Математика практикум

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Омский государственный институт сервиса Кафедра высшей математики и информатики

Н.В. Алексеенко, Р.И. Воробьева, О.П. Диденко, О.В. Кириченова

МАТЕМАТИКА

ПРАКТИКУМ

ОМСК 2001

4

Математика: Практикум/ / Н.В. Алексенко, Р.И. Воробьева, О.П. Диденко, О.В. Кириченова. Омский государственный институт сервиса, 2001г. – 108 с.

Данное издание предназначено для использования на практических занятиях и для самостоятельной работы студентов. В него включены задачи по всем основным разделам стандартного курса математики.

Практикум составлен с учетом государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования и рабочих программ по курсу «Математика».

Практикум предназначен для студентов экономического и худо- жественно-технологического факультетов, изучающих математику.

Разделы 1, 2 составлены Н. В. Алексенко, разделы 3 - 6 – О.П.Диденко, разделы 7, 11 – О. В. Кириченовой, разделы 8 - 10 – Р.И.Воробьевой.

Библиогр.: 17 назв. Табл. 45. Рис. 15.

Рецензент к.т.н., доц. О.А. Попова Ответственный за выпуск зав. кафедрой ВМ и И О.А. Попова

Рекомендовано заседанием кафедры ВМ и И Протокол № 15 от 16.05.01 г.

Утверждено научно-методическим советом спец. 060500, протокол № 10 от 20.06.2001 г.; спец. 060800, протокол № 10 от 18.05.2001 г.

РАЗДЕЛ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

5

Операции над матрицами

				Свойства операций над матрицами
1.	A	B	B	A.		5.	(A B) A B .
2.	(A	B)	C A		(B C) .	6.	.
3.	(A	B)C		AC	BC.	7.	A(BC) (AB)C .

	4. A(B C) AB AC .										8.	АТ	Т	А .
	1.1. Вычислить матрицу							D	(AB)Т			C2 , где Т – знак транспони-
	рования:
		3 4 2						2	0				1	3
	1) A				,		B 1 3 ,				C				;
		1	0	5				0	5			0		4
		1 2 0						1	0			0 1
	2) A					,	B	1 2 ,			C			;
		1	0	3				1	1			2	3
		2	0				3 4 2					1	1	0
	3) A 1 3 ,					B				,	C 0 0 2 ;
		0	5				1	0	5			1	0	3
		1	0									0	1	2
							1	2	0
	4) A	1 2 , B								, C		1 0 1 .
							1 0 3
		1	1									1	3	4

1.2. Вычислить матрицу D = CАВ:

1	2	3	1
1) A 1 0 2 ,			B 2 , C 2 0 5 ;
4	5	3	1

6

				0	1	2				3
	2) A 1 3 1 , B									5 , C 12 0 0 .
				3	4	0				2
1.3.			Даны				матрицы				А,	В.			Вычислить			матрицу
X A2			AB BA 3E , где						Е - единичная матрица соответствующей
размерности.
	№	Матрица А						Матрица В					Матрица А				Матрица В
			3		1	0		1 0		0			3		1	1	3	0	0
	1		2	0 1				0 3		0		6	0	2 –1			0 –3 0
			1	1 3				0 0		2			1	0 –2			0	0 1
			1		4	1		3	0		0		0		0	3	1	0	0
	2		2		1	0		0	5		0	7	1		2	1	0	1	0
			–1		0 0			0	0		1		0		0	1	0	0	2
			1		0	1		4	0		0		1		0	0	3	0	0
	3		4 1			0		0 –1 0				8	0		3	4	0	5	0
			2		0	1		0	0		2		0		1	5	0	0	1
			2		1	1		5	0		0		2		5	0	4	0	0
	4		–1 3 0					0	1 0			9	1	4 0			0	3	0
			0	1 –2				0	0 –2				0	0 –1			0	0	2
			0 1			2		–1 0 0					2		1	0	1	0	0
	5		3		0	1		0 2		0		10	0		2	0	0	2	0
			0 –1 –2					0 0		4			0		0	4	0	0	3

1.4. Вычислить А 3 :

1	1		1		1	0	0
1) A 3		1 2		;	2) A 0	2	0 .
2		1	0		0 0		3

1.5. Предприятие выпускает продукцию двух видов: P1 , P 2 и использует сырье трех типов: S1 , S2 , S3 . Нормы расхода сырья характеризуются матрицей A { i j} , где i j (i = 1,2; j = 1, 2, 3) – количество единиц сырья типа S j , необходимого для производства единицы продукции вида Pi . План выпуска продукции задан матрицейстрокой В. Стоимость единицы каждого типа сырья задана

					7
матрицей-столбцом С.				Определить затраты сырья, необходимые
для планового выпуска продукции, и общую стоимость сырья.
	№	Матрица			А	Матрица В		Матрица С
		1	2	3				10
	1					100	150	20
		4	0	5
								10
		0	1	2				10
	2					50	100	10
		1	1	0
								10
		2	3	0				10
	3					200	100	20
		1	0	1
								30
		0	1	1				20
	4					100	100	10
		1	2	4
								10
		1	2	3				10
	5					150	100	10
		0	1	1
								10
		2	1	4				10
	6					100	200	10
		1	1	2
								10
		1	1	1				40
	7					100	150	10
		2	3	0
								10
		2	5	0				10
	8					100	50	10
		1	0	4
								22
		5	0	1				30
	9					50	50	10
		0	3	1
								20
		4	1	0				5
	10					200	300	10
		3	2	1
								20

1.6. Записать в матричной форме системы уравнений, пользуясь понятием произведения и равенства матриц:

						8
1)	2x	3y	1,		2)	y	4z	0,
	3x	4 y	2;			2 y	3z	1;
	x	4 y	2z	11,		x	y	z	2,
3) 2x		y	z	9,	4) 3x		y	4z	13,
	x 2 y 3z 7;						9 y 5z 5.

Определители и их свойства

1.7. Вычислить определители 2-го и 3-го порядков:

		1		3										2				1													Sinx
1)						;					2)								;			3)		Cosx											;
		2		4										3 0										Sinx						Cosx
4)			11	9				; 5)			123				0			;	6)			1	2			3		; 7)				2		2			1		;
																						1	1			2						3		1			2
			0	2							10				1							1	2			2						1		1			1
				1				3					1		0				0				2			10				9
8)			b	1				2	; 9)				0		3				0	; 10)			0			1					0		.
			c	3				1					0		0				4				0			0				5
	1.8. Доказать, что определитель диагональной матрицы равен
произведению								элементов главной диагонали.
	1.9. Решить уравнение																	det A				0 для заданной матрицы A.
	№							1						2								3								4											5
	Матрица					х		3				2–х			1				1 х х							3–х 1								6					1–х 0 2
																			х 1 х									3 2–х 6											1 1–х –1
	A				3			х			2			3–х
																			х х –2						–9 –2 –7–х															0 0 2–х
	1.10. Найти миноры и алгебраические дополнения всех элементов
матрицы В.
	№							1				2							3							4								5							6
																		1	2 –1				2			1 0					2			1		3 4				0 1 2		1
	Матрица				1			2				–1			0																1			3		4 2				1 1 1 0
	В					3 – 4						5 7						2	3			1	–1			3 4					3 4 2 1									2 3 4 1
																		4 –2				3	1 –1 1
																															4			2		1 3				1	0 0	1

9

1.11. Вычислить определители следующих матриц разложением по элементам целесообразно выбранной строки (столбца).

	№		1				2				3				4
		1	0	3 1	2	3 –1 1			1 2 2 0				4	6 –2		4
	Матрица	0	1 –1 2		1	0 –1		2	–1 0 1 –3				1 2 –3 1
		2 –1		1 0	0 –3 0			1	0	0 –2		1	4 –2		1	0
		–1	0	1 4	1	2	3	0	0	3	1	1	6	4	4	6

1.12. Вычислить определитель матрицы двумя способами - разложением по первой строке и последнему столбцу.

	№		1			2	3		4				5
		1 0	2	0	–1 0 –2 0		2 1 0 0	0 0 1 2			1	2	0	0
	Матрица	3 1	0	3	1 –3 0 0		1 0 3 1	1 1 –2 1			3 –1 1 2
		5 0 –2 –1			2 1 1 –1		2 2 4 –2	3 0 2 0			1	4 –2 0
		1 1	4	0	3 2 4 2		1 –1 0 0	0 1 –1 0			5	0	0	1
	№		6			7	8		9			10
		3 1	0 0		2 0	9 1	1 –1 0 0	0	0 –1 1		0	2	0 –1
	Матрица	–2 –1 3 0			1 4	0 0	2 –2 5 1	3	1	2 0	3	0 –1 2
		1 4	0 1		–1 3 2 0		–1 0 3 2	0 –2		1 0	5	1	0	0
		0 0	1 2		5 1	0 –2	4 1 0 0	5	0	0 3	0 –1 –2 0

Обратная матрица. Ранг матрицы

1.13. Найти обратные матрицы для следующих матриц.

	№	1		2			3		4		5
	Матрица	1	2	3	4	Cosx	–Sinx	1	2	0		2
		3	4	5	7	Sinx	Cosx	–1 0		3 –4
	№	7		8			9	10			11
	Матрица	–1	1	2 5	7	–3 2 4		1	2 –1	1	2	3
				6 3	4	2 1 0		4	7 –2	0	1	2
		2	5
				5 –2 –2		1 0 1		2	3 0	0	0	1

10

	№					13			14				15								16					17
					3 2 1			1 –2 3				4	7	0	0				1	1		1		1	1 2 3 4
												1 2 0 0						1 1 –1 –1							0 1 2 3
	Матрица				2 3 1			2	3 –4
												0 0 7 –4						1 –1 1 –1							0 0 1 2
					2 1 3			3 –2 –5
												0 0 5 –3						1 –1 –1 1							0 0 0 1
	1.14. При каких значениях												матрица А не имеет обратной:
						4	1						1	0
	1) A 2 5							1 ; 2) A 0 1 5 .
						0	1						2	3		1
	1.15. Определить ранг матрицы В.
	№					1			2				3								4					5
																	2 0 3						5 1		0 2 –1 3
	Мат-			2		5 6	1 2 1 4					1 3 7		2 5											5 3–3 –1
																	4 3 1						7 5
	рица				4 –1 5			0 5–1 4				–1 0 4		8 3											–1 0 1 0
																		0 3 –5 –3 3
	В			2 –6 –1			–1 3 4 6				3 6 10 –4 7														1 1 3 4
																		2 3 –2						2 4
																									5 6 0 6
							Системы линейных уравнений
	1.16. Решить матричное уравнение:
	1) X			3		2	2		4	;				2)		4			6		X			2 5		;
				5		4	6		8							2			1					1	3
				5		9	10		42			0	0			1			2		3				7	5	7
	3) X					3 3 6			0 42 0 ; 4)								1 1 2 X								2 2 1 ;
				7		21	28		0	0		42				3			2		1				11	1	7
5)		2		1		X	3 2			2		4	;
		3		2		5	3		3			1

								11
		1	2	3		2	5	7	1	0	0
6)		2	3 4 X 4 9					10	0	1 0		;
		1	1	2		1	2	2	0	0	1
	2		1		1 0 7				4 3			2	8
7)				X				; 8) X				1 1 .
	1	1			8	1	2		1	1		0	1

1.17. Доказать, что система линейных уравнений АХ = В имеет единственное решение и найти его матричным методом, по формулам Крамера и методом Гаусса.

№		А		В
	4	2	3	5
1	3	1	2	8
	1	5	2	4
	5	1	3	2
2	2	3	1	4
	1	2	3	5
	1	2	4	9
3	2	3	1	2
	3	1	5	15
	4	5	7	6
4	3	2	9	4
	1	2	3	0
	2	1	1	7
5	1	1	1	2
	2	1	3	11
	1	1	3	0
6	2	2	1	7
	3	2	5	0
	2	5	8	8
7	4	3	9	9
	2	3	5	7

12

	1	3	5	3
8	7	3	2	3
	1	2	3	9
	2	5	7	4
9	3	4	2	9
	4	7	9	8
	4	3	2	9
10	1	3	5	0
	3	2	1	7

1.18. Найти множество решений однородной системы АХ = 0,где x1

Xx2 , 0 - нулевой вектор.

x3

x4

№.		А		№		А
	3 –8 –7 –1				3 –1 2 1
1	–1	7 –5 –1,5		2	–4	5 –3 –1
	1	6 –3	5		2	3	1	3
	3 –1 4 2				–1 –3 1 –8
3	–1 –2 –7 –1			4	2 –4 5 –12
	5 –4 –1		3		4	2	3 2
	1 8 –6 –2				2 1 –4			2
5	–2 –3 1 –1			6	4 –9 2			4
	–3 –2 –4 –4				–1 5 –3 –1
	3	1 1 –3			2 –4 –1 1
7	1	3 –2 2		8	1 –7 –6 –3
	5	7 –3 1			–3 1 –4 –5

1.19. Методом Гаусса найти общее решение и фундаментальную систему решений для следующих систем уравнений: