Исаченко Сопротивление материалов ч.1 2010
.pdfФедеральное агентство по образованию РФ
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
В.В. Исаченко, М.И. Мартиросов, В.И. Щербаков
Сопротивление материалов
Руководство к решению задач
Часть 1
Под редакцией В.В. Исаченко
Издание 2-е, исправленное
Допущено Учебно-методическим объединением вузов по университетскому политехническому образованию
вкачестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся
по направлению 150300 «Прикладная механика»
Москва 2010
УДК 539.3/6(075) ББК 30.121я7 И85
Исаченко В.В., Мартиросов М.И., Щербаков В.И. СОПРОТИВЛЕНИЕ МА-
ТЕРИАЛОВ. Руководство к решению задач: учебное пособие. – В 2-х ч. – Ч. 1 /
Под ред. В.В. Исаченко. – Изд. 2-е, испр. – М.: НИЯУ МИФИ, 2010. – 288 с.
Рассмотрены простые деформации прямого бруса, анализ напряженного состояния и геометрические характеристики плоских фигур. Изложены различные приемы решения задач по указанным темам, в большей части не нашедших отражения в имеющейся учебно-методической литературе по сопротивлению материалов.
Во 2-й части будут рассмотрены темы: сложное сопротивление, энергетические методы определения перемещений, тонкостенные оболочки, толстостенные цилиндры, устойчивость, усталость, расчеты в упругопластической области, динамические задачи.
Пособие предназначено для студентов, изучающих курс сопротивления материалов, а также готовящихся к участию в олимпиадах от внутривузовского до всероссийского уровня, также пособие может быть полезно и для преподавателей.
Рецензенты: зав. кафедрой сопротивления материалов МГСУ, проф., д-р техн. наук, чл.-кор. Академии строительства и архитектуры В.И. Андреев;
проф. кафедры сопротивления материалов МГСУ А.А. Горшков;
д-р техн. наук, проф. кафедры сопротивления материалов МГТУ «МАМИ», акад. АПК РФ, лауреат премии СМ СССР по науке и технике за 1990 г. И.В. Балабин
ISBN 978-5-7262-1203-6 |
© |
В.В. Исаченко, М.И. Мартиросов, |
|
|
В.И. Щербаков, 2009, 2010 |
|
© |
Национальный исследовательский |
|
|
ядерный университет «МИФИ», 2010 |
О Г Л А В Л Е Н И Е
Предисловие.................................................................................................... |
|
5 |
|
Тема 1. Растяжение-сжатие прямого бруса................................................ |
7 |
||
1.1. |
Основные положения.................................................................. |
7 |
|
1.2. |
Метод сил................................................................................... |
14 |
|
|
1.2.1. |
План решения. Понятие об основной |
|
|
|
и эквивалентной системе............................................ |
14 |
|
1.2.2. |
Влияние монтажного фактора................................... |
18 |
1.3. |
Способ совместности перемещений........................................ |
20 |
|
|
1.3.1 |
План решения. Способ раскрепления узла. |
|
|
|
Понятие об условии строгого соответствия............. |
21 |
|
1.3.2. |
Несимметричная система сходящихся сил............... |
25 |
|
1.3.3. |
Общий случай плоской системы сил........................ |
26 |
|
1.3.4. |
Влияние температурного фактора............................. |
28 |
|
1.3.5. |
Выполнение условия строгого соответствия ........... |
31 |
|
1.3.6. |
Влияние монтажного фактора................................... |
34 |
|
1.3.7. |
Суммарное влияние силового, |
|
|
|
температурного и монтажного факторов.................. |
36 |
|
1.3.8. |
Прием временного отвердевания .............................. |
38 |
|
1.3.9. |
Задачи «Диски»........................................................... |
41 |
1.4. Интеграл Мора для определения перемещений..................... |
44 |
||
|
1.4.1. |
Решение статически определимых задач.................. |
44 |
|
1.4.2. |
Статически неопределимые многостержневые |
|
|
|
системы при растяжении-сжатии |
|
|
|
(канонические уравнения метода сил) ...................... |
49 |
1.5. |
Задачи......................................................................................... |
|
51 |
1.6. Решения, указания, ответы....................................................... |
56 |
||
Тема 2. Анализ напряженного состояния. |
|
||
Обобщенный закон Гука............................................................................. |
68 |
||
2.1. |
Основные положения................................................................ |
68 |
|
2.2. |
Задачи......................................................................................... |
|
76 |
2.3. Решения, указания, ответы....................................................... |
81 |
||
Тема 3. Геометрические характеристики плоских |
|
||
фигур (сечений)............................................................................................. |
|
92 |
|
3.1. |
Основные положения................................................................ |
92 |
|
3.2. |
Задачи....................................................................................... |
|
107 |
3.3. |
Решения, указания, ответы..................................................... |
114 |
|
|
|
3 |
|
Тема 4. Плоский изгиб прямого бруса.................................................... |
133 |
|
4.1. Построение эпюр внутренних силовых факторов................ |
133 |
|
4.1.1. |
Предварительные замечания.................................... |
133 |
4.1.2. Порядок построения эпюр Qy, Mz ............................ |
140 |
|
4.1.3. Проверка правильности построения эпюр Qy, Mz .. |
157 |
|
4.1.4. Примеры построения эпюр Qy и Mz......................... |
163 |
|
4.1.5. |
Условия «обратных» задач |
|
|
построения эпюр Qy, Mz............................................ |
183 |
4.1.6. |
Решения, указания, ответы ...................................... |
185 |
4.2.Напряжения и расчеты на прочность
|
при плоском изгибе................................................................. |
193 |
|
|
4.2.1. |
Основные положения............................................... |
193 |
|
4.2.2. |
Задачи ........................................................................ |
198 |
|
4.2.3. Решения, указания, ответы ...................................... |
202 |
|
Тема 5. Перемещения в балках при плоском изгибе........................... |
212 |
||
5.1. |
Предварительные замечания.................................................. |
212 |
|
5.2 |
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки........... |
213 |
5.3.Метод начальных параметров (метод Клебша).
|
Универсальное уравнение упругой линии............................ |
216 |
|
5.4. |
Интеграл Мора........................................................................ |
225 |
|
5.5. |
Способ Верещагина................................................................ |
229 |
|
5.6. |
Задачи |
....................................................................................... |
240 |
5.7. Решения, указания, ответы..................................................... |
244 |
||
Тема 6. Кручение ........................................................................................ |
|
264 |
|
6.1. |
Основные ..............................................................положения |
264 |
|
6.2. Напряжения .............в валах крутого поперечного сечения |
265 |
||
|
6.2.1. ............................................................... |
Напряжения |
265 |
|
6.2.2. ............................ |
Деформации . Условие жесткости |
267 |
|
6.2.3. .......Работа и потенциальная энергия деформации |
269 |
|
6.3. Кручение ...........брусьев некруглого поперечного сечения |
269 |
||
6.4. |
Статически ...............неопределимые задачи при кручении |
270 |
6.5.К расчету винтовых цилиндрических пружин
|
с малым шагом витка.............................................................. |
270 |
6.6. |
Задачи....................................................................................... |
271 |
6.7. |
Решения, указания, ответы..................................................... |
276 |
Список литературы.................................................................................... |
287 |
4
Посвящается памяти Рашита Каримовича Вафина
ПРЕДИСЛОВИЕ
Широкому кругу инженерно-технической и научной общественности хорошо понятна важность знания курса сопротивления материалов, как науки о прочности, которая является одной из основных составляющих надежности. Особенно важно умение рационально и наименьшими затратами по времени решать различные задачи прочности, с целью обеспечения безопасности работы элементов конструкций, а следовательно, и всей конструкции в целом.
Настоящее пособие не является задачником, а именно руководством к решению задач обычной и повышенной сложности. В силу чего оно может быть использовано не только в учебном процессе, но и в комплексе с пособием по решению конкурсных задач [10] для подготовки студентов к олимпиадам по сопротивлению материалов всех уровней от внутривузовского до всероссийского.
Впособии рассмотрены методы, приемы не нашедшие достаточного отражения в большинстве учебников и учебных пособий, при этом некоторые другие вопросы, подробно разработанные в имеющихся учебниках по сопротивлению материалов, изложены в пособии менее подробно.
Содержание данного пособия (часть 1) включает темы: простые деформации прямого бруса, анализ напряженного состояния и геометрические характеристики плоских фигур, что охватывает примерно половину стандартной программы курса.
Вкаждой теме дано краткое описание положений теории и формулы для расчета без вывода, в предположении, что читатель знаком с темой по лекционному курсу. В конце каждой темы приведены задачи для самостоятельного решения, а далее даны указания, решения или ответы в зависимости от уровня сложности задачи и возможные варианты решения.
Впервой теме основное внимание уделено способу совместности перемещений, который не нашел достаточного отражения в учебно-методической литературе, хотя он в ряде случаев дает бо-
5
лее простое и менее трудоемкое решение. Именно с этих позиций и формировалось содержание других тем.
При изложении материала пособия авторы стремились излагать наиболее трудные для студентов вопросы в простой, доступной форме для читателя разного уровня подготовки.
Пособие призвано оказать помощь при подготовке студентов к практическим занятиям, выполнении домашних расчетно-графи- ческих заданий, помощь при подготовке к зачетам и экзаменам. Пособие может быть полезно и для преподавателей.
Пособие написано на основании многолетнего опыта преподавания сопротивления материалов в МИФИ, МАИ, МАМИ.
В пособии сохранены обозначения осей, геометрических и физических величин, традиционно сложившихся при изложении курса в указанных вузах. За все замечания авторы заранее выражают свою искреннюю признательность.
Авторы
6
Тема 1
РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ ПРЯМОГО БРУСА
1.1. Основные положения
Растяжением-сжатием прямого бруса (стержня) называют де-
формацию, вызванную взаимно уравновешенными силами, действующими вдоль оси бруса.
В поперечном сечении бруса действует только один внутренний силовой фактор – нормальная сила Nx . Определение величины Nx
производим, используя метод сечения, который включает четыре действия: мысленно разрезаем стержень на две части по интересующему поперечному сечению, отбрасываем одну из частей, за- меняем действие отброшенной части на оставшуюся нормальной силой Nx и уравновешиваем, т.е. записываем уравнение равнове-
сия для системы сил, действующих на оставшуюся часть, из которого определяем Nx . Все действия можно выразить мнемоническим словом РОЗУ. Метод сечений позволяет перевести внутренний силовой фактор Nx в категорию внешних сил, для которых имеем право записать уравнение статики.
Нормальная сила Nx , действующая (направленная) от сечения, вызывает деформацию растяжения и ей присваивают знак «+», т.е. Nx > 0 . Построим эпюры Nx , σх, ε х, ux для стержня, изображенно-
го на рис. 1.1, а. Расчетная схема стержня, в которой изображается ось стержня, опорные устройства, заданные нагрузки, представлена
на рис. 1.1, б. Реакция RA найдена из уравнения ∑x = 0 . Воспользуемся методом сечений и найдем, например, Nx3 на участке CD. Запишем уравнение равновесия для отсеченной части стержня
∑x = 0 : −RA + P3 − q(x3 |
− 2l) + Nx |
= 0 , |
|
3 |
|
откуда |
|
|
Nx = RA − P3 + q(x3 − 2l) . |
(1.1) |
|
3 |
|
|
7 |
|
|
Рис. 1.1
8
Анализ выражения (1.1) позволяет сократить графическую работу при решении задачи – отказаться от изображения отсеченных частей стержня.
Из (1.1) следует, что нормальная сила в любом поперечном сечении равна алгебраической сумме сил, действующих по одну сторону от сечения.
Внешняя сила, направленная в сторону от рассматриваемого сечения, дает в выражении Nx положительное слагаемое, как, на-
пример, RA и q(x3 − 2l) в выражении (1.1); сила, направленная в сторону к сечению, дает отрицательное слагаемое, как, например,
P3 в выражении (1.1). |
0 ≤ x1 ≤ l ; |
|
|||
Итак: |
Nx |
|
= RA =3P , |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Nx |
2 |
= RA − P3 = −P , l ≤ x2 ≤ 2l ; |
|
|
|
Nx |
= RA − P3 + q(x3 −l) , 2l ≤ x3 ≤ 4l ; |
|
||
|
|
|
|||
|
3 |
x3 = 2l Nx |
= −P , при x3 = 4l Nx |
= P ; |
|
|
при |
||||
|
|
|
3 |
3 |
|
|
Nx |
4 |
= RA − P3 + q 2 l − P2 = −P . |
|
|
|
|
|
|
|
Эпюра Nx показана на рис. 1.1, г.
Можно было откладывать абсциссы xi силовых участков справа налево, т.е. от сечения K, как, например, абсцисса x4′ , и получили бы такую же эпюру для Nx ( Nx4′ = −P1 = −P ). Отсчет абсцисс от
сечения A имеет особый смысл при построении эпюры перемещений! Из эпюры Nx видно, что в сечениях, где приложена сосредоточенная сила, всегда имеем скачок на величину этой силы, а на участке действия равномерно распределенной нагрузки эпюра Nx
имеет линейную зависимость.
Напряжения в поперечных сечениях определяем по формуле:
|
σx = |
|
Nx |
. |
|
(1.2) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
F |
|
|
|
Эпюра |
σx для стержня постоянного поперечного |
сечения |
||||
( F = const ) |
представлена на рис. 1.1, |
д. Из эпюры σx |
находим |
|||
σx(max) . |
|
|
|
|
|
|
По условию прочности |
Nx(max) |
|
|
|||
|
σx(max) = |
≤[σ] |
(1.3) |
|||
|
|
F |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
9 |
|
|
|
выполняют три расчета: 1) проверочный расчет (сравнение σx(max)
с [σ]; 2) проектировочный |
расчет (определение значения F); |
|||
3) расчет грузоподъемности |
(определение допустимых |
значений |
||
внешних нагрузок). |
|
|
|
|
Из закона Гука имеем, что относительная деформация |
|
|||
|
εx = |
σx |
. |
(1.4) |
|
|
|||
|
|
E |
|
Эпюра εx для стержня постоянной жесткости ( EF = const ) будет иметь такой же вид, как и эпюра σx (рис. 1.1, д).
При изменении температуры стержня на |
t градусов относи- |
|||
тельная деформация будет: |
σx |
|
|
|
εx = |
+α t . |
(1.5) |
||
E |
||||
|
|
|
По определению относительная деформация отрезка длиной dx
равна: |
dx |
= du |
|
|
εx = |
= tgβ , |
(1.6) |
||
откуда |
dx |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
u = ∫εxdx . |
(1.7) |
||
|
|
L |
|
|
Формула (1.7) позволяет построить эпюру ux , при этом абсциссы xi берут от неподвижного сечения A, от заделки.
Если необходимо построить только эпюру перемещений ux , то достаточно иметь эпюру Nx , и эпюру перемещений строят, используя закон Гука в форме деформаций:
|
|
|
|
|
|
|
|
l = |
Nx l |
или |
l = ∫ |
|
Nx (x)dx |
. |
(1.8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EF |
|
l |
EF |
|
|||
Так, например, |
на участке AB перемещение любого сечения x1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Nx x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
будет |
|
x |
= |
|
1 |
|
= u |
x |
. |
При |
x = 0 : |
x = 0 ; при |
x = l : |
||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
EF |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nx |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3Pl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l = |
1 |
|
= |
|
|
= ux (B) . На участке BC |
|
|
|
||||||||
EF |
EF |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|