Лекция для заочников

Эконометрика

Э к о н о м е т р и к а — это наука, в которой на основе реальных статистических данных строятся, анализируются и совершенствуются математические модели экономических процессов.

Этапы эконометрического исследования:

1.Сбор и предварительная обработка информации.

2.Выбор формы модели (спецификация).

3.Статистический анализ модели (параметризация).

4.Проверка модели на адекватность (верификация).

5.Практическое использование модели.

С б о р и п р е д в а р и т е л ь н а я о б р а б о т к а и н ф о р м а ц и и .

Сбор и обработка данных осуществляются методами математической и экономической статистики. Результатом предварительной обработки данных является вариационный ряд или выборка, содержащая набор значений одной или нескольких объясняющих (независимых) переменных X (X1, X2, … , Xp) и соответствующей ей (им) объясняемой (зависимой) переменной

Y:

xi	x1	x2	...	xn
yi	y1	y2	...	yn

или

xi1	x11	x21	...	xn1
...	...	...	...	...
xip	x1p	x2p	...	xnp
yi	y1	y2	...	yp

n — объем выборки

С п е ц и ф и к а ц и я

Р е г р е с с и о н н а я м о д е л ь y= f ( x)+ε ­ парная регрессия

y= f ( x1 , x2 , ... , x p)+ε ­ множественная регрессия p — количество объясняющих переменных в модели ε ­ случайное отклонение

							β0 +β1 x
							β +β x+β x2
		f	(x)=				0	1	2
							β0 +β1 ln x
								...
							β0 +β1 x1 +β2 x2 +...+βp x p
f (x		, x		, ... , x		)=	β0 +β1 x1 +β2 x12	+β3	1	+...+βm ln x p
					p
	1		2						x2
								...

В ы б о р в и д а ф у н к ц и и р е г р е с с и и

Для парной регрессии выбор осуществляется по виду корреляционного поля.

y	y

x	x

y=β	+β x+ε	y=β	+β x+β x2		+ε
0	1	0	1	2

К о э ф ф и ц и е н т к о р р е л я ц и и

Мерой линейной статистической связи двух случайных величин является коэффициент корреляции:

n

i

i

n

n

i

∑

x

∑

i ∑

y

n

y

−

x

r xy=

i=1

i=1

i=1

n

n

n

n

)2

n x2

−(

∑

x

)2 n y2−(

∑

y

√

∑ i

i

√

∑ i

i

i=1

i=1

i=1

i=1

Свойства коэффициента корреляции:

−1 r x y 1 или

rx y 1

Если

r x y

→ 1 , то между переменными x и у присутствует тесная прямая линейная связь

Если

r x y

→ −1 , то между переменными x и у присутствует тесная обратная линейная

связь

Если

rx y → 0 ,

о между переменными

x

и у

отсутствует линейная связь (вообще

отсутствует связь или присутствует нелинейная связь)

К о р р е л я ц и о н н о е о т н о ш е н и е . К о э ф ф и ц и е н т д е т е р м и н а ц и и .

В случае нелинейной зависимости тесноту связи между величинами оценивают по величине

корреляционного отношения.

n

∑(yi

−ỹi)2

R= 1−

i=1

,

n

∑

i

̄

( y

− y)2

i 1

где yi

­ наблюдаемые значения, ̃yi= f√(xi ) ­=расчетное значение.

Интервал изменения корреляционного отношения

0 R 1

Величина R2 , называемая коэффициентом детерминации, показывает, какая часть общей

вариации Y обусловлена вариацией X.

Коэффициент детерминации статистически значим, если F=

R2(n− p−1)

> F

таб

=F

α ,k1

,k2

(1−R2 ) p

k1= p ,

k2=n− p−1 ­ числа степеней свободы;

α ­

уровень значимости.

				П а р н а я л и н е й н а я р е г р е с с и я
y=β0+β1 x+ε ­ теоретическое уравнение парной линейной регрессии
β0 ; β1			­ параметры (коэффициенты) теоретического уравнения парной линейной
регрессии
ε ­ теоретическая величина случайного отклонения
y=b0		+b1 x+e ­ эмпирическое уравнение парной линейной регрессии
y=b	0	+b	1	x ­ расчетная часть уравнения регрессии
̃
b0 ;	b1		­ эмпирические оценки теоретических параметров уравнения регрессии

e — эмпирическая оценка величины случайного отклонения

Эмпирические оценки параметров уравнения регрессии находятся по выборке с помощью метода наименьших квадратов (МНК)

М е т о д н а и м е н ь ш и х к в а д р а т о в ( М Н К )

n

n

ε2≈e2=∑( yi− ỹi)2=∑( yi−b0−b1 xi)2=S (b0 ;b1) → min

i=1

i=1

Найдем минимум функции нескольких переменных:

∂ S

n

=−2 ( y

−b

−b x

)=0

∂ b0

∑

i

0

1

i

i=1

∂ S

n

=−2 x ( y

−b

0

−b x

)=0

{∂ b1

∑ i

i

1

i

i=1

Решение системы:

xy− x y

b

=

̄ ̄ ̄

,

b

= y−b x

,

1

̄2

−(x)

2

0

̄

1

̄

x

n

n

̄

n

n

∑ xi

∑ yi

∑ xi yi

,

̄2

∑ xi

i=1

,

i=1

,

i=1

i=1

x

=

y

=

xy=

x

=

̄

n

̄

n

̄

n

n

С т а т и с т и ч е с к а я з н а ч и м о с т ь у р а в н е н и я п а р н о й л и н е й н о й р е г р е с с и и

Оценка статистической значимости уравнения парной линейной регрессии осуществляется как оценка значимости коэффициента b1, с помощью критерия Стьюдента.

Если

T

расч

=

b1

>T

таб

=T α

,k

, то коэффициент b1, а значит и уравнение регрессии

Sb1

2

статистически значимо.

Sb1=

S

2

­ отклонение коэффициента b1

n

( x

−x)2

√∑i=1

i

̄

n

i

n

i

̃i

∑

∑

)2

S2=

e2

( y

− y

­ дисперсия случайного отклонения

i=1

=

i=1

n−2

n−2

k=n−2 ­ число степеней свободы; α ­ уровень значимости (α = 0,05; 0,01)