Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

.pdf
Скачиваний:
228
Добавлен:
15.08.2013
Размер:
49.93 Mб
Скачать

ɋɬɢɜɟɧ ȼɚɣɧɛɟɪɝ

ɄȼȺɇɌɈȼȺ ɌȿɈɊ ɉɈɅȿ

Ɍɨɦ 1

Ɉɫɧɨɜɵ

Ƚɥɚ ɵ

1 – 14

Перевод на русский язык А. В. Беркова под редакцией Б. Л. Воронова

ñисправлениями на 03.03.2001

ñиздания

The Quantum Theory of Fields

Volume I

Foundations

Steven Weinberg

University of Texas at Austin

CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS

© Steven Weinberg 1995

This book is in copyright. Subject to statutory exception and to the provisions of relevant collective licensing agreements,

no reproduction of any part may take place without the written permission of Cambridge University Press.

First published 1995

Reprinted 1996 (with corrections), 1998 (with corrections), 1999 (with corrections)

 

 

 

Посвящается ЛУИЗЕ

 

 

Содержание *

 

 

 

Предисловие .................................................................................................................................

 

 

 

XV

 

Обозначения ...............................................................................................................................

 

 

 

XXI

1.

Историческое введение ....................................................................................................

 

 

1

1.1. Релятивистская волновая механика ..............................................................................

 

3

 

Волны де Бройля.

Волновое уравнение ШредингераКлейнаГордона.

 

Тонкая структура.

Спин. Уравнение Дирака. Отрицательные энергии.

 

Принцип исключения. Позитроны.

Пересмотренный взгляд на уравне-

 

ние Дирака.

 

 

 

 

1.2. Рождение квантовой теории поля .................................................................................

 

19

 

Квантованные поля Борна, Гейзенберга, Иордана. Спонтанное

èçëó-

 

чение. Антикоммутаторы. Квантовая теория Гейзенберга-Паули.

 

Квантование дираковского поля методом Фарри-Оппенгеймера. Кван-

 

тование скалярного поля методом Паули-Вайскопфа. Ранние вычис-

 

ления в квантовой электродинамике. Нейтроны. Мезоны.

 

1.3. Проблема бесконечностей.......................................................................................................

 

 

40

 

Бесконечно большие сдвиги энергии электрона. Поляризация вакуума.

 

Рассеяние света на свете. Инфракрасные расходимости. Поиск аль-

 

тернатив. Перенормировка. Конференция в Шелтер Айленде.

Ëýì-

 

бовский сдвиг. Аномальный магнитный момент электрона. Формализ-

 

мы Швингера, Томонаги, Фейнмана и Дайсона.

Почему не раньше?

 

Библиография .....................................................................................................................................

 

 

 

51

 

Список литературы .......................................................................................................................

 

 

53

2.

Релятивистская квантовая механика .....................................................

 

63

2.1. Квантовая механика .....................................................................................................................

 

 

63

 

Лучи. Скалярные произведения.

Наблюдаемые.

Вероятности.

 

* Разделы, отмеченные звездочками, лежат несколько в стороне от основной линии изложения и могут быть опущены при первом чтении.

iv

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

2.2. Симметрии

..............................................................................................................................................

 

 

 

 

 

 

65

 

Теорема Вигнера.

Антилинейные и антиунитарные операторы. На-

 

блюдаемые.

Групповая структура.

Представления с точностью до

 

фазы. Правила суперпозиции.

Группы Ли.

Структурные констан-

 

ты. Абелевы симметрии.

 

 

 

 

 

 

2.3. Квантовые ..........................................................................преобразования Лоренца

 

 

72

 

Преобразования Лоренца. Квантовые операторы.

Инверсии.

 

2.4. Алгебра Пуанкаре ...........................................................................................................................

 

 

 

 

 

 

76

 

Jμν è Pμ. Свойства преобразований.

Коммутационные соотношения.

 

Сохраняющиеся и не сохраняющиеся генераторы.

Конечные транс-

 

ляции и вращения.

Свертка ИнонюВигнера.

Галилеевская алгебра

2.5. Одночастичные .....................................................................................................состояния

 

 

 

 

 

82

 

Правила преобразований.

Бусты.

Малые группы. Нормировка.

 

Массивные частицы. Безмассовые частицы.

Спиральность и поля-

 

ризация.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.6. Пространственная ....................................инверсия и обращение времени

98

 

Преобразование Jμν è Pμ. Унитарный оператор P и антиунитарный

 

оператор T.

Массивные частицы

Безмассовые частицы. Крамеров-

 

ское вырождение.

Электрические дипольные моменты.

 

2.7. Проективные .......................................................................................представления *

 

 

 

 

108

 

Два-коциклы.

Центральные

заряды.

Односвязные группы

 

В группе

Лоренца нет центральных зарядов.

Двусвязность группы

 

Лоренца.

Накрывающие группы.

Пересмотренные правила супер-

 

отбора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение ..........................А. Теорема о представлении симметрии

120

 

Приложение ...В. Групповые операторы и гомотопические классы

127

 

Приложение ...............С. Инверсии и вырожденные мультиплеты

133

 

Задачи.......................................................................................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

139

 

Список литературы ....................................................................................................................

 

 

 

 

 

140

3.

Теория рассеяния ................................................................................................................

 

 

 

 

 

142

3.1. Ин- и аут-состояния .................................................................................................................

 

 

 

 

 

143

 

Многочастичные состояния.

Волновые пакеты.

Асимптотические

 

условия в начальный и конечный моменты времени. Уравнения Лип-

 

пмана–Швингера.

Главные значения и дельта-функции.

 

3.2.

S-матрица .............................................................................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

150

 

Определение S-матрицы.

Т-матрица. Борновское приближение.

 

Унитарность S-матрицы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

3.3. Симметрии S-матрицы ...........................................................................................................

 

 

154

 

Лоренц-инвариантность. Достаточные условия.

Внутренние симмет-

 

ðèè.

Электрический заряд, странность, изоспин, SU(3). Сохранение

 

четности. Внутренние четности. Четность пиона. Несохранение чет-

 

ности.

Инвариантность по отношению к обращению времени.

Теоре-

 

ма Ватсона.

Несохранение PT. C, CP, CPT.

Нейтральные K-мезоны.

 

Несохранение CP.

 

 

 

 

3.4. Вероятности и сечения ...........................................................................................................

 

 

178

 

Вероятности в ящике.

Вероятности распадов.

Сечения.

Лоренц-

 

инвариантность. Фазовое пространство. Диаграммы Далица.

3.5. Теория возмущений ...................................................................................................................

 

 

 

188

 

Старая теория возмущений. Теория возмущений, зависящих от времени.

 

Хронологически упорядоченные произведения.

Ряды Дайсона.

Лоренц-

 

инвариантные теории.

Борновское приближение искаженных волн.

3.6. Следствия унитарности..........................................................................................................

 

 

195

 

Оптическая теорема.

Дифракционные пики.

СРТ соотношения

 

Вероятности распадов частиц и античастиц.

Кинетическая теория.

 

Н-теорема Больцмана.

 

 

 

 

3.7. Разложения по парциальным волнам * ................................................................

 

 

201

 

Дискретный базис. Разложение по сферическим гармоникам.

 

Полные упругие и неупругие сечения. Фазовые сдвиги. Пороговое пове-

 

дение: экзотермические, эндотермические и упругие реакции.

Длина

 

рассеяния.

Упругие и неупругие сечения при больших энергиях.

3.8.

Резонансы * .........................................................................................................................................

 

 

 

211

 

Причины появления резонансов: слабая связь, барьеры, комп-

 

лексность. Энергетическая зависимость. Унитарность. Формула Брей-

 

та–Вигнера.

Виртуальные резонансы. Фазовые сдвиги в резонансе.

 

Эффект Рамзауера–Таунсенда.

 

 

 

 

Задачи.......................................................................................................................................................

 

 

 

 

220

 

Список литературы ....................................................................................................................

 

 

 

221

4.

Принцип кластерного разложения .............................................................

 

 

225

4.1. Бозоны и фермионы ..................................................................................................................

 

 

 

226

 

Перестановочные фазы. Статистика Бозе и Ферми. Нормировка для

 

тождественных частиц.

 

 

 

4.2. Операторы рождения и уничтожения ....................................................................

 

 

230

 

Операторы рождения

Вычисление сопряженного оператора.

Вывод

 

соотношений коммутации и антикоммутации.

Представления общих

 

операторов.

Гамильтониан свободной частицы.

Лоренцовские преобра-

vi

Содержание

зования операторов рождения и уничтожения. С, Р, Т свойства опера-

торов рождения и уничтожения.

 

4.3. Кластерное разложение и связные амплитуды ...........................................

236

Отсутствие корреляции удаленных экспериментов.

Связные ампли-

туды. Подсчет дельта-функций.

 

4.4. Структура взаимодействия ................................................................................................

243

Условия кластерного разложения. Графический анализ. Двух- частичное рассеяние порождает трехчастичное рассеяние.

Задачи.......................................................................................................................................................

252

Список литературы ....................................................................................................................

253

5. Квантовые поля и античастицы ........................................................

254

5.1. Свободные поля..............................................................................................................................

 

254

Поля рождения и уничтожения.

Лоренцовские преобразования коэф-

фициентных функций. Построение коэффициентных функций Исполь-

зование кластерного разложения.

Причинность как следствие лоренц-

инвариантности. Античастицы как следствие причинности. Нормальное

упорядочение.

 

 

5.2. Причинные скалярные поля .............................................................................................

 

266

Поля рождения и уничтожения. Требование причинности. Скаляр-

ные поля описывают бозоны. Античастицы.

Р, С, Т преобразования. p0.

5.3. Причинные векторные поля .............................................................................................

 

275

Поля рождения и уничтожения. Спин нуль или спин единица.

Векторные поля описывают бозоны.

Векторы поляризации. Требование

причинности. Античастицы.

Масса нуль. Р, С, Т преобразования.

5.4. Дираковский формализм ......................................................................................................

 

 

283

Представление Клиффорда алгебры Пуанкаре.

Преобразование матриц

Дирака. Размерность дираковских матриц. Явный вид матриц. Матрица

g5. Псевдоунитарность.

Комплексное сопряжение и транспонирование.

5.5. Причинные дираковские поля ........................................................................................

 

292

Поля рождения и уничтожения.

Дираковские спиноры. Требование при-

чинности. Дираковские поля описывают фермионы. Античастицы. Про-

странственная инверсия.

Внутренняя четность пар частица–античастица.

Зарядовое сопряжение. Внутренняя С-фаза пары частица–античастица.

Майорановские спиноры. Обращение времени.

Билинейные коварианты.

Взаимодействие при бета-распаде.

 

 

5.6. Общие неприводимые представления

 

однородной группы Лоренца ............................................................................................

 

 

305

Изоморфизм группе SU(2) Ä SU(2).

(А, В) представление знакомых

 

 

vii

 

полей. Поле Рариты–Швингера.

Пространственная инверсия.

5.7. Общие причинные поля * ....................................................................................................

310

 

Построение коэффициентных функций. Скалярные плотности гамиль-

тонианов. Требование причинности

Античастицы Общая связь меж-

 

ду спином и статистикой. Эквивалентность различных типов полей.

 

Пространственная инверсия. Внутренняя четность произвольных пар

 

частица–античастица. Зарядовое сопряжение. Внутренняя С-фаза

 

античастиц. Зарядово-самосопряженные частицы и соотношения дей-

 

ствительности. Обращение времени. Проблемы высших спинов.

5.8. СРТ теорема .......................................................................................................................................

326

СРТ-преобразование скалярного, векторного и дираковского полей. СРТ-преобразование скалярной плотности взаимодействия. СРТ-

преобразование общих неприводимых полей.

СРТ-инвариантность

гамильтониана.

 

5.9. Поля безмассовых частиц ...................................................................................................

328

Построение коэффициентных функций Отсутствие векторных полей со спиральностью ± 1. Необходимость калибровочной инвариантности. Антисимметричные тензорные поля со спиральностью ± 1. Ñóì-

мы по спиральностям.

Построение причинных полей со спиральнос-

òüþ ± 1.

Гравитоны.

Ñïèí ³ 3. Общие неприводимые безмассовые

ïîëÿ.

Единственность спиральностей для полей (А, В).

 

Задачи.......................................................................................................................................................

 

 

 

340

Список литературы ....................................................................................................................

 

 

341

6. ФЕЙНМАНОВСКИЕ ПРАВИЛА .................................................................................

344

6.1. Вывод правил ...................................................................................................................................

 

 

345

Спаривания. Теорема Вика.

Правила в координатном представле-

íèè.

Комбинаторные множители. Знаковые множители.

Примеры.

6.2. Вычисление пропагатора ......................................................................................................

 

363

Полином в числителе.

Фейнмановский пропагатор для скалярных

полей.

Дираковские поля. Общие неприводимые поля.

Ковариант-

ные пропагаторы. Нековариантные слагаемые в хронологически упо-

рядоченных произведениях.

 

 

6.3. Правила в импульсном представлении .................................................................

371

Переход в импульсное представление. Фейнмановские правила. Под-

счет независимых импульсов.

Примеры. Петлевые множители.

6.4. Выход с массовой оболочки ..............................................................................................

 

379

Токи. Амплитуды вне массовой поверхности являются точными матричными элементами операторов в гейзенберговском представлении.

viii

 

Содержание

 

Доказательство теоремы.

 

 

Задачи.......................................................................................................................................................

384

 

Список литературы ....................................................................................................................

385

7.

Канонический формализм .....................................................................................

386

7.1.

Канонические переменные .................................................................................................

387

Канонические перестановочные соотношения. Примеры: действительное скалярное, комплексное скалярное, векторное, дираковское поля

.Гамильтонианы свободных частиц. Лагранжианы свободных частиц.

Канонический формализм для взаимодействующих полей.

7.2. Лагранжев формализм ............................................................................................................

395

Уравнения движения Лагранжа. Действие.

Лагранжиан. Уравнения

Эйлера–Лагранжа. Действительность действия. От лагранжианов к

гамильтонианам

Новый подход к скалярному полю. Переход от пред-

ставления Гейзенберга к представлению взаимодействия. Вспомога-

тельные поля.

Интегрирование по частям в действии.

 

7.3. Глобальные симметрии ..........................................................................................................

 

 

406

Теорема Нетер.

Явное выражение для сохраняющихся величин.

Явное выражение для сохраняющихся токов.

Квантовые операторы

симметрии.

Тензор энергии–импульса. Импульс.

Внутренние сим-

метрии. Коммутаторы токов.

 

 

 

7.4. Лоренцевская инвариантность .......................................................................................

 

 

418

Òîêè Mρμν .

Генераторы Jμν . Тензор Белинфанте.

Лоренц-инвари-

антность S-матрицы.

 

 

 

7.5. Переход к представлению взаимодействия. Примеры ..........................

424

Скалярное поле со связью с производными.

Векторное поле.

Äèðà-

ковское поле.

 

 

 

 

 

7.6. Связи и скобки Дирака ..........................................................................................................

 

 

433

Первичные и вторичные связи. Скобки Пуассона.

Связи первого и

второго рода.

Дираковские скобки. Пример: действительное вектор-

íîå ïîëå.

 

 

 

 

 

 

7.7. Переопределения полей

 

 

 

и несущественные константы взаимодействия * ........................................

 

442

Лишние параметры. Переопределение полей. Пример: действи-

тельное скалярное поле.

 

 

 

Приложение. Вычисление скобок Дирака

 

 

 

из канонических коммутаторов ....................................................................................

 

 

444

Задачи.......................................................................................................................................................

 

 

 

 

 

450

Список литературы ....................................................................................................................

 

 

451

 

ix

8. Электродинамика ................................................................................................................

453

8.1. Калибровочная инвариантность ...................................................................................

454

Необходимость константы для сохраняющегося тока.

Оператор за-

ряда. Локальная симметрия. Действие для фотона. Уравнения поля

Калибровочно инвариантные производные.

 

8.2. Связи и калибровочные условия .................................................................................

459

Первичные и вторичные связи. Связи первого рода.

Фиксация ка-

либровки. Кулоновская калибровка.

Решение для А0.

 

8.3. Квантование в кулоновской калибровке .............................................................

 

 

463

Остающиеся константы относятся ко второму роду.

Вычисление ди-

раковских скобок в кулоновской калибровке. Построение гамильто-

ниана.

Кулоновское взаимодействие.

 

 

 

 

8.4. Электродинамика в представлении взаимодействия .............................

468

Гамильтонианы свободного поля и взаимодействия. Операторы в кар-

тине взаимодействия.

Разложение по нормальным модам.

8.5. Фотонный пропагатор

.............................................................................................................

 

 

 

472

Полином в числителе.

Отделение нековариантных слагаемых. Со-

кращение нековариантных слагаемых.

 

 

 

8.6. Правила Фейнмана для спинорной электродинамики ..........................

475

Диаграммы Фейнмана.

Вершины.

Внешние линии.

Внутренние

линии.

Разложение по α /4 π. Круговая, линейная и эллиптическая

поляризация.

Поляризация и суммы по спинам.

 

 

8.7. Комптоновское рассеяние ....................................................................................................

 

 

 

484

S-матрица.

Дифференциальное сечение.

Кинематика.

Суммы по

спинам. Следы. Формула Клейна–Нишины. Поляризация при том-

соновском рассеянии.

Полное сечение.

 

 

 

8.8. Обобщение: калибровочные поля как р-формы ..........................................

 

494

Обоснование. р-формы. Внешние производные. Замкнутые и точные р-

формы. Калибровочные поля в виде р-форм

Дуальные поля и токи в D

пространственно-временных измерениях. Калибровочные поля в виде

р-форм эквивалентны полям в виде (D – p – 2)-форм.

В четырех изме-

рениях нет ничего нового.

 

 

 

 

Приложение. Следы ...................................................................................................................

 

 

 

 

498

Задачи

 

 

 

 

502

Список ....................................................................................................................литературы

 

 

 

 

503

9. Методы функционального интегрирования ...............................

504

9.1. Общая формула для функционального интеграла ....................................

507

Амплитуды перехода для бесконечно малых интервалов.

Амплиту-

x Содержание

ды перехода для конечных интервалов. Интерполирующие функции. Матричные элементы хронологически упорядоченных произведений. Уравнения движения.

9.2. Переход к S-матрице ...............................................................................................................

 

 

 

517

Волновая функция вакуума.

Добавка iε.

 

 

9.3. Лагранжева формула для функционального интеграла ......................

523

Интегрирование по импульсам.

Скаляры со связью с производными.

Нелинейная сигма-модель.

Векторное поле.

 

 

9.4. Вывод фейнмановских правил

 

 

 

с помощью функциональных интегралов...........................................................

 

531

Выделение действия для свободных полей.

Гауссово интегри-

рование. Пропагаторы: скалярные, векторные поля, связь с произ-

водной.

 

 

 

 

 

9.5. Функциональные интегралы для фермионов

................................................

536

Антикоммутирующие с-числа.

Собственные векторы канонических

операторов.

Суммирование по состояниям с помощью интегрирова-

ния по Березину. Замена переменных. Амплитуды перехода для

бесконечно малых интервалов

Амплитуды перехода для конечных

интервалов.

Вывод фейнмановских правил

Фермионный пропага-

тор. Вакуумные амплитуды как детерминанты.

9.6.Функциональная формулировка квантовой электродинамики ... 557 Функциональный интеграл в кулоновской калибровке. Новое введение a0. Переход к ковариантным калибровкам.

9.7. Разные статистики * .................................................................................................................

563

Приготовление ин- и аут-состояний. Правила композиции.

 ïðî-

странствах с числом измерений больше 3 — только бозоны и фермионы.

Анионы в двух измерениях.

 

Приложение. Многократные гауссовы интегралы .....................................

567

Задачи.......................................................................................................................................................

571

Список литературы ....................................................................................................................

572

10. Непертурбативные методы ..................................................................................

574

10.1. Симметрии ...........................................................................................................................................

575

Трансляции. Сохранение заряда. Теорема Фарри.

 

10.2. Полология.............................................................................................................................................

579

Полюсная формула для общей амплитуды. Вывод полюсной форму-

лы. Обмен пионами.

 

10.3. Перенормировка поля и массы ......................................................................................

588

Редукционная формула Лемана–Симанчика–Циммермана.

Перенор-