Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

Список литературы

563

14.Georgi, H., in Particles and Fields — 1974, ed. C. Carlson (Amer. Inst. of Physics, New York, 1975).

15.Delbourgo, R. and Salam, A., Phys. Lett., 40B, 381 (1972); Eguchi, T. and Freund, P., Phys. Rev. Lett., 37, 1251 (1976). См. также: Nielsen, N.K., Grisaru, M.T., Romer, R., and van Nieuwenhuizen, P., Nucl. Phys., B140, 477 (1978); Perry, M.J., Nucl. Phys., B143, 114 (1978); Hawking, S.W. and Pope, C., Nucl. Phys., B146, 381 (1978); Christensen, S.M. and Duff, M.J., Phys. Lett., 76B, 571 (1978); Critchley, R., Phys. Lett., 78B, 410 (1978); Hanson, A.J. and Romer, R., Phys. Lett., 80B, 58 (1978). Обзор см.: Eguchi, T.б Gilkey, P.B., and Hanson, A.J., Phys. Rep., 66, 213 (1980). В случае 4n + 2 измерений существует и аномалия в дивергенции тензора энергии-импульса; см.: Alvarez-Gaumè , L. and Witten,

E., Nucl. Phys., B234, 269 (1984).

16.'t Hooft, G., lecture given at the Cargè se Summer Institute, 1979, in Recent Developments in Gauge Theories, eds. G. 't Hooft et al. (Plenum, New York, 1980). См. также: Dimopoulos, S., Raby, S., and Susskind, L., Nucl. Phys., B173, 208 (1980); Coleman, S. and Witten, E., Phys. Rev. Lett., 45, 1000 (1980); Frishman, Y., Schwimmer, A., Banks, T., and Yankielowicz, S., Nucl. Phys., B177, 157 (1981); Zee, A., Univ. of Pennsylvania report, 1980 (unpublished); Barbieri, R., Maiani, L., and Petronzio, R., Phys. Lett., 96B, 63 (1980); Farrar, G., Phys. Lett., 96B, 273 (1980); Chanda, R. and Roy, P., Phys. Lett., 99B, 453 (1981).

16a. Weinberg, S. and Witten, E., Phys. Lett., 96B, 59 (1980).

17.Preskill, J. and Weinberg, S., Phys. Rev., D24, 1059 (1981).

18.Wess, J. and Zumino, B., Phys. Lett., 37B, 95 (1971).

18a. Stora, R., in Progress in Gauge Field Theory, eds. G. 't Hooft et al. (Plenum, New York, 1984), p. 543; Zumino, B., in Relativity, Groups and Topology II, eds. B.S. de Witt and R. Stora (Elsevier, Amsterdam, 1984), p. 1293; Mañes, J. and Zumino, B., Commun.

Math. Phys., 102, 157 (1985).

564	Глава 22. Аномалии

18b. Faddeev, L.D., Phys. Lett., 145B, 81 (1984); Zumino, B., Nucl.

Phys., B253, 477 (1985).

18c. Schwinger, J., Phys. Rev. Lett., 3, 296 (1959).

19.Dixon, J.A., unpublished preprints (1976–1979); Commun. Math. Phys., 139, 495 (1991); Brandt, F., Dragon, N., and Kreuzer, M., Nucl. Phys., B322, 224 (1990); Dubois-Violette, M., Henneaux, M., Talon, M., and Vialett, C.M., Phys. Lett., B289, 361 (1992); Dubois-Violette, M., Talon, M., and Vialett, C.M.,

Phys. Lett., B158, 231 (1985); Commun. Math. Phys., 102, 105 (1985); Mañes, J. and Zumino, in Supersymmetry and its

Applications: Superstrings, Anomalies, and Supergravity, eds. G.W. Gibbons, S.W. Hawking, and P.K. Townsend (Cambridge University Press, Cambridge, 1986).

19a. См., например: Georgi, H., [10], уравнение 11.9 в гл. XXV.

20.Stora, R., in New Directions in Quantum Field Theory and Statistical Mechanics — Lectures at the 1976 Cargèse Summer School, eds. M. Lévy and P. Mitter (Plenum, New York, 1977).

21.Dixon, J.A., [19].

22.Barnich, G. and Henneaux, M., Phys. Rev. Lett., 72, 1588 (1994); Barnich, G., Brandt, F., and Henneaux, M., Commun. Math. Phys., 174, 57, 93 (1995).

23.Troost, W., van Nieuwenhuizen, P., and Van Proeyen, A., Nucl. Phys., B333, 727 (1990).

24.Я узнал об этом доказательстве от проф. Б. Зумино (частное сообщение).

25.Witten, E., Nucl. Phys., B223, 422 (1983).

26.Chu, C.-S., Ho, P.-M., and Zumino, B., Nucl. Phys., B475, 484 (1996).

23

Протяженные полевые конфигурации

Бо1льшая часть этой книги была посвящена применениям квантовой теории поля, которые могут быть, по меньшей мере, описаны в рамках теории возмущений, независимо от того, приводит ли ряд теории возмущений к хорошим или плохим численным результатам. При использовании теории возмущений мы разлагаем действие в окрестности обычных, не зависящих от пространственновременных координат, вакуумных значений полей, оставляя старшие квадратичные слагаемые в экспоненте exp(iI) и рассматривая все слагаемые более высокого порядка как малые поправки. Начиная с середины 1970-х годов растущий интерес стали вызывать эффекты, возникающие из-за наличия протяженных, зависящих от про- странственно-временных координат, полевых конфигураций, таких, как инстантоны 1, которые также являются стационарными «точками» действия. В принципе, такие конфигурации следует включать в функциональные интегралы, и суммировать по флуктуациям вокруг них. (В разделе 20.7 мы уже столкнулись в другом контексте с примером инстантонной конфигурации.) Хотя такие непертурбативные вклады часто сильно подавлены, в квантовой хромодинамике они велики, а в стандартной электрослабой теории приводят к интересным экзотическим явлениям.

Существуют и такие протяженные конфигурации, которые возникают не только как поправки к функциональным интегралам для процессов с участием обычных частиц, но и как возможные компоненты реальных физических состояний. Среди этих конфигураций встречаются частицеподобные, например, магнитные монополи 2 и скирмионы 3, которые концентрируются вокруг точки в пространстве или, эквивалентно, вокруг мировой линии в простран-

566	Глава 23. Протяженные полевые конфигурации

стве-времени. Существуют также струноподобные конфигурации 4, напоминающие обсуждавшиеся в разделе 21.6 вихревые нити в сверхпроводниках, которые концентрируются вокруг линии в пространстве или, эквивалентно, вокруг мирового листа в пространстве-вре- мени. Наконец, имеются похожие на листы в пространстве конфигурации типа доменных стенок 5 между пространственными областями, в которых по-разному нарушаются дискретные симметрии. В противоположность этому, упомянутые выше инстантоны являются событие-подобными и концентрируются вокруг точки в пространстве-времени, так что поэтому они никогда не возникают как компоненты реальных физических состояний.

Некоторые протяженные полевые конфигурации устойчивы изза граничных условий, накладываемых физической природой той задачи, в которой эти конфигурации возникают. Примером может служить решение–«баунс», возникающее при анализе распада вакуума 6, которое мы обсудим в разделе 23.8. Другие конфигурации стабильны по той причине, что они обладают квантовым числом, сохранение которого запрещает любые возможные моды распада 7.

В большей части этой главы мы будем рассматривать протяженные полевые конфигурации, устойчивые за счет их топологии. При анализе всех подобных конфигураций используются топологи- ческие приемы и рассуждения, прежде всего, теория гомотопий, так что мы начнем с совместного рассмотрения всех топологически стабилизированных конфигураций в пространстве или пространствевремени произвольного числа измерений d.

23.1. Применения топологии

Часто случается, что пространство всех возможных полевых конфигураций обретает нетривиальную топологию в результате наложения условия конечности некоторого функционала S различ- ных полей. В классической полевой теории S есть потенциальная энергия (или, в некоторых случаях, потенциальная энергия, приходящаяся на единицу площади или единицу длины). Никакое конечное возмущение не может породить конфигурацию, в которой потенциальная энергия бесконечна. В классической статистической механике S — гамильтониан, а в квантовой теории поля, сформулированной в евклидовом пространстве, S — евклидово действие

23.1. Применения топологии

567

или величина, ему пропорциональная. (Евклидовы функциональные интегралы и некоторые их применения обсуждаются в приложении А к этой главе.) Mы будем строить теорию возмущений, начав с некоторой равновесной полевой конфигурации, для которой евклидово действие или гамильтониан конечны, а затем проинтегрируем по флуктуациям, оставляющим эти величины конечными.

Говорят, что две полевых конфигурации топологически эквивалентны, если возможно непрерывно продеформировать одну из них в другую, не проходя при этом через запрещенные конфигурации, в которых S бесконечно. Очевидно, что это — отношение эквивалентности (в том смысле, что оно рефлективно, симметрично и транзитивно), поэтому оно разделяет множество всех полевых конфигураций на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из конфигураций одинаковой топологии. Например, если S — потенциальная энергия (гамильтониан в случае независящих от времени полей) в случае d пространственных измерений, то бесконеч- ный потенциальный барьер запрещает топологически различным полевым конфигурациям переходить друг в друга. В частности, протяженные конфигурации с нетривиальной топологией, возникающие из обычно пространственно однородных вакуумных полей, не могут расплыться и сами стать пространственно однородными.

Топологическая классификация оказывается полезной и при поиске локального минимума S. Если нам удается найти конфигурацию, минимизирующую S на множестве всех конфигураций данного топологического типа, тогда эта полевая конфигурация должна быть, по крайней мере, локальным минимумом S для всех конфигураций любого типа, поскольку никакие малые вариации полей не могут изменить их топологический тип. Поэтому подобная конфигурация является решением полевых уравнений, эквивалентных условию, что S стационарно. Проблемы подобного сорта возникают не только в задачах устойчивости, когда S — гамильтониан, ни и при поиске тех полевых конфигураций, в окрестности которых можно разлагать полевые переменные в функциональных интегралах в евклидовом d-мерном пространстве-времени. В этом случае S есть взятое с обратным знаком евклидово действие I, и мы должны искать его локальный минимум, так чтобы главный член в разложении вокруг этой конфигурации представлял квадратичное действие свободного поля, а члены второго порядка имели бы правильный знак.

–d/2

568	Глава 23. Протяженные полевые конфигурации

Приведем несколько примеров 8.

а. Скирмионы и т. п. Рассмотрим действительные голдстоуновские бозонные поля πa, связанные со спонтанным нарушением

непрерывной глобальной группы симметрии G до подгруппы H. Как было показано в гл. 19, потенциальная энергия этих голдстоуновских бозонов в евклидовом пространстве размерностью d > 2 принимает вид

X	L	1	å gab		O
S[π] = Y ddxM				(π)∂i πa∂iπb	+ LP ,	(23.1.1)
Z	N	2 ab			Q

ãäå gab — положительно определенная матрица, а многоточие озна- чает возможные члены высшего порядка по производным π. Àëü-

тернативно, формулу (23.1.1) можно рассматривать как взятое с обратным знаком действие для поля голдстоуновского бозона в d-мерном евклидовом пространстве-времени.

Для полевых конфигураций с конечным S производные ∂iπa(x)

äîëæíû убывать на бесконечности быстрее, чем |x| (где | x| = xixi ), òàê ÷òî ñàìî ïîëå πa(x) ïðè x → ∞ должно стремиться к константе πa∞, а оставшиеся члены должны обращаться в нуль быстрее, чем |x|(2–d)/2. Голдстоуновские бозонные поля πa в любой точке

образуют однородное пространство — фактор-пространство G/H, в котором любое значение поля можно преобразовать в любое другое значение с помощью преобразования из G, так что, применив глобальное преобразование из G, всегда возможно добиться, чтобы предел πa∞ принимал любое конкретное значение, например, πa∞ = 0. Таким образом, поле πa(x) представляет отображение всего d-мер- ного пространства, в котором сфера r = ∞ считается одной точкой,

в многообразие G/H всех значений поля.

Однако d-мерное евклидово пространство, в котором (d–1)- мерная сферическая поверхность на бесконечности считается одной точкой, топологически эквивалентно d-мерной сфере Sd (т. е. поверхности (d+1)-мерного шара) в том смысле, что каждое из этих многообразий может быть непрерывно отображено в другое. Поэтому поля π(x), обращающиеся в нуль при x → ∞, можно расклассифи-

цировать по топологически различным отображениям Sd на многообразие G/H полевых переменных, для которых точка на бесконеч-

23.1. Применения топологии

569

ности отображается в нуль. Множество классов таких топологически различных отображений Sd ¬ M с одной точкой Sd, отображающейся в фиксированную точку M, известно как d-я гомотопическая группа πd(M) многообразия M. В следующем разделе мы обсудим

эти гомотопические группы и объясним их групповую структуру. Список гомотопических групп для разных многообразий приведен в Приложении В к этой главе. В данный момент достаточно отметить, что хотя в ситуации, когда многообразие М является линейным пространством, гомотопическая группа πd(M) тривиальна (в том смысле, что любая полевая конфигурация π(x), стремящаяся к константе при x → ∞, может быть непрерывно продеформирована в кон-

фигурацию, в которой поле принимает это значение везде), многообразие M = G/H голдстоуновских бозонных полей часто обладает нетривиальной гомотопической группой. В случаях, имеющих отношение к квантовой хромодинамике, когда SU(2) × SU(2) нарушается до SU(2) или SU(3) × SU(3) нарушается до SU(3), многообра-

зие G/H совпадает с SU(2) или SU(3) соответственно, а для них, согласно формулам Приложения В, гомотопические группы π3(H)

нетривиальны. Топологически нетривиальные поля в локальных минимумах потенциальной энергии при d = 3 известны под названием скирмионов 3. Барионы, например, протон, могут в определенных отношениях рассматриваться как скирмионные решения чисто мезонной теории.

До тех пор, пока члены с высшими степенями производных ∂iπa не включены в подынтегральное выражение, функционал (23.1.1)

не содержит скирмионных стационарных точек. В отсутствие таких членов любые топологически нетривиальные полевые конфигурации будут давать континуум значений S, простирающийся до нижней границы S = 0, на которой π становится сингулярным, так что

топология не может стабилизировать такие конфигурации. Это утверждение известно как теорема Деррика 9. Для ее доказательства заметим, что для любой полевой конфигурации πa(x) можно ввести

другую конфигурацию с той же топологией

πRa (x) ≡ πa (xR) ,

где R — произвольный действительный положительный масштабный множитель. Тогда для явно выписанных в выражении (23.1.1) членов

S[πR ] = Rd−2S[π] .

При d > 2 это — убывающая функция R при R ® 0, так что имеется континуум значений S[pR], простирающихся вплоть до зна- чения S = 0. Более того, S[p] > 0, ò. ê. S[p] может обращаться в нуль только при постоянном p(x), что невозможно, поскольку мы предположили топологическую нетривиальность p. Отсюда следует, что данная нижняя граница достигается только при R = 0, где πRa (x)

становится сингулярным.

Полевые конфигурации голдстоуновских бозонов могут быть стабилизированы добавлением в S членов с высшими производными. Например, если взять S[p] = T[p] + D[p], ãäå

X	1	å gab
T[p] º Y ddx			(p)¶ipa¶i pb	³ 0,
Z	2 ab

D[p] º z ddx fabcd (p)Ñpa × Ñpb × Ñpc × Ñpd ³ 0 ,

òî D[pR] = Rd–4D[p], в то время, как и раньше, T[pR] = Rd–2T[p], òàê ÷òî S[pR] достигает минимума при конечном R, если 2 < d < 4,

куда, в частности, входит физически интересный случай d = 3. Проблемы в теории скирмионов не связаны с тем, что мы дол-

жны добавлять члены с высшими производными типа D[p] â äåé-

ствие. Как обсуждалось в разделе 19.5, можно ожидать появления подобных членов в действии любой эффективной полевой теории голдстоуновских бозонов. Трудность в том, что нет никаких рациональных причин для отбрасывания бесконечного числа других членов с высшими производными, имеющих один и тот же порядок величины для конфигураций, обладающих устойчивостью за счет баланса между членами с разным числом производных. Все это делает невозможным реалистические вычисления.

б. Доменные стенки. Если нарушается дискретная симметрия, возникает возможность, что симметрия нарушается по-разно- му в разных областях, отделенных друг от друга доменными стенками, в которых вакуумные поля переходят от одного минимума потенциала к другому. Например, рассмотрим плоскую доменную стенку в плоскости y-z и предположим, что энергия на единицу

площади дается выражением

23.1. Применения топологии									571
	∞
	X	L	1 F djI 2				O
S[j] =	Y dxM			G		J	+ V(j)P	,	(23.1.2)
	Y	M	2 H dxK				P
	Z	N					Q

−∞

ãäå j(x) — действительное скалярное поле, которое, по предполо-

жению, зависит только от расстояния x вдоль направления по нормали к стенке, а V(j) — потенциал, обладающий симметрией относительно преобразования j ® - j, с минимумами только при значениях поля ±`j. Для удобства, подберем аддитивную константу

â V(j) так, чтобы минимальное значение V(j) равнялось нулю. В этом случае V(j) ³ 0, è V(j) = 0 только при j = ±`j. Чтобы сохра-

нить конечность S, необходимо, чтобы при x ® ¥ èëè x ® -¥ ïîëå j стремилось либо к +`j, ëèáî ê -`j. Таким образом, имеются че-

тыре топологически различные конфигурации, которые топологи- чески стабильны. В двух из них поле j стремится к одинаковым пределам при x ® ±¥, так что конфигурацию можно плавно проде-

формировать в вакуумные конфигурации с постоянным везде полем j(x). В двух других j стремится к противоположным пределам при x ® ±¥. Здесь мы классифицируем полевые конфигурации по группе p0(G), ãäå p0(M) для любого многообразия М обычно определя-

ется как множество связных компонент М, а G — группа симметрии, которая в нашем случае равна группе Z2, порожденной отражением j ® –j.

Сейчас уместно дать представление о введенном Богомольным 10 приеме, который окажется полезным в разделах 23.3 и 23.5 при рассмотрении более сложных случаев монополей и инстантонов. Перепишем выражение (23.1.2) в виде

∞

ϕ(∞)

X

F dj

2

1

I

X

S[j] =

Y dxG

m

2V(j)J

±

Y

2V(f)df ,

(23.1.3)

2

Y

H dx

K

Z

Z

ϕ(−∞)

−∞

Интеграл во втором слагаемом в правой части выражения (23.1.3) можно расматривать как «топологический заряд», зависящий только от значений, принимаемых полем при x ® ±¥. Для конфигура-

ций, стремящихся к одному и тому же пределу при x ® ±¥, этот интеграл обращается в нуль, и минимальное значе-

572	Глава 23. Протяженные полевые конфигурации

ние S, соответствующее постоянным полям, равно нулю. Для поля j(x), принимающего разные значения при x ® ±¥, можно выбрать знаки ± в выражении (23.1.3) так, чтобы получить нижнюю границу

S[j] ³	x− ϕ
	ϕ	2V(f)df .	(23.1.4)

Эта граница достигается тогда, когда обращается в нуль первое слагаемое, или, иными словами, когда

ϕ(x)
X		df
x = ± Y				+ x0	,	(23.1.5)
Z		2V(f)
0

ãäå x0 — постоянная интегрирования, которая, очевидно, определяет положение центра доменной стенки. Заметим, что теорема Деррика не имеет отношения к полученному решению, т. к. для доменных стенок d = 1, и для полей j(x/R) с измененным масшта-

бом интегралы от двух слагаемых в подынтегральном выражении (23.1.2) ведут себя как R–1 è R+1 соответственно.

Формулу (23.1.5) можно вывести более прямым способом путем вывода дифференциального уравнения второго порядка для j(x)

из условия, что выражение (23.1.2) должно быть стационарно относительно малых вариаций j(x), и используя затем это дифференциальное уравнение, чтобы показать, что величина (dϕ dx)2 − V(ϕ)

постоянна по x. Преимущество вывода, основанного на формуле (23.1.3), состоит в том, что сразу же видно, что решение (23.1.5) устойчиво относительно малых возмущений, сохраняющих плоский характер стенки, если не считать «нулевой моды», связанной с изменениями положения стенки x0. Добавив слагаемое (dϕ dy)2 + (dϕ dz)2 в подынтегральное выражение (23.1.2), можно

увидеть, что это решение также устойчиво относительно любых возмущений dj(x,y,z), если только dj(x,y,z) ® 0 ïðè x ® ±¥ è ôèê-

сированных y и Z.

Если имеются дискретные спонтанно нарушенные симметрии, то при нарушении этих симметрий в ранней Вселенной должны были образоваться доменные стенки. Если эти доменные стенки не исчезли, они должны приводить к большим искажениям наблюдаемой сейчас во Вселенной изотропии и однородности 5. Нам неизвестна