пособие по физике формат pdf / Глава 3. Электростатика

Глава 3. Электростатика

В данном разделе физики рассматриваются взаимодействия неподвижных электрических зарядов в вакууме и изотропных (однородных) средах. Классическая физика природу этих взаимодействий никак не объясняет. Механизм возникновения электрических (кулоновских) сил между заряженными телами объясняет лишь баллистическая теория Вальтера Ритца [3], которая пока считается весьма спорной. Поэтому классическую электростатику следует рассматривать как феноменологическую науку, для которой достаточно признания самого факта существования кулоновских сил, без рассмотрения механизмов их возникновения.

§3.1. Закон Кулона. Напряженность электрического поля

Электрический заряд это физическая скалярная величина, которой могут обладать тела (электрически заряженные) и которая создаёт электростатическое поле вокруг заряженного тела подобно тому, как масса тела создаёт вокруг себя гравитационное поле. В системе единиц СИ эта величина измеряется в кулонах (Кл). Впервые понятие «электрический заряд» было введено Шарлем Кулоном1 в 1785 году при формулировании открытого им закона природы, который сегодня носит его имя.

По закону Кулона, модуль силы взаимодействия между двумя точечными неподвижными электрическими зарядами пропорционален произведению модулей этих зарядов и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними

	q q		2
F k	1			,
	r	2

Здесь q1 и между зарядами;

	где коэффициент пропорциональности k				1	.
					4
					0
					(3.1)
	q	2	– абсолютные значения зарядов;	r расстояние

относительная диэлектрическая проницаемость

1 Шарль Огюстен де Кулон (Charles-Augustin de Coulomb, 1736 – 1806) —

французский военный инженер и учёный-физик, исследователь электромагнитных и механических явлений; член Парижской Академии наук.

105

среды (в вакууме

1

);

0

электрическая постоянная2, равная в

международной системе единиц СИ

			1					1				12 Кл	2	с		2
											8,854 10						.
	0		2		7					2					3
		4 с		10					c			кг		м
								0

(3.2)

Заряды могут быть разных знаков – положительными и отрицательными. Заряды одного знака отталкиваются, а разного знака

– притягиваются друг к другу с силой

	q q		2
F k	1			.
	r	2

Электрический заряд любой системы тел состоит из целого числа элементарных зарядов, равных примерно 1,6·10−19Кл в СИ. Наименьшей по массе устойчивой в свободном состоянии частицей, имеющей один отрицательный элементарный электрический заряд, является электрон (его масса равна 9,11·10−31 кг). Атомы и молекулы электрически нейтральны. Но если к электрически нейтральной

системе частиц

добавить

n

электронов, то она будет иметь

отрицательный заряд

q n 1,6 10	19	Кл.

При удалении из

электрически нейтральной системы

n

электронов она получит

положительный заряд

q n 1,6 10	19	Кл.

Величина заряда в 1 Кл очень велика. Если взять две материальные точки с зарядом в один кулон, то для того, чтобы удержать их на расстоянии одного метра друг от друга, потребуется столько же силы, сколько нужно для поднятия тела на Земле массой в миллион тонн.

Вокруг неподвижного электрического заряда Q существует

электрическое поле распределения кулоновской силы	F	F(x, y, z).

Направление этой силы лежит на прямой взаимодействия электрического заряда Q с зарядом q, помещенным в поле заряда Q.

Напряженность этого электрического поля определяется величиной
	F	, откуда сила, действующая на заряд q, помещенный в
E(x, y, z)	q

поле E, равна

F	qE.

Тогда напряженность поля точечного заряда с учётом (3.1) равна

2 физический смысл этой величины раскроется позднее – после изложения понятий потенциала электрического поля и электроёмкости.

106

где

r

радиус-вектор

E	Q			,
			r
	4 0 r 2 r
произвольной точки				поля

(3.3)

E E(x, y, z)

в

системе координат с центром в точке расположения заряда Q. Иначе

говоря, направление напряжённости можно задать силовыми линиями поля, исходящими из точечного заряда (заходящими в точечный заряд) Q, если этот заряд положительный (рис. 3.1а) (отрицательный

(рис. 3.1б)).
а)	б)

Рис. 3.1. Направление силовых линий поля точечного заряда Q
Если электрическое поле образованно несколькими точечными
зарядами qi , то		его вектор	напряженности	E(x, y, z)	в	точке
M (x, y, z)
	равен	векторной	сумме напряженностей полей			Ei ,

созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности (принцип

суперпозиции электрических полей):

	n
E		i
		E .
	i 1

В системе СИ

напряжённость электрического поля измеряется в ньютонах на кулон

	Н	или в вольтах на метр			В
					.
	Кл				м
		1
		q	А
			r
		2	3
		q	q

Рис. 3.2

q	q
	l

Рис. 3.3. Электрический диполь

107

Пример 1. Электростатическое поле создано системой точечных

зарядов

q, q, q,

расположенных в вершинах квадрата со

стороной a (рис. 3.2).

Определить напряжённость электрического поля в точке А. Решение. На рис. 3.2 стрелочками указано направление полей

точечных зарядов 1, 2 и 3 относительно точки А с учётом того, что

силовые линии поля исходят из

q

и заходят в q.

Результирующая напряжённость поля в точка А будет равна

сумме

Eрез

E1 E2 E3.

Модули этих

напряжённостей

E

E

k

q

, E

k

q

k

q

k

q

1

E .

1

3

a

2

2

r

2

a

2

a

2

2a

2

2

1

Суммарное

поле

от

точек

1

и 3

E13

E1

E3

по правилу

сложения векторов будет равно диагонали квадрата и направлено к

точке 2, т.е. противоположно направлению

вектора

E2.

Поэтому

модуль

результирующего

поля

в

точке

А

равен

E

2E E

E

2

1

q

2

1

а

направление

рез

2

k

,

1

1

2

a

2

2

вектора напряжённости E рез

в этой точке противоположно r.

Два разноименных одинаковых по числовому значению

точечных заряда, находящихся на расстоянии

l

друг от друга (рис.

3.3), называются электрическим диполем.

Точки, в которых расположены заряды, называются полюсами

диполя.

Вектор

l ,

направленный от отрицательного полюса к

положительному,

модуль

которого равен

l,

называется

плечом

диполя. Величина pe ql

называется дипольным моментом.

Для расчёта взаимодействия неточечных зарядов вводят понятия:

1. Линейная плотность заряда для равномерно заряженной нити

dq , dl

где dl элемент длины нити и dq его заряд;

2. Поверхностная плотность заряда для равномерно заряженной

поверхности dSdq , где dS элемент площади поверхности и dq его заряд.

108

Модуль напряженности поля точечного заряда и вне равномерно

заряженного шара равен

	E	Q	.
		4 r 2
		0

	Модуль напряженности		поля
	заряженной нити равен	E		,
			2 r
			0

заряда, а вектор напряженности этого заряженной нити.

бесконечной равномерно

где	линейная плотность

поля E перпендикулярен

Модуль напряженности	поля			бесконечной равномерно
заряженной плоскости равен	E				, где поверхностная
		2
			0
плотность заряда, а вектор напряженности электрического поля						E

перпендикулярен заряженной плоскости.

Модуль напряженности поля между двумя разноимённо

заряженными	бесконечными	плоскостями				(напряжённость	поля
внутри плоского конденсатора)		равен	E			.
					0
Модуль	напряженности	поля,	создаваемого диполем				на

							p
	перпендикуляре к			середине его оси,	равен	E	e	,
							4 r3
							0
	p	ql	модуль	электрического	дипольного момента,
	e

расстояние от центра диполя до данной точки.

Модуль напряженности поля, создаваемого диполем

				p
	продолжении его плеча l,	равен	E	e	(r l).
				2 r3
				0

где

r

на

Вопросы для самоконтроля

1.Что такое электрический заряд?

2.Сформулируйте закон Кулона.

3.Что такое напряжённость электрического поля?

4.Какое направление имеют силовые линии электрического поля?

109

5.В чём заключается принцип суперпозиции для электрического поля, созданного произвольной системой точечных зарядов?

6.Чему равна напряженность поля внутри плоского конденсатора?

§3.2. Работа силы по перемещению заряда в электростатическом поле. Потенциал электрического поля

При перемещении точечного заряда			q	в электрическом поле
напряжённостью	E	на бесконечно малую величину			dl	совершается

элементарная работа, равная скалярному произведению этих векторов
dA Fdl	qEdl qEdl cos ,	где угол между векторами E и
dl . Величина dl cos dr проекция перемещения на направление

силовой линии (рис. 3.4).

F

dr

q

dl

2

1

Q

Рис. 3.4

Тогда работа по перемещению заряда

q

из точки 1 в точку 2 равна

A	2	qEdr	2	qQ	2	dr	qQ	2 dr				qQ		1		1
										2
				4 r			4					4		r		r	.
	1		1					1	r
				0			0					0		1		2

(3.4)

Данный результат говорит о том, что работа по перемещению

заряда в электростатическом поле не зависит от формы кривой

110

перемещения, а зависит лишь от начального

r1

и

r2

конечного

положений заряда при данном перемещении. Такое поле в математике называют потенциальным. В нём работа по замкнутому контуру (т.е. когда в перемещении начальное и конечное положения

перемещаемого заряда совпадают – r	r		)
1		2
A qEdl		0.

равна нулю

Иначе говоря, циркуляция вектора напряжённости электростатического поля равна нулю.

Пусть

A

бесконечности

в

работа сил поля при перемещении заряда из данную точку поля. Тогда скалярная величина

		A	будет	являться потенциалом		электрического		поля. В
		q
	системе СИ потенциал электрического поля измеряется в вольтах В
			Дж	Из (3.4) потенциал точечного заряда:
	1В 1		.
			Кл
					Q		.	(3.4а)
					4	r
					0

Если поле образовано несколькими точечными зарядами, то потенциал поля в данной точке равен алгебраической сумме потенциалов полей, образованных в этой точке каждым зарядом

n

отдельно: i . i 1

Связь между напряженностью

разностью потенциалов

U 1 2

E

электрического поля и на обкладках плоского

	конденсатора (однородное поле) такова:	E	1 2		U	, где	d
			d		d

расстояние между обкладками плоского конденсатора. Работа электрической силы по перемещению заряда в электрическом поле из одной точки поля в другую равна

		A q( 1 2 ) qU .
Отметим,		что потенциал		электростатического поля
(x, y, z)		скалярная	величина,	а	его напряжённость
E(Ex , Ey , Ez )		векторная.	Связь	между	этими величинами

определяется выражением

111

E grad ,

(3.4б)

где знак	минус говорит о том, что вектор напряжённости	E
направлен	в сторону, противоположную направлению градиента
потенциала электростатического поля.

Пример 2. Чему равна напряжённость электростатического поля

в точке А(1,2,-1), если ( Решение. Вычислим

x	2	y	z	2	x)В ?
градиент данного потенциала
	)i+				Тогда

вектор	E ( 3, 1, 2),

14 Вм .

а его модуль

E	3	1	2
	2	2	2

Вопросы для самоконтроля

1.Какое поле называется потенциальным?

2.Чему равна циркуляция вектора напряжённости электростатического поля?

3.Что такое потенциал электростатического поля?

4.В каких единицах в СИ измеряется потенциал электрического поля?

5.Какова связь между модулем напряженности E

электрического поля и разностью обкладках плоского конденсатора?

6.Какова связь между напряженностью и его потенциалом (x, y, z) ?

потенциалов

U

на

E	электрического поля

§3.3. Теорема Остроградского-Гаусса

В электростатическом поле E	выделим мысленно некоторую
поверхность S и выберем на ней	участок dS бесконечно малой
площади (рис. 3.5).
Ввиду малости площадку dS можно считать плоской, а поле в
её пределах одинаковым по величине и направлению (E const).

Потоком вектора напряжённости сквозь площадку dS называют

скалярное произведение
d e EndS EdS cos EndS,		(3.5)
	112

где

E	E cos
n

проекция вектора

E

на нормаль к площадке

dS.

E

dS

n

Рис. 3.5

Геометрический смысл потока вектора напряжённости можно интерпретировать густотой силовых линий, пронизывающих площадку.

Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность. Тогда поток вектора напряжённости через неё будет определяться поверхностным

интегралом	e			n
				E dS.
Теорема			(Остроградского1-Гаусса2).		Поток	вектора

напряжённости через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью,

делённой на произведение

электрической

постоянной

0

и

относительной диэлектрической проницаемости среды :

e

E

n

dS

1

N

i

(3.6)

q .

i 1

0

Доказательство.

Сначала рассмотрим

простейший случай

–

электростатическое поле одного точечного заряда q. В качестве

замкнутой поверхности возьмём сферу с центром в точке расположения этого заряда и радиуса r, равного расстоянию этого

центра до некоторой точки поля, создаваемого зарядом			q. В этом
случае силовые линии поля	E	будут направлены по	радиусам в

1Михаил Васильевич Остроградский (1801 – 1861) - русский математик и механик, экстраординарный академик Петербургской академии наук с 1830 г.

2Иоганн Карл Фридрих Гаусс (Johann Carl Friedrich Gauß; 1777 – 1855) -

немецкий математик, астроном и физик. Иностранный член шведской (1821) и российской (1824) Академий наук, английского Королевского общества.

113

каждой точке сферы и совпадут по направлению с направлением

нормали к площадке около этой точки, т.е.	E E .
	n

В точках сферы напряжённость

	E	q	const,
		4 r 2
		0

поэтому

её

можно вынести за

знак

интеграла

по

e

n

q

N

qS

i

dS

,

E dS

4 r

2

q

4 r

2

i 1

0

0

поверхности сферы

где	S 4 r	2

площадь сферы. Подставив это её получим

		q4 r	2				q
	e EndS							.
		4 r		2
							0
		0

значение в последнее выражение,

Следовательно, для точечного

заряда теорема Остроградского-Гаусса выполняется.

Окружим теперь сферу произвольной замкнутой поверхностью

	S,	пересечёт и эту
S . Каждая силовая линия, пронизывающая сферу

поверхность. Следовательно формула (3.6) справедлива не только для сферы, но и для любой замкнутой поверхности. Окружим теперь

произвольной поверхностью

N

зарядов, то очевидно, что поток

напряженности через эту поверхность будет равен сумме потоков, создаваемых каждым из зарядов (это следует из принципа суперпозиции напряжённостей электрического поля). Таким образом, теорема Остроградского-Гаусса доказана.

С помощью этой теоремы можно определять напряжённости полей, создаваемые заряжёнными телами различной формы.

Пример 3. Определить напряжённость бесконечной плоскости, равномерно заряженной с поверхностной плотностью

q const.

S

Решение. Вследствие равномерной заряженности плоскости силовые линии создаваемого ей поля будут представлять собой одинаково направленные параллельные прямые, перпендикулярные данной плоскости (рис. 3.6).

В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, основания которого окружности, параллельные заряженной плоскости, а образующая параллельна силовым линиям поля. В этом случае линии напряжённости будут пронизывать только плоскости основания цилиндра, но не его боковую поверхность. Поэтому поток,

114