Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Исаченко Сопротивление материалов ч.1 2010

.pdf
Скачиваний:
440
Добавлен:
16.08.2013
Размер:
28.18 Mб
Скачать

Федеральное агентство по образованию РФ

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

В.В. Исаченко, М.И. Мартиросов, В.И. Щербаков

Сопротивление материалов

Руководство к решению задач

Часть 1

Под редакцией В.В. Исаченко

Издание 2-е, исправленное

Допущено Учебно-методическим объединением вузов по университетскому политехническому образованию

вкачестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся

по направлению 150300 «Прикладная механика»

Москва 2010

УДК 539.3/6(075) ББК 30.121я7 И85

Исаченко В.В., Мартиросов М.И., Щербаков В.И. СОПРОТИВЛЕНИЕ МА-

ТЕРИАЛОВ. Руководство к решению задач: учебное пособие. – В 2-х ч. – Ч. 1 /

Под ред. В.В. Исаченко. – Изд. 2-е, испр. – М.: НИЯУ МИФИ, 2010. – 288 с.

Рассмотрены простые деформации прямого бруса, анализ напряженного состояния и геометрические характеристики плоских фигур. Изложены различные приемы решения задач по указанным темам, в большей части не нашедших отражения в имеющейся учебно-методической литературе по сопротивлению материалов.

Во 2-й части будут рассмотрены темы: сложное сопротивление, энергетические методы определения перемещений, тонкостенные оболочки, толстостенные цилиндры, устойчивость, усталость, расчеты в упругопластической области, динамические задачи.

Пособие предназначено для студентов, изучающих курс сопротивления материалов, а также готовящихся к участию в олимпиадах от внутривузовского до всероссийского уровня, также пособие может быть полезно и для преподавателей.

Рецензенты: зав. кафедрой сопротивления материалов МГСУ, проф., д-р техн. наук, чл.-кор. Академии строительства и архитектуры В.И. Андреев;

проф. кафедры сопротивления материалов МГСУ А.А. Горшков;

д-р техн. наук, проф. кафедры сопротивления материалов МГТУ «МАМИ», акад. АПК РФ, лауреат премии СМ СССР по науке и технике за 1990 г. И.В. Балабин

ISBN 978-5-7262-1203-6

©

В.В. Исаченко, М.И. Мартиросов,

 

 

В.И. Щербаков, 2009, 2010

 

©

Национальный исследовательский

 

 

ядерный университет «МИФИ», 2010

О Г Л А В Л Е Н И Е

Предисловие....................................................................................................

 

5

Тема 1. Растяжение-сжатие прямого бруса................................................

7

1.1.

Основные положения..................................................................

7

1.2.

Метод сил...................................................................................

14

 

1.2.1.

План решения. Понятие об основной

 

 

 

и эквивалентной системе............................................

14

 

1.2.2.

Влияние монтажного фактора...................................

18

1.3.

Способ совместности перемещений........................................

20

 

1.3.1

План решения. Способ раскрепления узла.

 

 

 

Понятие об условии строгого соответствия.............

21

 

1.3.2.

Несимметричная система сходящихся сил...............

25

 

1.3.3.

Общий случай плоской системы сил........................

26

 

1.3.4.

Влияние температурного фактора.............................

28

 

1.3.5.

Выполнение условия строгого соответствия ...........

31

 

1.3.6.

Влияние монтажного фактора...................................

34

 

1.3.7.

Суммарное влияние силового,

 

 

 

температурного и монтажного факторов..................

36

 

1.3.8.

Прием временного отвердевания ..............................

38

 

1.3.9.

Задачи «Диски»...........................................................

41

1.4. Интеграл Мора для определения перемещений.....................

44

 

1.4.1.

Решение статически определимых задач..................

44

 

1.4.2.

Статически неопределимые многостержневые

 

 

 

системы при растяжении-сжатии

 

 

 

(канонические уравнения метода сил) ......................

49

1.5.

Задачи.........................................................................................

 

51

1.6. Решения, указания, ответы.......................................................

56

Тема 2. Анализ напряженного состояния.

 

Обобщенный закон Гука.............................................................................

68

2.1.

Основные положения................................................................

68

2.2.

Задачи.........................................................................................

 

76

2.3. Решения, указания, ответы.......................................................

81

Тема 3. Геометрические характеристики плоских

 

фигур (сечений).............................................................................................

 

92

3.1.

Основные положения................................................................

92

3.2.

Задачи.......................................................................................

 

107

3.3.

Решения, указания, ответы.....................................................

114

 

 

3

 

Тема 4. Плоский изгиб прямого бруса....................................................

133

4.1. Построение эпюр внутренних силовых факторов................

133

4.1.1.

Предварительные замечания....................................

133

4.1.2. Порядок построения эпюр Qy, Mz ............................

140

4.1.3. Проверка правильности построения эпюр Qy, Mz ..

157

4.1.4. Примеры построения эпюр Qy и Mz.........................

163

4.1.5.

Условия «обратных» задач

 

 

построения эпюр Qy, Mz............................................

183

4.1.6.

Решения, указания, ответы ......................................

185

4.2.Напряжения и расчеты на прочность

 

при плоском изгибе.................................................................

193

 

4.2.1.

Основные положения...............................................

193

 

4.2.2.

Задачи ........................................................................

198

 

4.2.3. Решения, указания, ответы ......................................

202

Тема 5. Перемещения в балках при плоском изгибе...........................

212

5.1.

Предварительные замечания..................................................

212

5.2

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки...........

213

5.3.Метод начальных параметров (метод Клебша).

 

Универсальное уравнение упругой линии............................

216

5.4.

Интеграл Мора........................................................................

225

5.5.

Способ Верещагина................................................................

229

5.6.

Задачи

.......................................................................................

240

5.7. Решения, указания, ответы.....................................................

244

Тема 6. Кручение ........................................................................................

 

264

6.1.

Основные ..............................................................положения

264

6.2. Напряжения .............в валах крутого поперечного сечения

265

 

6.2.1. ...............................................................

Напряжения

265

 

6.2.2. ............................

Деформации . Условие жесткости

267

 

6.2.3. .......Работа и потенциальная энергия деформации

269

6.3. Кручение ...........брусьев некруглого поперечного сечения

269

6.4.

Статически ...............неопределимые задачи при кручении

270

6.5.К расчету винтовых цилиндрических пружин

 

с малым шагом витка..............................................................

270

6.6.

Задачи.......................................................................................

271

6.7.

Решения, указания, ответы.....................................................

276

Список литературы....................................................................................

287

4

Посвящается памяти Рашита Каримовича Вафина

ПРЕДИСЛОВИЕ

Широкому кругу инженерно-технической и научной общественности хорошо понятна важность знания курса сопротивления материалов, как науки о прочности, которая является одной из основных составляющих надежности. Особенно важно умение рационально и наименьшими затратами по времени решать различные задачи прочности, с целью обеспечения безопасности работы элементов конструкций, а следовательно, и всей конструкции в целом.

Настоящее пособие не является задачником, а именно руководством к решению задач обычной и повышенной сложности. В силу чего оно может быть использовано не только в учебном процессе, но и в комплексе с пособием по решению конкурсных задач [10] для подготовки студентов к олимпиадам по сопротивлению материалов всех уровней от внутривузовского до всероссийского.

Впособии рассмотрены методы, приемы не нашедшие достаточного отражения в большинстве учебников и учебных пособий, при этом некоторые другие вопросы, подробно разработанные в имеющихся учебниках по сопротивлению материалов, изложены в пособии менее подробно.

Содержание данного пособия (часть 1) включает темы: простые деформации прямого бруса, анализ напряженного состояния и геометрические характеристики плоских фигур, что охватывает примерно половину стандартной программы курса.

Вкаждой теме дано краткое описание положений теории и формулы для расчета без вывода, в предположении, что читатель знаком с темой по лекционному курсу. В конце каждой темы приведены задачи для самостоятельного решения, а далее даны указания, решения или ответы в зависимости от уровня сложности задачи и возможные варианты решения.

Впервой теме основное внимание уделено способу совместности перемещений, который не нашел достаточного отражения в учебно-методической литературе, хотя он в ряде случаев дает бо-

5

лее простое и менее трудоемкое решение. Именно с этих позиций и формировалось содержание других тем.

При изложении материала пособия авторы стремились излагать наиболее трудные для студентов вопросы в простой, доступной форме для читателя разного уровня подготовки.

Пособие призвано оказать помощь при подготовке студентов к практическим занятиям, выполнении домашних расчетно-графи- ческих заданий, помощь при подготовке к зачетам и экзаменам. Пособие может быть полезно и для преподавателей.

Пособие написано на основании многолетнего опыта преподавания сопротивления материалов в МИФИ, МАИ, МАМИ.

В пособии сохранены обозначения осей, геометрических и физических величин, традиционно сложившихся при изложении курса в указанных вузах. За все замечания авторы заранее выражают свою искреннюю признательность.

Авторы

6

Тема 1

РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ ПРЯМОГО БРУСА

1.1. Основные положения

Растяжением-сжатием прямого бруса (стержня) называют де-

формацию, вызванную взаимно уравновешенными силами, действующими вдоль оси бруса.

В поперечном сечении бруса действует только один внутренний силовой фактор – нормальная сила Nx . Определение величины Nx

производим, используя метод сечения, который включает четыре действия: мысленно разрезаем стержень на две части по интересующему поперечному сечению, отбрасываем одну из частей, за- меняем действие отброшенной части на оставшуюся нормальной силой Nx и уравновешиваем, т.е. записываем уравнение равнове-

сия для системы сил, действующих на оставшуюся часть, из которого определяем Nx . Все действия можно выразить мнемоническим словом РОЗУ. Метод сечений позволяет перевести внутренний силовой фактор Nx в категорию внешних сил, для которых имеем право записать уравнение статики.

Нормальная сила Nx , действующая (направленная) от сечения, вызывает деформацию растяжения и ей присваивают знак «+», т.е. Nx > 0 . Построим эпюры Nx , σх, ε х, ux для стержня, изображенно-

го на рис. 1.1, а. Расчетная схема стержня, в которой изображается ось стержня, опорные устройства, заданные нагрузки, представлена

на рис. 1.1, б. Реакция RA найдена из уравнения x = 0 . Воспользуемся методом сечений и найдем, например, Nx3 на участке CD. Запишем уравнение равновесия для отсеченной части стержня

x = 0 : RA + P3 q(x3

2l) + Nx

= 0 ,

 

3

откуда

 

 

Nx = RA P3 + q(x3 2l) .

(1.1)

3

 

 

7

 

 

Рис. 1.1

8

Анализ выражения (1.1) позволяет сократить графическую работу при решении задачи – отказаться от изображения отсеченных частей стержня.

Из (1.1) следует, что нормальная сила в любом поперечном сечении равна алгебраической сумме сил, действующих по одну сторону от сечения.

Внешняя сила, направленная в сторону от рассматриваемого сечения, дает в выражении Nx положительное слагаемое, как, на-

пример, RA и q(x3 2l) в выражении (1.1); сила, направленная в сторону к сечению, дает отрицательное слагаемое, как, например,

P3 в выражении (1.1).

0 x1 l ;

 

Итак:

Nx

 

= RA =3P ,

 

 

1

 

 

 

 

Nx

2

= RA P3 = −P , l x2 2l ;

 

 

Nx

= RA P3 + q(x3 l) , 2l x3 4l ;

 

 

 

 

 

3

x3 = 2l Nx

= −P , при x3 = 4l Nx

= P ;

 

при

 

 

 

3

3

 

Nx

4

= RA P3 + q 2 l P2 = −P .

 

 

 

 

 

 

Эпюра Nx показана на рис. 1.1, г.

Можно было откладывать абсциссы xi силовых участков справа налево, т.е. от сечения K, как, например, абсцисса x4, и получили бы такую же эпюру для Nx ( Nx4= −P1 = −P ). Отсчет абсцисс от

сечения A имеет особый смысл при построении эпюры перемещений! Из эпюры Nx видно, что в сечениях, где приложена сосредоточенная сила, всегда имеем скачок на величину этой силы, а на участке действия равномерно распределенной нагрузки эпюра Nx

имеет линейную зависимость.

Напряжения в поперечных сечениях определяем по формуле:

 

σx =

 

Nx

.

 

(1.2)

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

Эпюра

σx для стержня постоянного поперечного

сечения

( F = const )

представлена на рис. 1.1,

д. Из эпюры σx

находим

σx(max) .

 

 

 

 

 

 

По условию прочности

Nx(max)

 

 

 

σx(max) =

[σ]

(1.3)

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

выполняют три расчета: 1) проверочный расчет (сравнение σx(max)

с [σ]; 2) проектировочный

расчет (определение значения F);

3) расчет грузоподъемности

(определение допустимых

значений

внешних нагрузок).

 

 

 

 

Из закона Гука имеем, что относительная деформация

 

 

εx =

σx

.

(1.4)

 

 

 

 

E

 

Эпюра εx для стержня постоянной жесткости ( EF = const ) будет иметь такой же вид, как и эпюра σx (рис. 1.1, д).

При изменении температуры стержня на

t градусов относи-

тельная деформация будет:

σx

 

 

εx =

t .

(1.5)

E

 

 

 

По определению относительная деформация отрезка длиной dx

равна:

dx

= du

 

 

εx =

= tgβ ,

(1.6)

откуда

dx

dx

 

 

 

 

 

 

 

u = εxdx .

(1.7)

 

 

L

 

 

Формула (1.7) позволяет построить эпюру ux , при этом абсциссы xi берут от неподвижного сечения A, от заделки.

Если необходимо построить только эпюру перемещений ux , то достаточно иметь эпюру Nx , и эпюру перемещений строят, используя закон Гука в форме деформаций:

 

 

 

 

 

 

 

 

l =

Nx l

или

l =

 

Nx (x)dx

.

(1.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EF

 

l

EF

 

Так, например,

на участке AB перемещение любого сечения x1

 

 

 

 

 

Nx x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

будет

 

x

=

 

1

 

= u

x

.

При

x = 0 :

x = 0 ; при

x = l :

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

EF

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Nx

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3Pl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l =

1

 

=

 

 

= ux (B) . На участке BC

 

 

 

EF

EF

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]