Работа № 1-3 изучение законов сохранения при ударе шаров

ЦЕЛЬ: проверить закон сохранения импульса при ударе; определить силу удара и потери энергии при ударе.

ОБОРУДОВАНИЕ: два шара, подвешенных на нитях; угловая шкала, микросекундомер.

Основы теории

Задача о движении системы тел в общем случае решается методами динамики. Для составления уравнения движения необходимо задать силы, действующие в системе. Однако в ряде случаев конечное состояние системы можно определить при помощи законов сохранения. В этих случаях нет необходимости знать все детали взаимодействия.

Закон сохранения импульса. В замкнутой системе тел полный импульс с течением времени не изменяется. Происходит лишь обмен импульсами между различными телами системы. На практике закон сохранения импульса применяется и в незамкнутых системах в следующих случаях.

1. Внешние силы малы и действуют короткое время, так что изменением импульса системы можно пренебречь.

2. Равна нулю проекция внешних сил на какое-либо направление. В этом случае сохраняется лишь соответствующая проекция импульса.

Закон сохранения энергии. Мерой изменения и превращения энергии в механике является работа. Если в системе действуют неконсервативные силы  силы трения, неупругой деформации, то происходит превращение части механической энергии во внутреннюю. Работа внешних сил характеризует обмен энергией с другими системами.

Поэтому механическая энергия системы будет сохраняться если отсутствуют диссипативные процессы, (т.е. равна нулю работа неконсервативных сил), а также равна нулю работа внешних сил.

Импульс и кинетическая энергия системы. Пусть мы имеем систему материальных точек с массами m_i, движущимися со скоростями v_i в некоторой системе отсчета (ее называют лабораторной системой). Можно показать, что полный импульс системы определяется только скоростью движения центра масс v₀.:

p =  m_iv_i = mv₀ , (1)

где m =  m_i  полная масса системы.

Согласно теореме Кенига, кинетическая энергия системы может быть разложена на две составляющие:

T = T₀ = T_отн. (2)

Первая составляющая T₀  это кинетическая энергия центра масс.

. (3)

Вторая составляющая T_отн связана с движением частей системы относительно центра масс и называется энергией относительно движения

, (4)

где u_i = v_i – v₀  скорости движения точек относительно центра масс (ее называют скоростью в системе центра масс).

В замкнутых системах вследствие сохранения импульса системы величина T₀ остается неизменной. Изменения испытывает лишь кинетическая энергия относительного движения.

Удар шаров. Ударом называется изменение состояния тела вследствие кратковременного взаимодействия его с другим телом. Изменение импульса каждого тела p_i за время t в соответствии со вторым законом Ньютона равно

p_i = F_i t, (5)

где F_i  средняя за время t сила, действующая на тело.

Если система замкнута, между телами происходит лишь обмен импульсами. Полный же импульс системы остается неизменным.

В первой фазе удара силы деформации уравнивают скорости тел. Кинетическая энергия относительного движения на короткое время преобразуется в потенциальную энергию упругой деформации и частично  в энергию молекулярного движения (внутреннюю энергию).

Во второй фазе удара форма тел восстанавливается и потенциальная энергия вновь превращается в кинетическую (тела разлетаются).

Если деформации тел абсолютно упругие (форма тел восстанавливается полностью), то превращение механической энергии во внутреннюю отсутствует. При абсолютно неупругом ударе, напротив, отсутствует потенциальная энергия деформации: вся энергия относительного движения превращается во внутреннюю. Вторая фаза удара отсутствует, тела после удара не разлетаются.

Рассмотрим задачу об определении скоростей шаров v’₁ и v’₂ после центрального удара (рис.1).

Рис.1. Схема удара шаров.

При абсолютно упругом ударе система замкнута и отсутствуют неупругие деформации. Поэтому выполняются законы сохранения импульса и механической энергии. Сравнивая состояния до и после удара можно записать (необходимо учитывать знаки скоростей!).

(6)

. (7)

Решение этой системы уравнений позволяет вычислить скорости тел после удара v’₁ и v’₂.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Однако при этом тела не разлетаются и v’₁ = v’₂ = v’

m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂) v’. (8)

Для решения задачи о частично упругом ударе необходимо знать потери энергии, которые необходимо учесть соответствующим уравнением.