Лекц_Доска (Семичевская) / Лекция4

Тема 3. Двумерное преобразование Фурье. Свойства ДПФ. Анализ линейных систем с помощью ДПФ.

Лекция 4

ДВУМЕРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

В результате двумерного преобразования Фурье функции F(x,y), описывающей изображение, получается частотный спектр этого изображения, который определяется формулой

, (1)

где - пространственные частоты; .

 комплексная величина, поэтому ее можно представить как

или в форме Эйлера

,

,

.

Достаточным условием существования Фурье-спектра функции F(x,y) является абсолютная интегрируемость:

. (*)

Исходная функция F(x,y) может быть восстановлена обратным преобразованием Фурье (2)

Ядро двумерного преобразования Фурье разделимо, поэтому это преобразование выполняется в два этапа:

I) этап (1*)

II) этап (1**)

Свойства двумерного преобразования Фурье (ДПФ):

1. Функциональные свойства

2. Линейность

3. Изменение масштаба

4. Сдвиг

5. Свертка

6. Теорема Парсеваля

7. Теорема о спектре автокорреляционной функции

8. Спектры пространственных производных

Анализ линейных двумерных систем с помощью двумерного преобразования Фурье (ДПФ)

Теорема о ПФ свертки оказывается очень полезным средством при анализе линейных систем.

Свойство свертки

Фурье-спектр функции, полученной в результате свертки двух функций равен произведению спектров исходных функций:

, (3)

где оператор преобразования Фурье.

Обратная теорема

. (4)

Опишем линейную пространственно-инвариантную систему

Рассмотрим функцию F(x,y), описывающую изображение на входе линейной системы с импульсным откликом H(x,y). Изображение на выходе G(x,y) получается в результате свертки

(5)

Выполнив ДПФ обеих частей равенства (5), поменяв порядок интегрирования, получим:

.(6)

Согласно теореме о сдвиге, внутренний интеграл равен произведению спектра функции H(x,y) и экспоненциального множителя фазового сдвига. Поэтому запишем

(7)

Выполнив ПФ, получим:

(8)

Спектр Фурье выходного изображения G(x,y) есть произведение спектров функции импульсного отклика H и изображения на входе системы F.

Обратное ПФ дает функцию, описывающую изображение на выходе:

(9)

Выражения (5) и (9) есть два способа определения выходного изображения линейной пространственно-инвариантной системы.