Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Колбасников Н.Г. - Физические основы прочности и пластичности металлов (2004)

.pdf
Скачиваний:
83
Добавлен:
15.08.2013
Размер:
8.26 Mб
Скачать

Министерство образования Российской Федерации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Н.Г. Колбасников

ТЕОРИЯ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ МЕТАЛЛОВ

Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГПУ

2004

Министерство образования Российской Федерации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Н.Г. Колбасников

ТЕОРИЯ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ МЕТАЛЛОВ

Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГПУ

2004

Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ ИДЕАЛЬНЫХ КРИСТАЛЛОВ

Большинство деформируемых металлов имеют кристаллическое строение, т. е. их атомы вдоль выбранных кристаллографических направлений чередуются определенным образом. Возьмем три системы параллельных линий 1, 2, 3 (рис.1.1), которые образуют трехмер-

ную сетку с постоянными размерами ячеек. Если в каждом тройном узле месте пересече-

ния трех линий систем 1, 2, 3 поместить атом, то получится идеальная кристаллическая решетка (см. рис. 1.1). Расстояния между атомами вдоль линий 1, 2, 3 обозначим а1, а2, а3 соответственно. В простейших решетках атомы одинаковы и кристаллические ячейки (параллелепипеды со сторонами а1, а2, а3) тождественны.

a1 a1 a1

3

а 3

а 3

a2

a)

б)

a

a

a

в) г)

1

а

c

a2

2

Рис. 1.1. Трехмерная сетка, образованная системами

Рис. 1.2. Простая кубическая (а), объемноцентрирован-

параллельных линий аналог кристаллической ре-

ная (б), гранецентрированная (в) кубические и гексаго-

шетки

нальная плотноупакованная (г) решетки

Будем рассматривать простую кубическую*, гранецентрированную кубическую (ГЦК), объемно центрированную кубическую (ОЦК) и гексагональную плотноупакованную (ГПУ) кристаллические решетки (рис. 1.2). Эти типы решеток самые распространенные среди ме-

таллов: ГЦК алюминий, медь, серебро, золото, никель, платина и др.; ОЦК железо (при температурах ниже 911°С), хром, вольфрам, молибден и др.; ГПУ бериллий, титан, кобальт, цирконий, цинк, олово, рений и др. Некоторые металлы при изменении температуры изменяют тип кристаллической решетки; подобное превращение называется полиморфным и имеет определенную температуру Тп.п. Полиморфное превращение сопровождается измене-

3

нием энергии металла: либо поглощением, либо выделением теплоты в окружающую среду. Примерами подобных металлов являются железо, титан, кобальт и др.

Как известно, металлами называют кристаллические тела, имеющие на каждый атом кристалла один или несколько подвижных (свободных) электронов. Эти электроны объединяются в энергетическую зону (зону проводимости), средняя энергия электронов в которой меньше, чем энергия тех же электронов в изолированных друг от друга атомах. Разность энергий электронов проводимости в атоме и кристалле и является энергией металлической связи в кристаллической решетке.

Считается, что взаимодействие атомов (ионов) в кристаллической решетке парное, т.е. энергия взаимодействия всех атомов в кристалле есть сумма энергий взаимодействия всех пар атомов:

 

1

N

 

W(r) =

W (ri rj ),

(1.1)

2

 

 

 

где W(r) сумма взаимодействия всех пар; ri и rj координаты i-го и j-го атомов; W(rirj)

энергия их взаимодействия; N число пар.

Если два иона в пространстве расположены на расстоянии r, то при их сближении они начинают притягиваться, причем энергия этого взаимодействия достигает минимума при r=r0 (рис. 1.3). Равновесное положение r0, около которого происходят тепловые колебания, находится из условия

W (r)

 

r =r

= 0 = F (r),

(1.2)

 

r

 

 

0

 

 

где F(r) сила.

Энергия в этом положении W(r0) называется энергией связи. Эта величина характеризует работу А, которую необходимо затратить, чтобы оторвать атомы друг от друга и удалить на такое расстояние, на котором их взаимодействие не ощущается, А+W(r0) = 0. Очевидно, что для стабильности кристалла необходимо условие А > 0, т.е. W(r0)< 0, и кристаллическое состояние атомов энергетически выгодно.

Энергия притяжения, например, в системе ионэлектрон, которая является первопричиной металлической связи, ощущается при всех значениях r. Энергия отталкивания (кривая 2 на рис. 1.3) связана обычно с деформацией электронных оболочек ионов и ощущается лишь на малых радиусах взаимодействия, r d ат (dат диаметр атома).

Атомные связи различаются в основном по характеру сил притяжения. Как известно, выделяют ионную, металлическую, ковалентную и молекулярную (ван-дер-ваальсову) связи. Эти взаимодействия характеризуются:

4

 

- радиусом действия R (R >> r0 дальнодействующие, R r0 короткодействующие);

 

- зависимостью от углов: если W = W(r), то взаимодействия называют центральными,

 

поскольку они не зависят от углов, под которыми взаимодействуют ионы;

если W = W(r,

θ, ϕ) нецентральными взаимодействиями, энергия которых зависит от углов θ и ϕ (см. рис.

1.3,б);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

- энергией связи: W0 > 1 эВ сильная связь; W0 < 1 эВ

U( r)

 

 

 

слабая связь; W0 1 эВ связь промежуточной силы.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Рассмотрим простейшую модель металлической связи

 

 

 

 

(рис. 1.4), где ионы обозначены кружками с «плюсами», а

 

3

r0

 

 

 

 

r

электроны с «минусами». Энергия этой системы состоит в

U0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

электростатическом взаимодействии отталкивании ионов

б)

 

 

 

 

друг от друга, электронов друг от друга и притяжении ио-

 

F( r)

 

 

 

нов и электронов. Поскольку среднее расстояние между

 

 

 

 

 

электронами и иoнами меньше, чем между одноименными

 

 

 

 

 

частицами, то притяжение сильнее, чем отталкивание:

 

 

 

 

r

W (r) r = a =

1

 

e

2

 

2

 

0,4e

2

(1.3)

 

 

 

 

 

 

e

 

 

,

 

 

 

 

 

 

4πε0 a / 2

a

4πε

0

 

 

 

 

 

 

где ε0 электрическая постоянная; 1/4πε0 = 9 109 н м2/Кл.

в)

z

 

 

 

Металлическая связь определяет выгодность нахожде-

 

 

 

 

3

ния элементов системы

в

узлах

атомно-кристаллической

 

 

 

θ

решетки (ионов) и в зоне проводимости (электроны).

 

 

 

 

 

1

 

 

y

Для определения напряжения, стягивающего элементы

 

 

ϕ

 

 

системы (ионы

и

электроны),

 

используем

соотношение

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Гельмгольца

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.3. Зависимость энергии связи

 

 

 

∆σ = −

∂∆W

,

 

(1.4)

(а) и силы взаимодействия (б) между

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

двумя атомами от расстояния между

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ними и от углов θ и ϕ (в): 1 энергия

где W изменение энергии при рассматриваемом взаимо-

отталкивания;

2 энергия притяже-

действии; v объем системы.

 

 

 

 

 

 

ния; 3 результирующая кривая; r0

 

 

 

 

 

 

 

равновесное расстояние

При ∆σ>0 рассматриваемый процесс термодинамиче-

 

 

 

 

 

ски выгоден, при ∆σ<0 невыгоден. В последнем случае ∆σ − энергетический барьер для

протекания процесса. Таким образом

∆σ = −

∂∆W

(w n)

= −

(w v)

= −

w

= −

w

ρN 0

 

 

0

0

0

0

 

(1.5)

v

v

v0 v

v0

 

µ

 

 

 

 

 

 

 

5

где W = w0n сумма энергий межатомной связи w0 в объеме v; n количество атомных связей в объеме v, n = v/v0; v0 атомный объем или объем, приходящийся на одну межатом-

ную связь, v0= µ/ρN0, µ и ρ − молярная масса и плотность материала, N0 число Авогадро.

а)

б)

в)

x

τ

 

 

 

 

σ

σ

 

I

 

 

 

 

а

 

 

II

 

τ

 

а

 

 

 

Рис. 1.4. Схема идеального кристалла с кубической решеткой (а), разрушение идеального кристалла отрывом (б) и сдвигом (в)

Оценим величину ∆σ, например, для меди. При w0 = 7,8 эВ = 7,8 1,6 1019 Дж ≈ ≈

12,5 Дж (в качестве w0 принят потенциал ионизации), ρ = 8,9 103 кг/м3, µ = 63,5 103 кг/моль,

N0 = 6,02 1023 ат/моль получаем ∆σ = 10,5 1010 Па = 105 ГПа. Таким образом, мы получили величину напряжений связи атомов в кристаллической решетке, численно равную модулю упругости (по экспериментальным данным для меди Е = 102÷130 ГПа).

Для расчета напряжений связи двух- и более валентных металлов в качестве w0 в расчете необходимо принимать двойной и т.д. потенциал ионизации металла.

Таким образом, чтобы разорвать идеальный кристалл, необходимо приложить растяги-

вающие напряжения σ*, численно равные модулю упругости Е, т.е. напряжения в сотни раз превышающие предел прочности или истинное сопротивление разрыву.

Иногда для оценки σ* в качестве v0 принимают объем кристаллической ячейки а3. В

этом случае расчет теоретической прочности для меди дает σ ≈ 26 ГПа.

Еще одно замечание о напряжениях связи в кристаллической решетке и модуле упруго-

сти металла. При σ* Е =

W

с учетом известного соотношения из акустики С2

=

Е , где

v

 

зв

 

ρ

Сзв2 скорость звука в металле, получаем в первом приближении

 

 

 

 

W = Ev = ρv Сзв2 = m Сзв2 ,

 

(1.6)

где m масса системы.

Это соотношение по внешнему виду и, очевидно, по сути аналогично известному соотношению А. Эйнштейна, связывающему энергию и скорость света в вакууме.

При деформации кристалла сдвигом (рис.1.4,б)

τ = G

x

.

(1.7)

a

 

 

6

Напряжения τ являются периодической функцией, в качестве которой принимаем

τ = K sin 2aπx

При равенстве (1.7) и (1.8) и малых сдвиговых деформациях sin 2aπx 2aπx . Тогда

Более точные вычисления дают K =

G

 

, где ξ коэффициент Пуассона. В итоге

 

2π(1

−ξ)

 

 

 

 

 

 

τ =

 

G

 

sin

2πx

,

 

 

2π(1−ξ)

a

 

 

τmax

= τ* =

 

 

G

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π(1 − ξ)

(1.8)

K = 2Gπ .

(1.9)

(1.10)

τmax теоретическая прочность идеального кристалла на сдвиг.

Как видно, теоретическая прочность кристалла и на разрыв, и на сдвиг значительно превышает наблюдаемые на практике свойства реальных металлов. Установлено, что причиной этого различия является присутствие в металле дефектов кристаллического строения, среди которых выделяют точечные, линейные, плоские и объемные.

Итоги главы 1

1.Теоретическая прочность идеального кристалла определяется энергией связи атомов

вкристаллической решетке – энергией электростатического взаимодействия ионов и электронов. Мерой этого взаимодействия является модуль упругости металла Е, который представляет собой напряжения, стягивающие ион и электрон в объеме этого взаимодействия. Помимо этого модуль упругости является коэффициентом, определяющим линейную корреляцию между напряжением и деформацией σ = Eε при упругой деформации растяжением.

2.Теоретическая прочность идеального кристалла значительно превосходит наблюдаемые на практике свойства реального металла. Высказано предположение, что различие свойств идеального и реального кристаллов объясняется присутствием дефектов кристаллического строения.

7

Глава 2. ТОЧЕЧНЫЕ ДЕФЕКТЫ

К точечным дефектам относят такие дефекты кристаллической решетки, линейные размеры которых вдоль трех выбранных кристаллографических направлений соизмеримы с параметром решетки, рис.2.1.

2.1. ЭНЕРГИЯ И УСЛОВИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ВАКАНСИИ

Можно рассмотреть две схемы образования вакансий, рис. 2.2. Согласно схеме 1 ионная или электронная вакансия возникает с уменьшением объема ( v < 0 ), который занимала час-

тица в исходном состоянии, вторая с увеличением объема ( v > 0 ). Схема 2 показывает,

что при уходе иона из узла решетки, в объеме возникает избыток электронов (или, наоборот, избыток ионов при образовании электронной вакансии), что приводит к возникновению между ними сил взаимного электростатического отталкивания.

1

2

5 4

3

Рис. 2.1. Точечные дефекты: 1 вакансия; 2 внедренный атом; 3 два атома вблизи вакансии; 4 примесный атом замещения; 5 примесный атом внедрения

Рис. 2.2. Схемы образования вакансий:

1 с уменьшением исходного объема; 2 с увеличением

8

Пусть вакансия имеет форму сферы с радиусом rv. Для схемы 1 примем rv = 0,9l = 0,9a ,

2 2 2

для схемы 2 rv = 1,12 l = 02,92a . Считаем, что образование вакансии идентично образованию поры. Тогда поверхностная энергия вакансии

Wsv = γsvsv,

(2.1)

где γsv удельная поверхностная энергия вакансии, γsv≠γs, где γs удельная энергия свобод-

ной поверхности. Примем γsv= (0,45÷1,0) γs.

Пусть а =3 1010 м. Тогда энергия образования вакансии

w f

w

= γ

sv

s

= 4πr2γ

sv

.

(2.2)

 

v

sv

 

v

 

 

 

При γsv= 1 Дж/м2 w f =1,34 1019

Дж 0,84 эВ. Экспериментальные методы исследова-

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ния показывают значения энергии образования вакансииwvf =0,6÷1,0) эВ.

Примем упрощенно sv =

vv

. Тогда при помощи соотношения Гельмгольца (1.4)

для

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

схемы 1

 

 

 

 

 

γsv

 

 

 

 

 

 

σv

 

 

r =r

=

 

> 0;

(2.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rv

для схемы 2

 

 

 

v

 

 

γsv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σv

 

 

r =r

=

 

 

< 0.

(2.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rv

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, согласно схеме 2 для образования вакансии требуется преодолеть энер-

гетический барьер. Для меди при γsv=1 Дж/м2

σv = 780 МПа; для алюминия при γsv = 0,9

Дж/м2 σv = 626 МПа.

Схема 2 образования вакансий более правдоподобна. В металле возможно образование как ионной, так и электронной вакансий, причем вторая, очевидно, более подвижна за счет меньшего радиуса.

2.2. КОНЦЕНТРАЦИЯ ВАКАНСИЙ

Существуют два мнения о температурной зависимости концентрации вакансий Nv. Согласно первому Nv возрастает при повышении температуры экспоненциально, согласно второму Nv от температуры не зависит.

Задача решается следующим образом. Термодинамическому равновесию при каждой температуре Т (при постоянном давлении p = const) отвечает минимум свободной энергии (энергии Гельмгольца):

F = UTS = min,

(2.5)

9

U = Nvwvf

где U изменение внутренней энергии: S изменение энтропии.

Для твердого тела, содержащего Nv вакансий, по сравнению с состоянием без вакансий избыточная энергия равна

(2.6)

Это возрастание энергии может быть компенсировано за счет конфигурационной части энтропии S = klnP, где k постоянная Больцмана; P число перестановок в системе. Вы-

числим изменение энтропии, полагая, что N0 число узлов в идеальной кристаллической решетке; nv число вакансий.

Рассмотрим кубический кристалл. В каждом узле решетки расположено по атому вещества, причем атомы одинаковы (неразличимы), вследствие чего кристалл можно считать идеальным. Будем полагать, что N0 >>1 и достаточно велико, чтобы пренебречь поверхностными эффектами, и все узлы кристаллической решетки считать тождественными.

В эту изначально идеальную решетку будем вводить вакансии, извлекая из нее при этом атомы. Для каждого числа введенных вакансий nv подсчитаем конфигурационную энтропию.

При nv = 1 вакансию можно перемещать в каждый из N0 узлов системы, заменяя атомы.

При этом каждый раз изменяется состояние системы, следовательно, Р=N, а S = klnN. Рассуждая подобным образом и полагая, что вакансии так же неразличимы между собой, как и

атомы, получим:

 

n = 0, P=1

S = 0;

n = 1,

P=N

S = k lnN;

n = 2,

P=0,5N(N1),

S = k ln[0,5N(N1)];

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ;

n= n , P=

1

 

N(N 1)...(N n

v

+1), S = k ln

N!

(2.7)

 

 

 

v

n!

 

 

n!(N n)!

 

 

 

 

 

 

Пользоваться выражением (2.7) для вычисления энтропии при больших значениях N и nv неудобно. Для упрощения (2.7) воспользуемся формулой Стирлинга для больших чисел: lnN! = N lnN N и получим:

S =k [NlnN nlnn (N n) ln(N n)]

Для металлов даже в области предплавильных температур количество вакансий на 4÷5

порядков ниже числа узлов кристаллической решетки, т.е. N >> nv. Тогда NlnN (N n)ln(N

n), и выражение для определения S преобразуется к виду

S = −knv ln nv .

(2.8)

10

Соседние файлы в предмете Химия