Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ТВ лек2

.doc
Скачиваний:
13
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
235.52 Кб
Скачать

6

Лекция № 2

Вероятность и её свойства.

Любому случайному событию в данном опыте можно поставить в соответствие числовую характеристику, определяющую степень возможности появления этого события. Она называется вероятностью. Понятие вероятности является одним из основных понятий при построении вероятностной модели случайного явления. Используя введенное ранее понятие «пространство элементарных событий», дадим современное определение вероятности, базирующееся на аксиоматике Колмогорова.

Пусть задано некоторое пространство элементарных событий W и некоторая система E множеств A, которые являются событиями: AÎW.

С помощью операций объединения: «È», пересечения: «Ç» и разности: «\» можно из элементов E построить новую систему множеств, которые также являются событиями. Присоединяя к этим событиям достоверное W и невозможное Æ, получаем систему множеств E, которая является алгеброй, т.е. такой системой подмножеств множества W, что

1) WÎ E ,

2) Если АÎ E, то Î E,

3) Если АÎ E и ВÎ E, то множества AÈB, AÇB, A\B также принадлежат E.

Обобщение на n событий: если AiÎ E, i=1,...,n, то E и Î E.

Таким образом, алгебра – класс множеств, замкнутый относительно конечного числа операций дополнения, объединения и пересечения, а s-алгебра – класс множеств, замкнутый относительно счетного числа этих операций.

Система F множеств А называется s-алгеброй (или борелевским полем событий), если

1) WÎF ;

2) Если АÎF, то ÎF;

3а) Если AiÎF,то и F и ÎF.

Замечания:

1. В условиях 3) и 3а) достаточно одного утверждения, другое можно получить на основе условия 2) и принципа двойственности.

2. Замкнутость классов E и F позволяет производить соответствующие действия над событиями (множествами), оставаясь в пределах класса.

Если задано пространство элементарных событий W и какая-нибудь алгебра или s-алгебра его подмножеств, то говорят, что задано измеримое пространство (W,E) или (W,F). На измеримом пространстве задается числовая функция P(A), которая называется вероятностью и удовлетворяет трем аксиомам.

Аксиомы вероятности (аксиомы Колмогорова)

  • Аксиома №1 (аксиома неотрицательности):

Р(А)³0 , для любого АÎ E или АÎF

Каждому событию А соответствует неотрицательное число – вероятность этого события.

  • Аксиома №2 (аксиома нормировки):

Р(W)=1.

Вероятность достоверного события равна 1.

  • Аксиома №3 (аксиома аддитивности):

Если заданы события такие, что при i¹j, то

(*)

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей.

Замечание: Функции множеств, обладающие свойством (*) при n< называются аддитивными мерами, а при n=счетно-аддитивными мерами.

Определение: Вероятность – неотрицательная, нормированная к единице мера, заданная на измеримом пространстве событий, характеризующая степень возможности появления событий.

Соответствие между событиями и их вероятностями называется распределением вероятности.

Таким образом, Р(А), как функция множеств АÎF, (E) определяет распределение вероятностей на F,( E). Пространство элементарных событий W с заданной на нем алгеброй E (или s-алгеброй F) подмножеств и определенной на E (F) вероятностью Р называется вероятностным пространством.

Обозначение вероятностного пространства: (W,E,Р) или (W,F,Р). Вероятностное пространство определяет вероятностную модель рассматриваемого случайного явления.

Свойства вероятностей (следствия из аксиом)

1. Вероятность невозможного события равна нулю: Р(Æ)=0

Доказательство: Так как невозможное событие Æ несовместно с любым другим событием А, АÆ=Æ, то из аксиомы 3 следует, что Р(АÈÆ)=Р(А)+Р(Æ). С другой стороны, так как АÈÆ=А (добавление невозможного события не изменяет события А), то Р(АÈÆ)=Р(А). Следовательно, Р(Æ)=0.ð

2. Р()=1-Р(А)

Доказательство: Из А+=W, А=Æ и аксиом 2,3 следует:

P(A)+P()=P(W), P()=1-P(A) —

3. Если АÌВ, то Р(А)£Р(В)

Доказательство: Разложим В на два несовместных события: В=А+. Получим в силу аксиомы 3: Р(В)=Р(А)+Р(), откуда следует, что Р(В)³Р(А).ž

Таким образом, если событие А может произойти только вместе с событием В, то вероятность события А не может быть больше вероятности события В.

4. Р(А)£1 для любого А.

Доказательство: Из того, что любое событие А может произойти только с достоверным событием: А=АWÌW, а также из свойства 3 и аксиомы 2 следует Р(А)£Р(W)=1.˜

5. Теорема сложения вероятностей. Для любых А и В справедливо

Р(АÈВ)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Доказательство: AÈB=A+B,

P(AÈB)=P(A)+P(B) (1)

C другой стороны, любое событие можно разложить на два несовместных события:

B=AB+B,

P(B)=P(AB)+P(B), откуда

P(B)=P(B)-P(AB).

Подставляя это выражение для Р(В) в (1) получаем:

Р(АÈВ)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) —

6. Теорема сложения вероятностей для n событий:

Доказательство: Методом математической индукции. При n=2 теорема доказана. Пусть она верна для (n-1) события; покажем, что при этом она верна для n событий. Обозначим В=, тогда

(2)

В свою очередь для (n-1) событий вида имеем:

(3)

Подставляем (3) в (2) и получаем утверждение теоремы. †

7. Если ВÌА, то Р(А-В)=Р(А)-Р(В)

Доказательство:

А=В+(А-В);

Р(А)=Р(В)+Р(А-В); а это влечет:

Р(А-В)=Р(А)-Р(В). ƒ

8. Аксиома непрерывности.

Функция множеств Р(А) - непрерывна. Если Аn есть монотонно возрастающая последовательность множеств: A1ÌA2ÌA3...ÌAnÌ... и , , тогда

Доказательство: Согласно определению:

Если А0

—

Определение вероятности, как меры измеримого пространства событий, позволяет по заданным (или определенным из эксперимента) вероятностям одних событий находить вероятности других более сложных событий, используя действия над событиями и свойства вероятности. Однако, данное определение не задает конкретную величину вероятности событий. Её можно определить теоретически лишь в некоторых частных случаях, и в общем случае - оценить экспериментально. Рассмотрим частные случаи, в которых вероятности событий можно рассчитать теоретически.

Классическое определение вероятности

Это определение используется, когда число возможных исходов опыта конечно и каждый исход равновозможен (например, при подбрасывании игральной кости).

Пусть W состоит из n равновозможных в данном опыте элементарных событий, т.е. Р(wi)=р, где wi – элементарное событие, . Элементарные события несовместны и образуют полную группу событий, поэтому = W и Р()==np; P(W)=1, откуда.

Вероятность любого события А, которому соответствует в пространстве элементарных событий некоторое подмножество А, содержащее nA исходов, определится следующим образом: А={wi}, . Тогда

, т.е.

(1)

Это классическое определение вероятности.

Вероятность некоторого события А есть отношение числа исходов nA, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу возможных исходов n.

Классическое определение вероятности удовлетворяет аксиомам Колмогорова:

1. ;

2. ;

3. Если А и В несовместны и они имеют nA и nB благоприятствующих исходов соответственно, то .

Итак, классическое определение вероятности является частным случаем аксиоматического определения. Для подсчета числа исходов n и nA используют комбинаторику.

При этом необходимо, чтобы обязательно выполнялись условия применимости классического определения: конечное число равновозможных исходов в опыте.

Пример 1: В урне находится m белых шаров и k красных. Из урны наугад вынимают один шар. Найти вероятность того, что вынут белый шар. А={вынут белый шар}.

Решение: Общее число равновозможных исходов опыта n=m+k. Число исходов, благоприятствующих А, nA=m ,

Пример 2: Одновременно подбрасывается две монеты. Найти вероятность события А={хотя бы на одной монете выпадет герб}.

Решение: Кажется, что в опыте три возможных исхода: {два герба}, {две решки}, {герб и решка}. Однако, эти события не равновозможны: последнее вдвое вероятнее первых двух, так как герб и решка могут появиться на разных монетах. Равновозможные исходы: {г,г}, {р,р}, {г,р}, {р,г}, n=4. Исходы приводящие к событию А: {г,г}, {г,р}, {р,г} nA=3,

Р(А)=0.75

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]