(множественная регрессия)

Задача№2

y_t – нарастающая по кварталам прибыль коммерческого банка (КБ);

x_1t – процентная ставка КБ по кредитованию юридических лиц;

x_2t – процентная ставка КБ по депозитным вкладам.

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	15	20	22	14	25	28	25	28	30	31
x1t	32	34	41	38	42	48	50	52	54	51
x2t	32	28	26	24	25	23	19	27	22	20

Предположим, что форма связи между результативным и факторными признаками линейная.

Определим множественную линейную модель ŷ = a + b₁ x₁+ b₂ x₂. Находим коэффициенты a и b, которые получаются в результате решения системы нормальных уравнений, полученной на основе МНК.

ΣY – an – b₁ ΣX₁ b₂ ΣX₂ =0;

ΣYX₁ – aΣX₁ – b₁ ΣX₁² – b₂ Σ X₁X₂ =0;

ΣYX₂ – aΣX₂ – b₁ Σ X₁X₂ – b₂ ΣX₂²=0;

10a + 442b₁ + 246b₂ = 238;

442a + 20094b₁ + 10670b₂ = 10895;

246a + 10670b₁ + 6188b₂ = 5728;

a = - 12,48802292 ≈ - 12,488

b₁ = 0,731706475 ≈ 0,7317

b₂ = 0,160430761 ≈ 0,16

Таким образом, ŷ = - 12,488 + 0,7317x₁ + 0,16x₂.

Экономическая интерпретация: Коэффициент регрессии при каждой переменной x дает оценку ее влияния на величину y в случаи неизменности влияния на нее всех остальных переменных.

b₁: С увеличением средней процентной ставки КБ по кредитованию юридических лиц на 1 % прибыль КБ в среднем увеличится на 0,7317 млн руб. Из каждого дополнительного процента в ставке процента по кредитованию юридических лиц КБ получает 0,7317 млн руб. прибыли. Так как коэффициент b₁ положительный, связь между x₁ и y прямая.

b₂: С увеличением средней процентной ставки КБ по депозитным вкладам на 1 % прибыль КБ в среднем увеличится на 0,16 млн руб. Из каждого дополнительного процента в ставке процента по депозитным вкладам КБ получает прибыль в 0,16 млн руб. Так как коэффициент b₂ положительный, связь между x₂ и y прямая.

Коэффициент а не следует интерпретировать, поскольку x = 0 далеко от выборочных значений. Буквальная интерпретация может привести к неверным результатам. (Коэффициент а говорит о том, что без увеличения обеих процентных ставок прибыль КБ уменьшится на 12,488 млн руб).

В виду того, что существует различие единиц измерения результативного признака и факторных признаков, для непосредственной оценки влияния x₁ и x₂ на y вычисляются коэффициенты эластичности и β-коэффициенты.

k_эл1 = 1,358883454 ≈ 1,359

При увеличении процентной ставки КБ по кредитованию юридических лиц на 1 % от ее среднего уровня прибыль КБ в среднем увеличится на 1,359%.

k_эл2 = 0,165823391 ≈ 0,166

При увеличении процентной ставки КБ по депозитным вкладам на 1 % от ее среднего уровня прибыль КБ в среднем увеличится на 0,166%.

β₁ = 0,966484505 ≈ 0,966

Увеличение процентной ставки КБ по кредитованию юридических лиц на величину среднеквадратичного отклонения этого показателя (44,2) приведет к увеличению прибыли КБ на 0,966 среднеквадратичного отклонения y (23,8).

β₂ = 0,104807278 ≈ 0,105

Увеличение процентной ставки КБ по депозитным вкладам на величину среднеквадратичного отклонения этого показателя (24,6) приведет к увеличению прибыли КБ на 0,105 среднеквадратичного отклонения y (23,8).

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических: Ā = 10,47%. Ошибка находится в пределах нормы.

Анализ показателей тесноты связи в уравнении множественной регрессии проводят, используя корреляционный анализ.

Найдем парные коэффициенты корреляции:

r_yx1 = 0,889261521 ≈ 0,8893

По абсолютной величине r_yx1 > 0,7 – значит, связь между x₁ и y является тесной.

r_yx2 = - 0,607307554 ≈ - 0,6073

По абсолютной величине r_yx2 < 0,7, но r_yx2 > 0,4 – значит, связь, существующая между x₂ и y является не очень сильной, но достаточно тесной.

r_x1x2 = - 0,736809363 ≈ - 0,7368

По абсолютной величине r_x1x2 > 0,7 – значит, связь между факторными признаками тесная.

Найдем частные коэффициенты корреляции. Они показывают тесноту связи между результативным и одним из факторных признаков при неизменных значениях других факторных признаков, а также тесноту связи факторов при неизменных значениях результата.

r_yx1/x2 = 0,8224896 ≈ 0,822 – связь между y и x₁ при неизменном x₂ прямая, т.к. r_yx1/x2 > 0 и тесная, т.к. r_yx1/x2 > 0,7;

r_yx2/x1 = 0,15491998 ≈ 0,155 – связь между y и x₂ при неизменном x₂ прямая, т.к. r_yx2/x1 > 0 и слабая, т.к. r_yx2/x1<0,4;

r_x1x2/y = - 0,5414430 ≈ - 0,541 – связь между x₁и x₂ при неизменном y обратная, т.к. r_yx1/x2 < 0 и не очень тесная, т.к. r_yx1/x2 < 0,7. Поскольку существует неслабая связь между факторами, можно говорить о явлении мультиколлинеарности регрессии, т.е. факторы оказывают совместное влияние на y.

Коэффициент множественной корреляции рассматривает тесноту связи между y и всеми факторами:

R_yx1x2 = 0,892080282 ≈ 0,892

Таким образом, степень тесноты связи прибыли КБ с факторами процентной ставки по кредитованию юридических лиц и процентной ставки по депозитным вкладам является высокой.

Найдем совокупный коэффициент детерминации на основе коэффициента множественной корреляции:

R² = 0,7958072 ≈ 0,796

Это означает, что совместное влияние процентной ставки по кредитованию юридических лиц и процентной ставки по депозитным вкладам объясняет почти 80% изменения среднеквартальной прибыли КБ. 20% вариации среднеквартальной прибыли КБ определяется вариацией факторов, неучтенных в модели.

Проверим статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии. Выдвигаем основную гипотезу и альтернативную:

H₀: b₁ = 0

H₁: b₁ ≠ 0

Найдем стандартную ошибку оценки b₁: S_b1 = √D[b₁]; S_b1 = 0,191

t_факт = 3,826; t_табл = 2,3646 (степеней свободы k = n-m-1 = 7; вероятность 95%)

t_факт > t_табл , принимаем гипотезу H₁ , следовательно коэффициент b значимый.

Построим доверительный интервал: b₁ - S_b1t < β₁ < b₁ + S_b1t

0,279472 < β₁ < 1,183941

Данный доверительный интервал накрывает истинное значение параметра β₁ с вероятностью 95%. Чем меньше доверительный интервал, тем точнее оценка. Имеем небольшой доверительный интервал, значит, полученная оценка достаточно точна.

H₀: b₂ = 0

H₁: b₂ ≠ 0

Найдем стандартную ошибку оценки b₂: S_b2 = √D[b₂]; S_b2 = 0,387

t_факт = 0,415; t_табл = 2,3646 (степеней свободы k = n-m-1 = 7; вероятность 95%)

t_факт < t_табл , принимаем гипотезу H₀ , следовательно коэффициент b незначимый.

Построим доверительный интервал: b₂ - S_b2t < β₂ < b₂ + S_b2t

- 0,7539307 < β₂ < 1,074792

Данный доверительный интервал накрывает истинное значение параметра β₂ с вероятностью 95%. Полученный доверительный интервал больше предыдущего, значит, полученная оценка менее точна.

H₀: a = 0

H₁: a ≠ 0

Найдем стандартную ошибку оценки a: S_a = √D[a]; S_a = 16,7741

t_факт = - 0,744; t_табл = 2,3646 (степеней свободы k = n-m-1 = 7; вероятность 95%)

t_факт < t_табл , принимаем гипотезу H₀ , следовательно коэффициент a незначимый.

Построим доверительный интервал: a – S_at < α < a + a₂t

- 52,152491 < α < 27,17644

Данный доверительный интервал накрывает истинное значение параметра α с вероятностью 95%. Полученный доверительный интервал очень большой, значит, полученная оценка неточная.

Проверим качество модели в целом с помощью F-критерия Фишера.

Выдвинем гипотезу H₀ о том, что уравнение в целом статистически незначимо и конкурирующую гипотезу H₁ :

H₀: R² = 0

H₁: R² ≠ 0

F_факт = 13,64066556 ≈ 13,64

F_табл = 4,46 (уровень значимости α = 5%, число степеней свободы k = 8)

F_факт > F_табл Значит, следует принять гипотезу H₁ , т.е. уравнение в целом статистически значимо, y зависит от x₁ и x₂ неслучайно.

Проверим выполнимость предпосылки статистической независимости отклонений между собой, т.е. их некоррелированность. На практике используют критерий Дарбина-Уотсона.

DW = 2,2672; 1,5 < DW < 2,5 → отсутствует автокорреляция остатков, т.е. отклонения независимы между собой.

Это означает, что построенная линейная регрессия, скорее всего, отражает реальную зависимость и не осталось неучтенных существенных факторов, влияющих на зависимую переменную.

Остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, значит, они независимы от факторного признака и оценка коэффициента b1 является несмещенной.

Почти все остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, значит, они независимы от факторного признака и оценка коэффициента b2 является несмещенной.