Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Инженерная графика

.docx
Скачиваний:
49
Добавлен:
22.05.2015
Размер:
314.56 Кб
Скачать

Трудоемкость и, как следствие, точность графического решения задач часто зависят не только от сложности задач, но и от того, какое положение занимают геометрические фигуры, входящие в условие задачи, по отношению к плоскостям проекций.Проецируемая фигура может занимать по отношению к плоскостям проекций произвольное, или частное положение.В первом случае, как правило, получаются проекции, неудобные для решения задач. Решение задачи значительно упрощается, когда мы имеем дело с частным расположением геометрических фигур относительно плоскостей проекций. Наиболее выгодным частным положением проецируемой фигуры при ортогональном проецировании следует считать:1) положение, перпендикулярное к плоскости проекций – при решении позиционных задач;2) положение, параллельное плоскости проекций – для решения метрических задач.Таким образом, при решении той или иной задачи бывает целесообразно привести фигуру к частному положению.Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществлять изменением взаимного положения проецируемой фигуры и плоскости проекции. При ортогональном проецировании это может быть достигнуто двумя путями:1) перемещением в пространстве проецируемой фигуры, по отношению к плоскости проекций.2) выбором новой плоскости проекций, по отношению к проецируемой фигуре.Первый путь лежит в основе плоскопараллельного перемещения; второй – составляет теоретическую базу способа замены плоскостей проекций

Изменение взаимного положения изучаемого объекта и плоскостей проекций достигается путем замены одной из плоскостей П1 или П2 новой плоскостями П4 (рис. 148). Новая плоскость всегда выбирается перпендикулярно оставшейся плоскости проекций.Для решения некоторых задач может потребоваться двойная замены плоскостей проекций (рис. 149). Последовательный  переход от одной системы плоскостей проекций к другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси.

Задача 1: Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рис. 148). Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости.Выберем новую плоскость проекций П4, параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П1. Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П1П2 в систему П1П4 , причем в новой системе плоскостей проекция отрезка  А4 В4 будет натуральной величиной отрезка АВ.

Вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции, является частным случаем параллельного перемещения. Отличие от параллельного перемещения состоит лишь в том, что за траекторию перемещения точки берется не произвольная линия, а дуга окружности, центр которой находится на оси вращения, а радиус равен расстоянию между точкой и осью вращения. Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции, применим для перемещения отрезка прямой общего положения в частное.

Перевод прямой общего положения k в положение перпендикулярное горизонтальной плоскости проекции H. Здесь необходимо дважды применить способ вращения вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям проекции. Первым вращением отрезок переводится в положение, параллельное плоскости проекции V, и лишь после этого вращением вокруг оси перпендикулярной плоскости проекции V, перемещают отрезок в положение, перпендикулярное плоскости H .Перевод плоскости общего положения в частное фронтально проецирующее положение.Прямую, принадлежащую плоскости произвольно расположенной в пространстве, используя способ вращения переводим в положение перпендикулярное плоскости V. Используем для этого горизонталь плоскости, заданную точками 1 и 2 на рисунке.Используем способ вращения напоследок, для придания плоскости положения параллельного плоскости проекции H, то есть положения плоскости уровня. Используем для этого ось вращения i1.

Траектория - дуга окружности, центр которой находится на оси перпендикулярной плоскости проекций. Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения АВ (рис. 146), выберем  ось вращения перпендикулярную горизонтальной плоскости проекций и проходящую через В. Повернем отрезок так, чтобы он стал параллелен фронтальной плоскости проекций (горизонтальная проекция отрезка параллельна оси x). При этом точка Апереместиться в А*, а точка В не изменит своего положения. Положение проекции А*2 находится на пересечении фронтальной проекции траектории перемещения точки А (прямая линия параллельная оси x) и линии связи проведенной из проекции А*1. Полученная проекция отрезка В2 А*2 определяет его действительные размеры.

Углы наклона прямой общего положения по двум ее проекциям находятся попутно при определении действительной величины отрезка способом прямоугольного треугольника. В отличие от отрезков прямых частного положения, проецирующихся хотя бы на одну из плоскостей проекций в натуральную величину, отрезок прямой общего положения на плоскости проекций проецируется с искажением. Для того чтобы найти его натуральную величину, необходимо провести ряд преобразований. Возьмем прямую общего положения АВ и спроецируем ее на горизонтальную плоскость проекций . Через точку А проведем линию, параллельную плоскости . Таким образом в пространстве получим прямоугольный треугольник , один из катетов которого (AB1) равен длине проекции отрезка, а угол между отрезком и этим катетом является углом наклона заданного отрезка к плоскости проекций (рис.).

Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения и угла наклона ее к плоскости проекций на эпюре (КЧ) необходимо построить прямоугольный треугольник: - первый катет этого треугольника равен проекции отрезка на плоскости проекций (обычно прямоугольный треугольник пристраивают к проекции отрезка, однако в некоторых задачах целесообразно прямоугольный треугольник строить в стороне от проекций геометрических объектов); - из проекции любого конца отрезка под прямым углом к проекции отрезка проводится луч, на котором откладывается длина второго катета, равная разности расстояний от концов отрезка до данной плоскости проекций; - гипотенуза полученного таким образом прямоугольного треугольника равна действительной величине заданного отрезка; - угол наклона отрезка к той или иной плоскости проекций равен углу между гипотенузой – натуральной величиной и катетом – проекцией на эту плоскость проекций.

Углы наклона прямой, отрезка общего положения всегда будут меньше их ортогональных проекций.

Изменение взаимного положения проецируемого объекта  и плоскостей проекций методом плоскопараллельного перемещения осуществляется путем  изменения положения геометрического объекта так, чтобы траектория движения её точек находилась в параллельных плоскостях. Плоскости носители траекторий перемещения точек параллельны какой-либо плоскости проекций (рис. 145). Траектория произвольная линия. При параллельном переносе геометрического объекта относительно плоскостей проекций, проекция фигуры хотя и меняет свое положение, но остается конгруэнтной проекции фигуры в ее исходном положении.

Свойства плоскопараллельного перемещения:

1. При всяком перемещении точек в плоскости  параллельной плоскости П1, её фронтальная проекция перемещается по прямой линии, параллельной осих.

2. В случае произвольного перемещения точки в плоскости параллельной П2, её горизонтальная проекция перемещается по прямой параллельной оси х.

В зависимости от  положения этих плоскостей  по отношению к плоскостям проекций и вида кривой линии - определяющей траекторию перемещения точек, метод плоскопараллельного проецирования имеет следующие частные случаи:

  1. Метод вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций.

  2. Метод вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций.

  3. Метод вращения вокруг оси, принадлежащей плоскости проекций (вращение вокруг следа плоскости)- метод совмещения.

   На рис.6.4 показано построение проекции точки А на дополнительную плоскость П4, перпендикулярную П1П1 Ç П2 = хП1 Ç П4 = х1. Перпендикуляры, опущенные из точки А на плоскостиП1П2П4, определят проекции А1А2А4. Из чертежа на рис.6.4а видно, что расстояние от дополнительной проекции А4 точки до оси х1 равно расстоянию от А2 до оси х, т.е. координате Z. Следовательно, можно сделать вывод, что расстояние от дополнительной проекции до новой оси равно той координате точки, которая отсутствует в плоскости, перпендикулярной к дополнительной.     Совместив далее П2 и П4 с плоскостью П1 вращением П2 вокруг оси х и П4 вокруг х1, получим комплексный чертеж точки А (рис.6.46). При наличии на чертеже двух основных проекций А1и А2, дополнительную проекцию А4 построим следующим образом. Через А1 проведем линию связи, перпендикулярную х1. Отложив расстояние АX1А4, равное координате Z точки А, получим проекцию А4.     При введении дополнительной плоскости проекций, перпендикулярной П2, вдоль линии связи откладываем ту координату точки, которая отсутствует в плоскости П2, т.е. координату Y. ЕслиП4 ^ А3, то вдоль линии связи откладываем координату X.     Способом проецирования на дополнительную плоскость можно определить натуральную величину отрезка прямой. Для этого дополнительную плоскость располагают параллельно отрезку.     На рис.6.5 дополнительная плоскость П4 перпендикулярна П3. Новая ось х1 должна быть расположена относительно проекции прямой на плоскости, перпендикулярной к дополнительной, так же, как новая плоскость относительно прямой. В данном случае х1 ½½ А2В2. Вдоль линии связи от оси х1 откладываем ту координату точек А и В, которая отсутствует в плоскости П2(плоскость, перпендикулярная к дополнительной),т.е. координату Y

 Таким образом, прямая общего положения в системе плоскостей проекций П1 ^ П2 преобразована в прямую уровня в системе П4 ^ П2. Отрезок АВ на П4 спроецировался без искажения. Без искажения проецировался и угол наклона прямой к плоскости П2.     При решении некоторых задач приходится выполнять преобразование прямой уровня в проецирующую (рис.6.6). В этом случае дополнительная плоскость должна быть перпендикулярна прямой. Так как АВ ½½ П1, то П4 должна быть перпендикулярна П1. Тогда новая ось х1 ^ А1В1. Вдоль линии связи откладываем координату Z

Многогранник – пространственная фигура, ограниченная со всех сторон плоскостями (гранями).

Построение проекций точек, принадлежащих боковой поверхности многогранника осуществляется с помощью образующих и направляющей.

Возьмем трехгранную пирамиду и точки D,E, F, лежащие на ее боковой поверхности. Необходимо определить недостающие горизонтальные проекции этих точек:

1) Точки E и F лежат на ребрах пирамиды, следовательно, их горизонтальные проекции будут лежать на горизонтальных проекциях соответствующих ребер.

2) Точка D принадлежит грани пирамиды, поэтому ее недостающую проекцию следует определять с помощью образующей 1-S. Кроме того, из графического условия не ясно, на какой грани находится точка D, ее фронтальной проекции соответствуют две горизонтальные проекции.

Для построения фигуры, получаемой при пересечении призмы и пирамиды плоскостью, надо или найти точки, в которых ребра призмы или пирамиды пересекают данную плоскость, или найти отрезки прямых, по которым грани призмы или пирамиды пересекаются плоскостью. В первом случае построение сводится к задаче на пересечение прямой с плоскостью, во втором случае — на пересечение плоскостей между собой.

В тех случаях, когда секущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций, фигура сечения проецируется с искажением. Поэтому, если требуется определить натуральный вид фигуры сечения '), то следует применять один из способов, которые позволяют находить длину отрезка, величину угла и т. д. (см. главу V).

На рис. 273 показано пересечение прямой четырехугольной призмы плоскостью, заданной пересекающимися прямыми EF и EG. Обозначим эту плоскость буквой 5.

При пересечении получается четырехугольник, вершины которого представляют собой точки пересечения ребер призмы с пл. 5.,Так как в данном случае призма прямая и основание ее параллельно пл. ки то горизонтальная проекция фигуры сечения определяется сразу, без какого-либо построения: она накладывается на проекцию A'B'C'D'. Очевидно, можно найти точки К и L, в которых ребра призмы, проходящие через точки А и D, пересекают пл. 5, при помощи одной пл. а, в кото

') Выражение «натуральный вид сечения» мы будем применять в том случае, когда фигура сечения дается без искажения.

рой находится грань призмы а х 5 = = 1—2, откуда получаем точки К" и L". Проведя" пл. Р, получим Р х 5 = 3 — 4 и точки М' и ЛГ.

Итак, способ построения, который указан на рис. 273, сводится к применению вспомогательных плоскостей а и Р, проходящих через соответствующие грани призмы, и построению отрезков KL и MN, по которым эти грани пересекаются пл. 5.

На фронтальной проекции линия пересечения состоит из видимой и невидимой частей; видимая часть линии пересечения расположена на обращенных к зрителю видимых гранях.

На рис. 273 находящаяся под пл. 5 нижняя часть призмы представлена как невидимая. Линия пересечения лишь прочерчена на гранях призмы.

Если секущая плоскость перпендикулярна к одной из плоскостей проекций (рис. 274, слева), то проекции фигуры сечения получаются без каких-либо дополнительных проекция K"P"M"N" располагается на следе Р", K'P'N'M' совпадает с проекцией призмы.

На рис. 274 справа показано пересечение призмы пл. а, заданной пересекающимися прямыми АВ и ВМ2, из которых ВМ2параллельна ребрам призмы. Следовательно, секущая плоскость в данном случае общего положения, параллельная

I, а. Пятиугольная прямая призма поставлена основанием на плоскость П1 и рассечена фронтально-проектирующей плоскостью δ. Требуется: а) построить проекции сечения; б) найти натуральную величину фигуры сечения; в) построить развертку поверхности усеченной призмы; г) построить аксонометрическую проекцию усеченной призмы. I, б. Нахождение проекций сечений. Фронтальная проекция В2С2А2D2Е2фигуры сечения совпадает с фронтальной проекцией δ2 плоскости δ, так как вершины фигуры сечения являются точками пересечения ребер призмы с плоскостью δ. Горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией призмы, так как призма прямая и ее ребра и грани перпендикулярны плоскости П1. Профильная проекция фигуры сечения выявится многоугольником, полученным путем построения третьей проекции по двум данным. I, в. Нахождение натуральной величины фигуры сечения. а) Метод совмещения. Совместим плоскость δ с плоскостью П1. За ось вращения принимаем горизонтальный след плоскости δ. Проекция δ2совместится с осью х12. Пользуясь правилом совмещения, находим натуральную величину фигуры сечения ¯A¯B¯C¯D¯E. б) Метод перемены плоскостей проекций. Принимаем плоскость δ за новую плоскость проекций, а проекцию δ2 - за новую ось проекций s24. Проводим из проекций B2C2A2D2 и Е2 перпендикуляры к новой оси s24 и на них откладываем глубины вершин фигуры сечения, например: E2E4 = E1E4 и т.д. Точки A4, B4, С4, D4, E4 последовательно соединяем прямыми и получаем натуральную величину фигуры сечения. Фигуру сечения и ее проекции на чертеже выделяют штриховкой под углом45° к оси х12. Штриховка может быть наклонена как вправо, так и влево, но для всех проекций и фигуры сечения штриховку следует выполнять в одну сторону. II. Построение развертки поверхности усеченной призмы. Строим развертку боковой поверхности данной призмы. Затем на соответствующих боковых ребрах откладываем размеры оставшихся после отсечения плоскостью частей ребер H, Н1, Н2, H3 и Н4, которые берем с фронтальной и профильной проекций. Соединив последовательно прямыми точки DO, ЕO, АO, ВO, СO, DO, получим линию сечения, по которой плоскость δ рассекает призму на две части. Для получения развертки поверхности усеченной призмы к соответствующим боковым граням пристраиваем фигуру сечения и нижнее основание. III. Построение аксонометрических проекций усеченной призмы.