Интегральное исчисление_эл_учебник

						1		4 ε1						1		6
	lim3 4 x 3								lim 3 4 x 3
		ε1 0						2		ε2 0						4 ε2
		33		33		lim				33		33					6 3		.
lim			ε1		2						2		ε			2		2
ε1	0							ε2	0

Пример 9. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

	ln 1
2		x3
				dx .
	ex sin x 1
0

Ответ: интеграл сходится.

Помочь?

Подсказка 1. Для несобственных интегралов второго рода справедливы признаки, аналогичные признакам сходимости для несобственных интегралов первого рода.

Воспользуйтесь признаком сравнения в предельной форме.

Напомнить ?

Подсказка 2. Пусть f x и φ x

непрерывны и знакопостоянны на ин-

тервале a, b , имеют бесконечный разрыв при x a и

lim

f x

k 0 ,

x a 0

φ x

b

b

тогда несобственные интегралы f

x dx

и φ x dx ведут себя одинаково.

a

a

Подынтегральная функция f x

ln 1

x3

положительна на интервале

1

ex sin x

0,2 и не определена при x 0 .

Сравните функции f x

ln 1

и φ x

x3

1

1

:

ex sin x 1

x

1

x2

141

1

3

lim

f x

lim

x2 ln 1 x3

ln 1

x3

x2 ,

x 0

φ x

ex sin x

1

x 0

x 0

ex sin x

1

xsin x

x2 , x 0

1

3

lim

x

2 x2

1

0.

x2

x 0

ln 1

dx

2

dx

сходится p

1

1

, тогда по признаку сходимости 2

x3

1

2

ex sin x 1

x 2

0

0

также сходится.

Задачи для самостоятельного решения

Найти несобственные интегралы или доказать их расходимость:

dx

1.1 x2 .

dx

2.2 x ln x .

dx

3.x2 2x 5 .

4. xsin x dx .

arctg x dx
5.		.
	1 x2
1

x dx

6.2 x2 1 .

dx

7.x2 6x 10 .

Ответ: 1.

Ответ: расходится.

Ответ: π2 .

Ответ: расходится.

Ответ: 323 π2 .

Ответ: расходится.

Ответ: π .

Исследовать несобственные интегралы на сходимость:

		xdx
8.				.	Ответ: сходится.
0		x5 1
					142

ln x dx

9. . Ответ: расходится.

e 3x

cos x

10. dx . Ответ: сходится.

1 x2

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

		e						dx												3
11.												.						Ответ:			.
							3													2
	1					x			ln x
	2						dx
12.										.								Ответ: расходится.
	0					cos x
	3									dx
13.																	.	Ответ: π .
	1							4x x2							3
	1							x dx
																				3
14.													.					Ответ:					.
		1					1 x2													2
	2
	1							dx
	0
15.														.				Ответ: расходится.
						x 1 2

6dx

16.3 x2 7x 10 .

Исследовать на сходимость:

	1						dx
17.										.
						1 x4
	0
	1							dx
18.													.
					3
											2
		1					1 x
	2
						ln 1
	2										3 x2
19.																		dx .
								e	x	1
	0
	1							x4
20.																	dx .
															3
								1 x
	0										2

Ответ: расходится.

Ответ: расходится.

Ответ: сходится.

Ответ: сходится.

Ответ: расходится.

143

Список литературы

1. Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа / А.Ф. Бермант,

И.Г. Араманович. – М.: Наука, 1973.

2. Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление /

Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Наука, 1988.

3. Высшая математика в примерах и задачах : учебн. пособие / под ред.

Ю. Л. Геворкяна. – Т. 1. – Харьков: НТУ «ХПИ», 2005.

4. Высшая математика: Программа, методические указания и контроль-

ные задания для студентов всех специальностей заочного обучения. Ч. 1. Эле-

менты линейной алгебры и аналитической геометрии, дифференциальное и ин-

тегральное исчисление функции одной переменной, функции многих перемен-

ных, дифференциальные уравнения и системы / под ред. Ю. Л. Геворкяна. –

Харьков: НТУ «ХПИ», 2002.

5.Геворкян Ю. Л. Теория пределов и дифференциальное исчисление функции одной переменной / Ю.Л. Геворкян. – Киев; УМК130, 1993.

6.Геворкян Ю. Л. Краткий курс высшей математики : учеб. пособие:

в2-х ч. / Ю. Л. Геворкян, А. Л. Григорьев, Н. А. Чикина. – Ч. 1. –Харьков: НТУ

«ХПИ», 2009.

7. Вища математика в прикладах і задачах : навч. посібник : у 2-х томах /

за ред. Л. В. Курпа. – Т. 1. – Харків: НТУ «ХПІ», 2009.

8. Овчинников П. П. Вища математика / П. П. Овчинников,

Ф. П. Яремчук, В. М. Михайленко. – Ч. 1. – Київ: Техніка, 2007.

9.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов / Н. С. Пискунов. – Т.1. – М.: Наука, 1985.

10.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчис-

ления / Г. М. Фихтенгольц. – Т. 1. – М.: Наука, 1969.

144

СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………..…………………………………………….…….…..	3
Глава 3. Неопределенный интеграл
3.1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла ...........	4

3.1.1.Основные определения……………………………………..………...…. 4

3.1.2.Таблица основных интегралов………………………………...……...….... 4

3.1.3.Основные свойства неопределенного интеграла………………………... 6 3.2. Основные методы интегрирования…………………………………...….…. 7

3.2.1. Интегрирование путем замены переменной……………………………	7
Практическое занятие 11………………………………………………………..	9
3.2.2. Интегрирование по частям……………………….……………………..….	19
3.3. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный
трехчлен …………..……………………………………………………...…..	22
3.4. Интегрирование рациональных функций………………..…………………	24

3.4.1.Разложение многочлена на множители……………………….……….…. 24

3.4.2.Разложение рациональной функции на простейшие дроби……………... 26

3.4.3.Интегралы от рациональных функций……………………….…………... 30

Практическое занятие 12 ………………………………………………...…….. 33

3.5. Интегрирование тригонометрических функций………………..………….. 46

3.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций……….……….…

3.6.1. Интегрирование иррациональных выражений вида

m1

m2

mk

R x, x n1 , x n2 , ..., x nk …………………………………………………………….

3.6.2. Интегрирование иррациональных выражений вида

ax b

m1

ax b

m2

ax b

mk

n1

n2

nk

R

x,

,

,...,

…………………………………….

cx d

cx d

cx d

3.6.3. Интегрирование иррациональных выражений

R x,

, R x,

,

R x,

……………….……………

a2 x2

a2

x2

x2 a2

51

51

52

52

3.7. Понятие об интегралах, не выражающихся через элементарные функции………………………………………………………………...………….. 54 Практическое занятие 13……………………………………………………….. 55

Глава 4. Определенный интеграл

4.1.Классы интегрируемых функций………………………………..………….. 68

4.2.Свойства определенного интеграла………………………….……….……. 70

4.3. Формула Ньютона-Лейбница……………………………………………… 74

145

4.3.1. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования…………………………………………………….……………... 74 4.3.2. Формула Ньютона-Лейбница…………………………………………….... 75

4.4.Методы интегрирования определенного интеграла………………..…..….. 76

4.4.1.Интегрирование по частям…………………….…………………………... 76

4.4.2.Замена переменной в определенном интеграле………………..……..….. 78

4.5.Интегрирование четных и нечетных функций по

симметричному интервалу………………….……………………………………. 79

Практическое занятие 14 …………………………………………………...….. 80

Глава 5. Приложения определенного интеграла

5.1.Вычисление площади плоских фигур………………………..……………... 91

5.1.1.Вычисление площади плоских фигур в прямоугольных координатах…………………………………………………….. 91

5.1.2.Вычисление площади плоских фигур в полярной системе координат……….……………………………………………..………… 96

5.2.Вычисление длины дуги кривой……………………………………...…..…. 100

5.3.Вычисление объемов тел ……………………………………………...…..… 105

5.3.1.Вычисление объемов тел по их поперечным сечениям………………..... 105

5.3.2. Объем тела вращения……………………………………..……………..…	107
Практическое занятие 15………………………………………………………..	109
5.4. Приложения определенных интегралов к решению физических задач…..	121
Глава 6. Несобственные интегралы

6.1.Несобственные интегралы первого рода…………….……………………... 124

6.2.Несобственные интегралы второго рода……………………………….…... 131

Практическое занятие 16 ……………………………………………………..... 134 Список литературы………………………………………………………...…… 144

146