					2

где I m q m – амплитуда тока,

2 – разность фаз между ЭДС и током.

Напряжение на активном сопротивлении:

u R R·i RI m cos t U Rm cos t ,

где U Rm RI m – амплитуда напряжения на активном сопротив-

лении.

Колебания тока и напряжения на активном сопротивлении происходят в одинаковой фазе.

Напряжение на конденсаторе:

			q		q	m
	u C						cos( t ) U Cm cos	t	,
			C		C
									2

где U

q m

1

· q

X

I

–амплитуда напряжения на кон-

Cm

m

C

m

C

C

денсаторе,

X

1

– емкостное сопротивление, .

C

C

2

14

Колебания напряжения на емкостном сопротивлении отстают

по фазе на		от колебаний тока.
		2
Напряжение на катушке индуктивности:
u		L	di	LI		sin( t ) U		cos	t		,
	L				m		Lm
			dt
										2

где U Lm LIm X L Im –амплитуда напряжения на катушке ин-

дуктивности, Колебания напряжения на индуктивном сопротивлении опе-

режают по фазе на колебания тока.

2

Построим векторную диаграмму и найдем амплитуду тока Im и разность фаз между током и ЭДС.

e uC uR uL

E2

U2

(U

Lm

U

Cm

)2

m

Rm

E2

I2 (R2 (X

L

X

C

)2 )

m

m

Амплитуда силы тока:

I m

E m

.

2

1

2

R

L

C

Разность фаз:

L

1

tg

C

.

R

Ответ: i Im cos t ,

u R U Rm cos t , где U Rm

RI m ,

Im

u C

UCm cos

t

, где

UCm

,

2

C

u L

t

U Lm LI m .

ULm cos

2

, где

15

1.2. Сложение колебаний.

Рекомендуется изучить §§ 55-57 учебного пособия И.В. Савельева "Курс общей физики" т. 1. М. Наука, 1982 г.

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода

x1 A1 cos(t 1 ) , x 2 A 2 cos( t 2 )

получается гармоническое колебание того же периода x A cos( t ) ,

амплитуда А и начальная фаза которого определяется уравнениями:

A A12 A 22 2A1A2 cos(1 2 ) ,

tg A1 sin 1 A 2 sin 2 , A1 cos1 A 2 cos2

где А1 и А2 – амплитуды слагаемых колебаний,1 и 2 - начальные фазы слагаемых колебаний.

При сложении N (N > 2) одинаково направленных гармонических колебаний равных периодов, амплитуду и начальную фазу результирующего колебания можно находить применяя метод векторных диаграмм.

В результате задач такого типа необходимо получить вид функций, описывающих измене-

ние смещения (для контура q, u), скорости (для контура i), ускорения.

В задачах на определение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, следует исключить время из уравнений складываемых колебаний и найти уравнение, которое описывает результирующее колебание.

t 2 x1 0,02sin 3

t x 2 0,03cos 3

x(t) = ?

Дано:

16

Пример 5. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного при сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты, уравне-

ния которых x

0,02sin

t

2

м и

x

0,03cos

t

м.

1

2

3

3

Написать уравнение результирующего колебания. Решение:

Согласно принципу суперпозиции:

x x1 +x2.

Сложение колебаний произведем методом векторной диаграммы. Для этого, используя тригонометрическую формулу приведения

sin cos			,
		2

уравнения складываемых колебаний выразим через функцию косинуса и запишем их в канонической форме:

			2				2
x1	0,02 sin	t			0,02 cos	t				0,02 cos	t	,
			3				3		2			6

x	2	0,03cos	t	.
				3

Построим векторную диаграмму (см. стр. 16) для t 0. Учтем,

	что A1 0,02 м, A2 0,03 м,				300 ,				60	0 .
		1		6		2		3

Результирующее колебание имеет ту же частоту и ам-

плитуду A , которая равна геометрической сумме амплитуд складываемых колебаний

		A	A1 + A2 .
Согласно теореме косинусов:
A A 2		A 2	2A	1	A	2	cos(	2	) .
1		2							1

17

Начальная фаза результирующего колебания:

arctg A1 sin 1 A 2 sin 2 . A1 cos1 A 2 cos2

Представим числовые значения и произведем вычисления:

A 0,02 2 0,032 2 0,02 0,03 cos(60 30 ) 0,05 м,

	arctg	0,03sin 30	0,02 sin 60		42 0,23 .
		0,03 cos30	0,02 cos60

Уравнение результирующего колебания: x 0,05cos( t 0,23 ).

Ответ: x 0,05cos( t 0,23 ) м.

Пример 6. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных

направлениях и описываемых уравнениями x cost и y cos 2 t .

Определить уравнение траектории точки и построить ее на чер-

	теже, показав направление движения точки.
	Дано:			Решение:
	x cos t	По условию задачи:
		x A1 cos 1 t cos t ,
	y cos 2 t	y A		cos		t cos t		,
	y = f(x)		2		2
							2

т.е. A1 A2 1, 1 22.

Для определения уравнения траектории точки необходимо найти связь между y и x, исключив время t. Применим формулу косинуса кратных углов:

cos2 cos2 – sin2 1 – 2sin2 = 2cos2 – 1.

Используя это соотношение , можно написать: cos t 2 cos2 2 t 1.

Учитывая заданные уравнения, получим: x 2y2 – 1.